Решение задач на комбинации призмы, шара и пирамиды.

Шар, вписанный в пирамиду В любую треугольную пирамиду можно вписать шар; В пирамиду, у которой в основание можно вписать окружность; центр, которой служит основанием высоты пирамиды, можно вписать шар; В любую правильную пирамиду можно вписать шар; Центр шара, вписанного в пирамиду есть точка пересечения высоты пирамиды с биссектрисой угла, образованного апофемой и её проекцией на основание; Центр сферы (шара), вписанного в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды.

Шар, описанный около пирамиды Около любой треугольной пирамиды можно описать шар; Если около основания пирамиды можно описать окружность, то около пирамиды можно описать шар; Около любой правильной пирамиды можно описать шар; Центр шара, описанного около пирамиды, лежит в точке пересечения прямой, перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр описанной около основания окружности и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведённой через середину этого ребра.

Рассмотрите рисунок и ответьте на вопросы: 1) Где лежит центр шара? 2) Как найти радиус вписанного шара? 3) Как найти радиус описанного шара?

Рассмотрите рисунки и вставьте пропущенные слова: Центр шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, лежит на ______ КО пирамиды и биссектрисы угла KFO, составленного ______ и её______. Треугольник KNM ______ треугольнику FKO, так как ________ NM/ KM = = FO/FK; r_______, где FO – радиус окружности, вписанной в основание пирамиды.

Около любой треугольной пирамиды можно описать шар. Центр шара лежит на высоте пирамиды в точке пересечения с перпендикуляром, _____ через ______ бокового ребра. Около любой треугольной пирамиды можно описать шар. Центр шара лежит на высоте пирамиды в точке пересечения с перпендикуляром, _____ через ______ бокового ребра. Треугольники КМО и КСО 1 _______, так как _______. КО 1 ______ пирамиды. Треугольники КМО и КСО 1 _______, так как _______. КО 1 ______ пирамиды. ОО 1 = КО 1 – КО=______. ОО 1 = КО 1 – КО=______. В треугольнике СОО 1 по теореме Пифагора СО=___________. В треугольнике СОО 1 по теореме Пифагора СО=___________.

Шар, вписанный в призму Шар можно вписать в прямую призму, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности; Центр вписанного шара лежит на середине высоты прямой призмы, проходящей через центры окружностей, вписанных в основания призмы ( R шара = R окружности, вписанной в основание призмы).

Шар, описанный около призмы Около призмы можно описать шар, тогда и только тогда, когда призма прямая и около основания можно описать окружность; Центр шара, описанного около прямой призмы, лежит на середине высоты призмы, проведённой через центр окружности, описанной около основания.

Решите задачу 1. В четырёхугольную призму ABCDA1B1C1D1, вписана сфера. Площади граней ABB1A1 и и и и CDD1C1 с с с соответственно равны 6см и 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Решите задачу 2. Сфера описана около четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1. Двугранные углы при рёбрах AA1 и BB1 сооттветственно равны 60º и 95º. Найдите величины двугранных углов при рёбрах CC1 и и и и DD1.

Тест по теме: «Вписанные и описанные многогранники». В а р и а н т 1 Уровень А 1. Нельзя описать шар около… 1. Нельзя описать шар около… 1) куба; 1) куба; 2) прямоугольного параллелепипеда; 2) прямоугольного параллелепипеда; 3) прямого параллелепипеда. 3) прямого параллелепипеда. 2. Можно описать шар около пирамиды, основанием которой является… 2. Можно описать шар около пирамиды, основанием которой является… 1) тупоугольный треугольник; 1) тупоугольный треугольник; 2) ромб; 2) ромб; 3) прямоугольная трапеция. 3) прямоугольная трапеция. 3. Центр вписанного шара равноудалён… 3. Центр вписанного шара равноудалён… 1) от вершин многогранника; 1) от вершин многогранника; 2) рёбер многогранника; 2) рёбер многогранника; 3) граней многогранника. 3) граней многогранника. 4. Нельзя вписать шар в пирамиду, у которой равны… 1) углы между боковыми рёбрами и высотой пирамиды; 1) углы между боковыми рёбрами и высотой пирамиды; 2) апофемы; 2) апофемы; 3) двугранные углы при рёбрах основания. 3) двугранные углы при рёбрах основания.

5. Нельзя вписать шар в пирамиду, основанием которой является… 1) ромб; 2) прямоугольник; 3) квадрат. 6. Можно вписать шар в пирамиду, у которой равны… 1) двугранные углы при рёбрах основания; 2) боковые рёбра; 3) углы между боковыми рёбрами и высотой пирамиды. 7. В прямую треугольную призму вписан шар. Тогда высота призмы не может быть равна… 1) диаметру вписанной в основание окружности; 2) диаметру шара; 3) радиусу шара. 8. DABC – правильная пирамида. Q – центр вписанного шара. Тогда радиус шара – отрезок… 1) QM; 2) QL; 3) QK.

