Представление чисел в компьютере. Числовые данные обрабатываются в компьютере в двоичной системе счисления. Числа хранятся в оперативной памяти в виде. - презентация

1 Представление чисел в компьютере

2 Числовые данные обрабатываются в компьютере в двоичной системе счисления. Числа хранятся в оперативной памяти в виде последовательностей нуляей и единиц, то есть в двоичном коде.

3 Представление чисел в формате с фиксированной запятой. Целые числа в компьютере хранятся в памяти в формате с фиксированной. запятой. В этом случае каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, а запятая находится справа после младшего разряда, то есть вне разрядной сетки.

4 Хранения целых неотрицательных чисел Для хранения целых неотрицательных чисел отводится одна ячейка памяти (8 бит). Например, число А 2 = будет хранится в ячейке памяти следующим образом:

5 Максимальное значение целого неототрицательного числа достигается в случае, когда во всех ячейках хранятся единицы. Для поразрядного представления оно будет равно: 2 n - 1.

6 Минимальное число соответствует восьми нуляям, хранящимся в восьми ячейках памяти, и равно нуляю, Максимальное число соответствует восьми единицам, хранящимся в ячейках памяти и равно; А = = = Диапазон изменения целых неотрицательных чисел от 0 до 255. Пример 2. Определить диапазон чисел, которые могут храниться в оперативной памяти в формате целое неотрицательное число.

7 Хранение целых чисел со знаком Для хранения целых чисел со знаком отводится две ячейки памяти (16 бит), причем старший (левый) разряд отводится под знак числа (если число положительное, то и опаковый раз­ряд записывается 0, если число отрицательное, то записывается 1).

8 формат «знак-величина» Представление в компьютере положительных чисел с использованием формата «знак- величина» называется прямым, кодом числа. Например» число = будет представлено в 16-разрядном представлении следующим образом

9 При представлении целых чисел в n- разрядном представлении со знаком максимальное положительное число (с учетом выделения одного разряда на знак) равно; А = 2 n

10 Пример Определить максимальное положительное число, которое может хранится в оперативной памяти в формате целое число со знаком, А 10 = =

11 Дополнительный код Для представления отрицательных чисел используется дополнительный код. Дополнительный код позволяет заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения, что существенно упрощает работу процессора и увеличивает его быстродействие. Дополнительный код ототрицательного числа А, хранящегося в л ячейках, равен 2 n - |A|,

12 Дополнительный код представляет собой дополнение модуля ототрицательного числа А до 0, поэтому в n-разрядной компьютерной арифметике: 2 n - |А| + |А| = 0. Это равенство тождественно справедливо, так как в компьютерной поразрядной арифметике 2 n =0. Действительно, двоичная запись такого числа состоит из одной единицы и n нуляей, а в n- разрядную ячейку может уместиться только п младших разрядов, то есть п нуляей.

13 Пример. Записать дополнительный код ототрицательного числа для 16-разрядного компьютерного представления.Проведем вычисления в соответствии с определением дополнительного кода; 2 16 = = = Проведем проверку с использованием десятичной системы счисления. Дополнительный код в сумме с модулем от­ отрицательного числа равен , то есть дополнитель­ный код дополняет модуль ототрицательного числа до 216 (до нуляя 16- разрядной компьютерной арифметики).

14 Для получения дополнительного кода ототрицательного числа можно использовать довольно простой алгоритм: 1. Модуль числа записать прямым кодом в п двоичных разрядах; 2. Получить обратный код числа, для этого значения всех бит инвертировать (все единицы заменить на нуляи и все нуляи заменить на единицы); 3. К полученному обратному коду прибавить единицу.

15 Пример Записать дополнительный код ототрицательного числа для 16- разрядного компьютерного представления с использованием алгоритма При n-разрядном представлении ототрицательного числа А до­полнительным кодом старший разряд выделяется для хране­ния знака числа (единицы). В остальных разрядах записывает­ся положительное число: 2 n-1 - |А|. + Прямой код | | Обратный код Инвертирование Прибавление единицы Дополнительный код

16 Следовательно, максимальное значение модуля числа А в n-разрядном представлении: равно: |А| < 2 n-1. Тогда минимальное отрицательное число равно: А = -2 n-1.

17 Пример Определить диапазон чисел, которые могут храниться в оперативной памяти в формате больших целых чи­сел со знаком (для хранения таких чисел отводится четыре ячейки памяти 32 бита Максимальное положительное целое число (с учетом выделения одного разряда на знак) равно: А = = Минимальное отрицательное целое число равно: A= =

18 Достоинствами представления чисел в формате с фиксированной запятой являются простота и наглядность представле­ния чисел, а также простота алгоритмов реализации арифме­тических операций (вычитание благодаря использованию дополнительного кода для представления отрицательных чисел сводятся к сложению).

19 Пример Выполнить арифметическое действие в 16-разрядном компьютерном представлении Представим положительное число в прямом, а отрицатель­ное число в дополнительном коде: + Десятич ное число Прямой код Обратный код Дополнительный код

20 Сложим прямой код положительного числа с дополнительным кодом ототрицательного числа. Получим результат в дополнительном коде:

21 Переведем полученный дополнительный код в десятичное число: 1) инвертируем дополнительный код: ; 2) прибавим к полученному коду 1 и получим модуль отрица­тельного числа; ) переведем в десятичное число и припишем знак отрица­тельного числа:

22 Недостатком представления чисел в формате с фиксированной запятой является конечный диапазон представления величин, недостаточный для решения математических, физических, экономических и других задач, в которых используются как очень малые, так и очень большие числа.

23 Формат с плавающей запятой. Представление чисел в формате с плавающей запятой. Ве­щественные числа (конечные и бесконечные десятичные дроби) хранятся и обрабатываются в компьютере в формате с плавающей запятой. В этом случае положение запятой в записи числа может изменяться. Формат чисел с плавающей запятой базируется на экспо­ненциальной форме записи, в которой может быть представле­но любое число

24 . Так число А может быть представлено в виде: А = т х qn где т мантисса числа; q основание системы счисления; n порядок числа. Для однозначности представления чисел с плавающей запя­ той используется нормализованная форма при которой ман­тисса отвечает условию: 1/п < |т| < 1. Это означает, что мантисса должна быть правильной дробью и иметь после запятой цифру, отличную от нуля

25 Пример Преобразуйте десятичное число 888,888, записанное в естественной форме в экспоненциальную форму с нормализованной мантиссой. 888,888 = 0,

26 Пример. Определить максимальное число и его точность для формата чисел обычной точности, если для хране­ния порядка и его знака отводится 8 разрядов, а для хранения мантиссы и ее знака 24 разряда знак и порядок знак и мантисса

27 Пример Произвести сложение чисел 0,12 3 и 0,12 5 в формате с плавающей запятой Произведем выравнивание порядков и сложение мантисс: , При умножении чисел в формате с плавающей запятой по­рядки складываются, а мантиссы перемножаются. При делении из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. +