Начальные геометрические сведения Геометрия, 7 класс © Лукьянчук Т.Н., 2011 МОУ СОШ 1 г. Светлый

1. Урок 1 «Прямая и отрезок». Урок 1 «Прямая и отрезок». 2. Урок 2 «Луч и угол». Урок 2 «Луч и угол». 3. Урок 3 «Сравнение отрезков и углов». Урок 3 «Сравнение отрезков и углов». 4. Урок 4 «Измерение отрезков». Урок 4 «Измерение отрезков». 5. Урок 5 «Измерение отрезков». Урок 5 «Измерение отрезков». 6. Урок 6 «Измерение углов». Урок 6 «Измерение углов». 7. Урок 7 «Перпендикулярные прямые». Урок 7 «Перпендикулярные прямые». 8. Урок 8 «Перпендикулярные прямые». Урок 8 «Перпендикулярные прямые».

Урок 1 «Прямая и отрезок»

Ребята, прежде чем начать изучать геометрию, давайте узнаем, как зародилась эта интереснейшая наука.

Для первобытных людей важную роль играла форма окружавших предметов. Добывая пищу, возводя жилищные постройки, люди знакомились с простейшими геометрическими формами. Уже 200 тысяч лет тому назад были изготовлены орудия труда сравнительно правильной геометрической формы.

Пирамиды, которые были построены более 5 тыс. лет назад, состоят из каменных блоков весом 15 тонн, подогнанных друг к другу так, что между ними невозможно протиснуть почтовую открытку.

Издавна люди любили украшать свою одежду, дома. В любом орнаменте прослеживаются геометрические фигуры.

Геометрия – geо – земля, metreo – измерять. Ребята, догадайтесь, какие геометрические понятия возникли от данных слов: «столик», «трапеза» «льняная нить» «ткнуть» «бубен» «спица колеса»? Ответ: трапеция, линия, точка, ромб, радиус.

Первые геометрические понятия возникли из практических потребностей, например, они были связаны с измерением земельных участков. В египетских папирусах, вавилонских клинописных таблицах обнаружены образцы задач о вычислении площади.

В 3 веке до н.э. древнегреческий ученый Евклид написал книгу «Начала», которая позже стала энциклопедией геометрии. Среди определений, написанных в этой книге, есть такие: Точка есть то, что не имеет частей. Линия есть длина без ширины. Прямая есть такая линия, которая одинакова расположена по отношению ко всем своим точкам.

Величайшие геометры древности завершили создание античной геометрии. Почти 2000 лет их труды оставались непревзойденными. Только после трудов замечательного русского математика Н.И. Лобачевского геометрия начинает развиваться дальше.

Геометрические фигуры и узоры окружают нас везде и всюду:

Геометрические понятия и определения задействованы во многих областях, например, в компьютерных науках.

Векторная графикаВекторная графика представляет изображение как набор примитивов. Обычно в качестве них выбираются точки, прямые, окружности, прямоугольники. Объектам присваиваются некоторые атрибуты, например, толщина линий, цвет заполнения.

Растровая графикаРастровая графика – изображение состоит из точек (пикселов).пикселов Каждому пикселю сопоставляется значение яркости, цвета, прозрачности или комбинация этих значений. Растровый образ имеет некоторое число строк и столбцов.

Фрактальная графика. ФракталФрактал объект, отдельные элементы которого наследуют свойства родительских структур

Невозможные объекты

Морис Корнелиус Эшер «Подъем и спуск»

Морис Корнелиус Эшер «Водопад»

Морис Корнелиус Эшер «Белведер»

Работы Франсиса Табари

Сколько здесь колонн?

Квадратура колеса

Окружность в центре кажется искаженной.

Какая линия длиннее AC или AB?

Высота фигуры кажется большей чем, чем ее ширина, хотя в действительности фигура имеет форму квадрата.

А теперь приступим к изучению геометрических понятий.

Прямая Ломаная Отрезок Луч Прямоугольник Квадрат Многоугольник планиметриястереометрия Какие геометрические фигуры вам известны? Куб Цилиндр Шар Конус Пирамида Параллелепипед

Прямую можно обозначить двумя способами: маленькой латинской буквой, двумя большими латинскими буквами. § 1, стр. 5

Начертите в тетради прямую, обозначьте ее. Отметьте несколько точек, принадлежащих прямой. Отметьте одну точку, не принадлежащую прямой.

«Точка D принадлежит прямой АВ, а точка С не принадлежит прямой а» В геометрии для краткой записи используют символы принадлежности: є - принадлежит є – не принадлежит D є АВ С є а

Используя рисунок и символы принадлежности, запишите, какие точки принадлежат прямой, а какие – нет.

Сколько прямых можно провести через заданную точку? Сколько прямых можно провести через две точки? Через любые две точки можно провести прямые?

Свойство прямой. Через любые две точки можно провести прямую и при том только одну. § 1, стр. 5

X Y M K O XY MK = O Две прямые могут иметь либо одну общую точку, либо ни одной общей точки. § 1, стр. 6

Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками. АВ отрезок АВ концы отрезка !!! Отрезок обозначается АВ или ВА. § 1, стр. 6

На прямой а отметьте последовательно точки A, B, C, D. Запишите все получившиеся отрезки. Получились отрезки: AB, BC, CD, AC, AD, BD.

Самостоятельно выполните в тетради следующие задания:

Точка обозначается на плоскости одной большой латинской буквой. Точка обозначается на плоскости маленькой буквой латинского алфавита. Точка на плоскости никак не обозначается. Прямая обозначается двумя маленькими буквами латинского алфавита. Две прямые на плоскости могут пересекаться или не пересекаться. Отрезком называется часть прямой. Отрезок имеет только один конец. Концами отрезка называют любые две его точки. данет Согласитесь ли вы с высказываниями Незнайки?

Мой друг изобразил прямую, кривую и ломаную линии. К сожалению, кто-то испачкал его рисунок. Можно ли восстановить эти линии?

§ 1, 2, вопросы 1 – 3 1, 3, 4, 7 Дополнительная задача. Сколько различных прямых можно провести через четыре точки? Рассмотрите все возможные случаи и сделайте соответствующие рисунки. Запишите домашнее задание:

Урок 2 «Луч и угол»

Поверим домашнее задание:

Проверка домашнего задания. 3 Оa b c ab = O, bc = O, ca = O. Получилась одна точка пересечения. c b a PM K ab = M, bc = K, ca = P. Получилось три точки пересечения.

Проверка домашнего задания. 4 4 прямые: AC, BD, CD, AD. A B C D

Дополнительная задача. Проверка домашнего задания.

Подготовьте ответы на следующие вопросы: 1.Что такое точка? 2.Как можно обозначить точку? 3.Что такое прямая? 4.Как можно обозначить прямую? 5.Сколько прямых можно провести через две точки? 6.Сколько общих точек могут иметь две прямые? 7.Что называется отрезком? 8.Как обозначается отрезок? 9.Что называют концами отрезка? 10.Как называется прием построения прямой на местности?

Выполните самостоятельную работу. N K C A B D M а N K C A B D M а 1 вариант2 вариант 1.Выпишите точки, принадлежащие и не принадлежащие прямой а. 2.Сколько прямых можно провести через точки К и В, С и М? 3.Имеют ли и сколько точек пересечения прямые КВ и СА? 4.Пересекают ли прямую а отрезки СМ и СD? 5.Какая точка лежит между точками К и В, С и А?

ОВ а луч начало луча Проведите прямую а и отметьте на ней точку О. Прямая разделилась на 2 части, каждая из которых называется лучом. С Луч обозначают малой латинской буквой или двумя большими латинскими буквами, первая из которых обозначает начало луча.

E K C A B а A B C D Назовите лучи, изображенные на рисунке.

AKBE 1. Сколько лучей, выходящих из точки А, изображено на рисунке? 2. Какие лучи совпадают? 3. Какие лучи вместе с их обычным началом составляют прямую? 1. 3 луча: АК, АВ, АЕ 2. АВ и АЕ, ВА и ВК, ЕВ,ЕА и ЕК. 3. AK и AE, BK и BE

О А В Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и исходящих из нее двух лучей. вершина сторона АОВ Обозначение: h О

О А В внутренняя область угла внешняя область угла АОВ АОВ внутренняя область угла Любой угол разделяет плоскость на две части.

Назовите точки, принадлежащие: 1.внешней области угла; 2.внутренней области угла; 3.сторонам угла. О А В C F D E G N

Выполни самостоятельно работу в тетради.

Луч – это часть прямой, ограниченная одной точкой. Начало луча всегда записывается на втором месте. Началом луча АВ является точка А. Любой луч не имеет ни начала, ни конца. При пересечении двух прямых получается четыре луча. У любого угла может быть несколько вершин. Угол можно обозначить тремя способами. У любого угла может быть только две стороны. данет Согласитесь ли вы с высказываниями Незнайки?

Сколько углов изображено в каждом случае?

Какие из лучей, изображенных на рисунке проходят между сторонами развернутого угла ВАС? В А С a b c d f e

§2, вопросы , 13, 14 Дополнительная задача. Сколько существует вариантов расположения трех точек относительно угла? Запишите домашнее задание:

Урок 3 «Сравнение отрезков и углов»

Поверим домашнее задание:

Проверка домашнего задания: 11 h k l Получили углы: угол hk угол hl угол kl

13 Проверка домашнего задания: А В M N

14 Проверка домашнего задания: А О В С D

дополнительная задача

Подготовьте ответы на следующие вопросы: 1.Что называют лучом? 2.Как можно обозначить луч? 3.Что такое угол? 4.Как можно обозначить угол? 5.Что называют сторонами угла? 6.Что такое вершина угла? 7.Какой угол называют развернутым? 8.На сколько частей угол разделяет плоскость? Как называют эти части?

Какие из данных математических знаков имеют отношение к термину «сравнение»? + < - = > :

Сравни данные величины и сделай вывод. 1.отрезок АВ=20 см, отрезок CD = 2 дм; 2.угол АВС = 20°, угол MNK = 120°; 3.угол АВС = 20°, отрезок CD = 2 дм

Две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Чтобы установить, равны ли отрезки, наложим один отрезок на другой так, чтобы конец одного отрезка совместился с концом другого.

середина отрезка Точка отрезка, делящая его пополам, называется серединой отрезка. ОАВ

Углы накладываются один на другой так, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого угла, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон.

Неразвернутый угол составляет часть развернутого угла АОС В

n m k биссектриса Луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам, называется биссектрисой угла.

120° Посмотрите, как провести построение биссектрисы с помощью транспортира.

Точка С – середина отрезка АВ, точка О – середина отрезка АС. Заполните таблицу: АВАССВАООВ 1 2 см 2 5 мм 3 2,5 дм 4 3,2 м 5 6 см Выполни самостоятельно работу в тетради.

Неразвернутый угол всегда равен развернутому. Биссектрисой угла называется луч, делящий его на два равных угла. Любые два развернутых угла всегда равны. Любые два развернутых угла не всегда равны. Любые два развернутых угла всегда не равны. Любые два неразвернутых угла могут быть равны. Любые два неразвернутых угла всегда не равны. Любой луч, исходящий из вершины угла, делит его пополам. данет Согласитесь ли вы с высказываниями Незнайки?

§3 18, 20, 23 Запишите домашнее задание:

Урок 4 «Измерение отрезков»

Поверим домашнее задание:

Проверка домашнего задания: 18 ОВАС OB < OA OC > OA OB < OC

Проверка домашнего задания: 20 a)В – середина АС, С – середина АЕ, D – середина СЕ b)СЕ c)BD, AE

Проверка домашнего задания: 23 a)ОВ – биссектриса угла АОВ, ОD – биссектриса угла BOF, ОС – биссектриса угла АОЕ. b)BOD, AOE

Подготовьте ответы на следующие вопросы: 1.Какие фигуры называются равными? 2.Как сравнить отрезка? 3.Что называется серединой отрезка? 4.Как сравнить углы? 5.Что называется биссектрисой угла?

Исправьте ошибки, которые допустил Незнайка. Отрезки могут быть измерены с помощью различных приспособлений: градусника, часов, линейки, спидометра, циркуля, транспортиром, поэтому длина и ширина любого отрезка может быть измерена в разных единицах: в градусах, минутах и часах, сантиметрах, километрах в час, причем длина отрезка может быть как положительной, так и отрицательной величиной в зависимости от его направления.

Чтобы определить длину отрезка, его сравнивают с масштабным отрезком Длину отрезка можно выразить некоторым положительным числом. АВ ОС

Винни-Пух прочитал: «Расстояние от точки А до точки В равно 5 см, а от точки В до точки С – 3 см». Что означает знак «-» - тире или минус?"

Равные отрезки имеют равные длины АВ ОС

12345 Меньший отрезок имеет меньшую длину. АВ ОС

12345 Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ. АВС Длина отрезка также называется расстоянием между концами этого отрезка.

Метр – стандартная международная единица измерения отрезков. эталон метра Метр 1/ части земного меридиана.

Какие единицы измерения вы знаете? ? ?? ?

Инструменты, использующиеся на практике: линейка, в том числе масштабная миллиметровая инструменты рулетка

Пила имеет длину 1 метр, расстояние между соседними зубцами равна 25 мм. Найдите число зубцов пилы.

б Реши в тетради следующие задачи:

§4 24, 28, 29, 32 Запишите домашнее задание:

Урок 5 «Измерение отрезков»

Поверим домашнее задание:

Проверка домашнего задания: 32 ABC 12 см13,5 см АС = АВ + ВС = ,5 = 25,5 (см) ABC 12 см 13,5 см АС = ВС – АВ = 13,5 – 12 = 1,5 (см)

Подготовьте ответы на следующие вопросы: 1.Что называют масштабным отрезком? 2.Каким числом выражается длина отрезка? 3.На сколько частей разбивает отрезок точка, лежащая на этом отрезке? 4.Какие длины имеют равные отрезки? 5.Как еще называют длину отрезка? 6.Чему равна длина отрезка в случае, когда некоторая точка делит данный отрезок на два? 7.Чему приближенно равен метр? 8.Какие единицы измерения вы знаете? 9.Назовите инструменты, использующиеся на практике для измерения расстояний.

Из предложенных терминов выберите два, которые наиболее точно определяют математическое понятие «угол». пмаял ряичу резок тугол отреу аткиг кчно тоьл

Определи закономерность и назови номера рисунков, в порядке соответствующей этой закономерности.

На прямой отмечены точки А, В, С, D, Н так, что АВ=ВС=СD=DН. Какие еще равные отрезки определяют эти точки? Реши в тетради следующие задачи: Точка D принадлежит отрезку АВ. Длина отрезка АВ = 75 см. Найди длины отрезков АD и ВD, если а) АD = 1\4 ВD б) АD = 2 ВD в) АD : ВD = 3 : 2.

Выполните самостоятельную работу в тетрадях. 1 вариант 1. На прямой а отмечены точки C, D, E так, что CD=6 см, DE=8 см. Какой может быть длина отрезка СЕ? 2. Точка М – середина отрезка АВ, МВ = 4,3 дм. Найдите длину отрезка АВ в миллиметрах. 2 вариант 1. На прямой b отмечены точки А, В, С так, что АС=12 см, АВ = 8 см. Какой может быть длина отрезка ВС? 2. Точка Р – середина отрезка MN. Найдите длину отрезка PN в метрах, если MN = 14 дм.

§4 31 а, 33, 37 Запишите домашнее задание:

Урок 6 «Измерение углов»

Поверим домашнее задание:

Проверка домашнего задания: 31 а АВС 3,7 см 7,2 см ВС = АС – АВ = 7,2 – 3,7 = 3,5 (см)

Проверка домашнего задания: 3 ВDM 7 см16 см ВM = BD + DM = = 23(см) ВDM 7 см 16 см ВM = DM - BD = = 9(см)

Проверка домашнего задания: 37 АВСO 1.AB = 2 cм, тогда АС = 1 см, СВ = 1 см, АО = 0,5 см, ОВ = 1,5 см 2.СВ = 3,2 см, тогда АВ = 6,4 см, АС = 3,2 см, АО = 1,6 см, ОВ = 4,8 см

Отгадайте шараду: первая часть слова – природное явление, вторая часть слова – есть у кошки. Подсказка: Ответ: градус

Единица измерения углов – градус. Градус – это угол, равный 1/180 части развернутого угла. Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называется градусной мерой угла.

Для измерения углов используется транспортир. ТРАНСПОРТИР Он велик и необъятен, Не всегда он всем понятен - Мир углов и поворотов, Мир мудрейших звездочетов... Приоткроет дверь в тот мир Полукруглый транспортир.

Кратко записывают: 150° 40° h m F O G FOG = 150° hm = 40°

1/60 часть градуса называется минутой. Обозначается: «´». 1/60 часть минуты называется секундой. Обозначается: «» Угол в 60 градусов, 32 минуты, 45 секунд обозначается: 60°3245

Птолемей разделил окружность на 360° (градусов), каждую часть на 60 «первых мелких долей», а каждую «первую мелкую» долю на 60 «вторых мелких» долей. По латыни «minuta» - «мелкая», «secunda» - «вторая». Отсюда и названия «минута» и «секунда» для долей градуса.

Равные углы имеют равные градусные меры. 40° h1h1 m1m1 h m

Меньший угол имеет меньшую градусную меру. 150° 40° h m F O G

Развернутый угол равен 180°. Неразвернутый угол меньше 180 °.

Если луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов. h k m 60° 45° 105°

Углы бывают прямыми, острыми, тупыми. прямой угол тупой уголострый угол = 90° > 90° < 90°

Измерение углов на местности проводят с помощью астролябии.

- Хотел бы проходить между твоими сторонами. Что нужно сделать мне для этого? - С моей вершиной совмести точку свою начальную. Пересеки отрезок с концами на сторонах моих. Как видишь очень просто. - Но если ты развернутый? - Тогда исполнить первое достаточно. Да только не совпади с моей стороною. - Мне понятно, но как узнать, развернутый ли ты? - Коль до прямой дополнили друг друга стороны мои, то я развернутый, а если нет- то нет. - Теперь я знаю, как мне быть. Угадай персонажей, ведущих данный диалог.

Определите угол между стрелками часов:

Запишите в таблицу углы: Острые углы Тупые углы Прямые углы

120° – 32° = 38,5 °+ 85° = 29,5° 3 = 145° – (42°-40°) = 171° : 9= 28 ° 6 – 12° 5 – 32 3 = Произведите вычисления:

Выполните в тетрадях практическую работу: Начертите тупой угол АВС. Постройте биссектрису ВD угла АВС. Проведите луч ВО, делящий угол DBC на два неравных угла. Заполните таблицу: уголАВСАВDBDCDBOOBCABO измерения

Реши в тетради следующие задачи:

§5 49, 50, 52 Запишите домашнее задание:

Урок 7 «Перпендикулярные прямые»

Поверим домашнее задание:

Подготовьте ответы на следующие вопросы: 1.Что принимают за единицу измерения углов? 2.Чему равен 1 градус? 3.Что называют градусной мерой угла? 4.Какие названия носят определенные части угла? Чему они равны? 5.Какие градусные меры имеют равные углы? 6.Чему равен развернутый угол? 7.Какой угол называется прямым? 8.Какой угол называется острым? 9.Какой угол называется тупым?

Проверка домашнего задания: 49 О С А В ? 155° Решение: Пусть угол АОС = х°, тогда угол СОВ = (х+15)°. Тогда х + (х+15) = 155, х = 70

Проверка домашнего задания: 50 О С А В ? 108° Решение: Пусть угол СОВ = 3х, тогда угол АОВ = х. Составим уравнение: 4х = 108, х = 27 Угол СОВ = 3 27 = 81 (градус)

Проверка домашнего задания: 52 Решение: Угол XOZ = угол UOV +угол ZOV + угол UOX = 80° +80° = 160°

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением одна другой, называются смежными. АОВ С Как вы думаете, чему равна сумма смежных углов?

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого Вертикальные углы равны.

Опиши словесно чертеж и объясни, почему, если один угол прямой, то остальные тоже прямые

Две прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла. АСBD «Прямая АС перпендикулярна к прямой BD» AС В D Знак для обозначения перпендикулярности ввел П. Эригон (1634)

Перпендикуляр – от латинского слова perpendicularis («отвесный») (Дело в том, что с давних времен строители для получения прямых углов пользовались отвесами – грузиками на длинной веревке)

Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. P Q A A1A1 В1В1 В 1 2

Есть ли на дереве ветви, перпендикулярные стволу?

Посмотрим, как построить перпендикулярные прямые при помощи линейки и угольника:

Нарисуйте три пары различных смежных углов. Обозначьте их 1 и 2. Измерьте градусные меры данных смежных углов. Вычислите сумму каждой пары смежных углов. Заполните таблицу. Сделайте вывод. Выполните в тетради практическую работу. угол 1угол 2угол1+угол2 рис. 1 рис 2. рис 3.

Нарисуйте 3 пары пересекающихся прямых. Обозначьте в них пары вертикальных углов 1, 2, 3, 4. Измерьте градусные меры этих углов. Результаты измерений занесите в таблицу. Сравните угол 1 с углом 3, угол 2 с углом 4. Сделайте вывод. угол 1угол 2угол 3угол 4 рис. 1 рис. 2 рис. 3

Даны смежные углы и три утверждения о них: один из них на 90° больше другого; их градусные меры относятся как 4 : 5; один из них в 3 раза меньше другого. Одно из этих утверждений противоречит двум другим. Найдите его.

Собери 5 бананов (выбери нужный ответ). Угол АОВ смежный с углом ВОС. Найди угол АОВ, если Угол АОВ меньше угла ВОС на 40° 70° 110° 35° Угол АОВ больше угла ВОС на 120° Угол АОВ больше угла ВОС на 47°18´ Угол АОВ в 3 раза меньше угла ВОС Угол АОВ относится к углу ВОС, как 5 к ° 30°100° 113°39´ 66°21´ 140°21´ 135° 45° 75° 90° 100° 80°

§6 57, 67, 68 Запишите домашнее задание: Проверь себя, выполнив тест.

Урок 8 «Перпендикулярные прямые»

Поверим домашнее задание:

Подготовьте ответы на следующие вопросы: 1.Какие углы называются смежными? 2.Чему равна сумма смежных углов? 3.Какие углы называются вертикальными? 4.Какие прямые называются перпендикулярными? 5.Пересекаются ли две прямые, перпендикулярные к третьей?

Проверка домашнего задания: 67 Решение: Угол 3 и угол 4 равны, как вертикальные. Угол 1 + угол 2 + угол 3 = 180°, так как вместе составляют развернутый угол.

68 Проверка домашнего задания: O A B C D E F 50° 70° Решение: Угол ВОС = углу FOC = 70° (как вертикальные) Угол АОВ = углу EOD = 50° (как вертикальные). Угол АОС = 70° + 50° = 120° Угол BOD = 70° + 60° = 130° Угол СОЕ = 60° +50° = 110° Угол СОD = 180° - 70° - 50° = 60°

Назови смежные углы:

Найдите на рисунках вертикальные углы:

Найдите на рисунках градусные меры неизвестных углов ° ° ° 2 45° 13 4

Ответьте на следующие вопросы: 1.Один из смежных углов прямой, каким (острым, тупым или прямым) будет другой угол? 2.Верно ли, что, если смежные углы равны, то они прямые? 3.Даны два равных угла. Равны ли смежные с ними углы?

Назови пары взаимно перпендикулярных отрезков: А B C DE F G HP K O Q1Q1 Q2Q2 Q3Q3 Q4Q4 Q5Q5 Q6Q6 Q7Q7 Q8Q8 Q9Q9 Q 10 Q 11 Q 12

a b c М Построй перпендикулярные прямые, проходящие через точку М, к прямым a, b, c.

Выполните самостоятельную работу. Найдите углы 1, 2, 3, ° 60° ° 4 60° вариант2 вариант

Повторить всю теорию. 55, 64, 65 б Запишите домашнее задание: Проверь себя, выполнив тест.