9. Объём многогранника, описанного около шара радиуса r, равен… 1) V= 1/3r*S полн ; 1) V= 1/3r*S полн ; 2) V= 3r*S полн ; 2) V= 3r*S полн ; 3) V= S полн /3r/ 3) V= S полн /3r/ Уровень В 1. Ребро куба равно 6 см. Тогда радиус вписанного в куб шара равен… 1. Ребро куба равно 6 см. Тогда радиус вписанного в куб шара равен… 2. Радиус описанного около куба шара равен 23 см. Тогда ребро куба равно … 2. Радиус описанного около куба шара равен 23 см. Тогда ребро куба равно … 3. В правильную треугольную призму 3. В правильную треугольную призму вписана сфера, радиус которой равен2 см. Тогда расстояние от центра сферы до Тогда расстояние от центра сферы до ребра основания равно… ребра основания равно…

4. Около правильной треугольной призмы описан шар радиуса 10 см. АВ = 63 см. Тогда боковое ребро призмы равно…. 5. В правильную треугольную пирамиду DABC вписан шар с центром О. М – точка касания шара и боковой поверхности грани ABD. МК= 23 см. Тогда периметр основания пирамиды равен…. 6. SABC – пирамида, CS (ABC). ACB=90º, BC= 6 см, AC = 8 см, CS= 24 см. Тогда радиус описанного около пирамиды шара равен….

В а р и а н т 2. Уровень А 1. Можно описать шар около… 1. Можно описать шар около… 1) прямоугольного параллелепипеда; 1) прямоугольного параллелепипеда; 2) прямого параллелепипеда; 2) прямого параллелепипеда; 3) наклонного параллелепипеда. 3) наклонного параллелепипеда. 2. Нельзя описать шар около пирамиды, основанием которой является… 2. Нельзя описать шар около пирамиды, основанием которой является… 1) тупоугольный треугольник; 1) тупоугольный треугольник; 2) ромб; 2) ромб; 3) равнобедренная трапеция. 3) равнобедренная трапеция. 3. Центр описанного шара равноудалён от… 1) вершин многогранника; 1) вершин многогранника; 2) рёбер многогранника; 2) рёбер многогранника; 3) граней многогранника. 3) граней многогранника. 4. Нельзя не описать шар около пирамиды, у которой равны… 1) двугранные углы при рёбрах основания; 1) двугранные углы при рёбрах основания; 2) апофемы; 2) апофемы; 3) боковые рёбра. 3) боковые рёбра.

5. Можно вписать шар в пирамиду, основанием которой является… 1) ромб; 1) ромб; 2) прямоугольник; 2) прямоугольник; 3) параллелограмм. 3) параллелограмм. 6. Нельзя вписать шар в пирамиду, у которой равны… 1) углы наклона боковых рёбер; 1) углы наклона боковых рёбер; 2) апофемы; 2) апофемы; 3) двугранные углы при рёбрах основания. 3) двугранные углы при рёбрах основания. 7. В прямую треугольную призму вписан шар. Тогда высота призмы… 1) равна радиусу шара; 1) равна радиусу шара; 2) в два раза больше радиуса; 2) в два раза больше радиуса; 3) в два раза меньше радиуса. 3) в два раза меньше радиуса. 8. DABC – правильная пирамида. Q – центр описанного шара. Тогда радиус шара – отрезок… 1) QM; 1) QM; 2) QC; 2) QC; 3) QL. 3) QL.

9. Многогранник описан около шара. Тогда радиус шара равен… 1) r= 3V/S ПОЛН ; 1) r= 3V/S ПОЛН ; 2) r= 3S пол н /V; 2) r= 3S пол н /V; 3) r= V/ S полн. 3) r= V/ S полн. Уровень В 1. Радиус вписанного в куб шара равен 3 см. Тогда ребро куба равно…. 2. Ребро куба равно 43 см. Тогда радиус описанного около куба шара равен…. 3. В правильную треугольную призму вписана сфера. Расстояние от центра сферы до ребра основания равно 52 см. Тогда радиус сферы основания равно 52 см. Тогда радиус сферы равен….

4. ABCA 1 B 1 C 1 - правильная треугольная призма, боковое ребро которой равно 8 см. АВ= 33 см. тогда радиус описанного шара равен…. 5. В правильную четырёхугольную пирамиду SABCD вписан шар с центром Q и радиусом равным 1 см. P ABCD = 83 см. Тогда двугранные углы при рёбрах основания равны…. 6. SABC – пирамида, AS (ABC). AB=BC=AC= 33 см. AS=8 см. Тогда радиус описанного около пирамиды шара равен….

Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки: