Медицинская и биологическая физика под общей редакцией члена- корреспондента АПН Украины, профессора А. В. Чалого Том 1

Раздел 1 Математическая обработка медико- биологической информации ст.6-84

Работу выполнила: ученица 11-Б класса 3 группы УМЛ НМУ им. О.О.Богомольца Киян Виктория Руководитель: Лялько Вера Ивановна

1.1. Элементы дифференциального исчисления (ст.7-25)

Содержание: Производная и дифференциал функции Основные правила дифференцирования Таблица производных основных элементарных функций Правило дифференцирования сложной функции Производные высшего порядка Исследование функций на монотонность. Максимумы и минимумы функций Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба Построение графиков функций

Производная и дифференциал функции Производной y от функции y=f(x) по аргументу x называется граница отношения прироста функции Δy к приросту аргумента Δx при условии, что прирост аргумента бесконечно мал, то есть

Если функция y=f(x) дифференцированная, то согласно определению производной ее прирост Δy можна подать в виде предельного значения y и бесконечно малой величины a, которая содержит Δx и исчезает при x0, то есть Основная часть прироста функции Δу, которая равна произведению производной у на прирост аргумента Δх, называется дифференциалом функции dy: dy = yΔx

Дифференциал dy это линейная часть прироста функции, поскольку произведение a(Δx)Δx - величина нелинейная относительно Δx. Согласно определению dx=xΔx, но x=1. Отсюда: dx=Δx Дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной

Геометрическое толкование производной и дифференциала Геометрическое толкование производной тесно связано с определением касательной. Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в данной точке M(x 0,y 0 ) имеет вид: y-y 0 =f(x 0 )(x-x 0 ) y x o f(x 0 +Δx) y0y0 y=f(x) N M dy ΔyΔy φα x0x0 x0+Δxx0+Δx

Физическое толкование производной и дифференциала В каждой точке, где функция y=f(x) дифференцированная, производная y=f(x 0 ) являет собой скорость изменения функции в этой точке относительно аргумента x. Замена прироста функции ее дифференциалом позволяет считать процесс изменения функции линейным относительно малых изменений аргумента.

Основные правила дифференцирования Допустим, что u = f (x) и v = ɣ (x) – дифференциальные переменные независимой переменной х; с – некоторая константа, тогда справедливыми есть такие утверждения: 1.Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций: (u ± v) = u + v 2.Производная произведения определяется по формуле: (uv) = uv + uv

3. Производная частного: (u / v) = (uv + uv) / v 4. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: (cu) = cu Правила вычисления дифференциала такие же, как и правила вычисления производных – дифференциал отличается от производной только на множитель dx.

1.1.3 Таблица производных основных дифференциальных функций (x n-1 )=nx n-1 (sin x)=cos x (cos x)=-sin x (tg x)=1/cos 2 x (ctg x)=-1/sin 2 x (arcsin x)=1/SQRT(1-x 2 ) (arccos x)=-1/SQRT(1-x 2 ) (a x )=a x ln a (e x )= e x (arctg x)=1/1+x 2 (arcctg x)=1/1+x 2 (ln x)=1/x (x>0) (log a x)=1/a ln a = =log a e/x (x>0,a>0)

1.1.4 Правила дифференцирования сложной функции Если y = f (u), а u = ɣ (x), тоесть y = [ ɣ (x)] – сложная функция и функции y (u) и u (x) - дифференцированные, то сложная функция y = [ ɣ (x)] также дифференцированная, причем y(x) = y(u) u(x) или dy/dx=dy/du*du/dx Это правило распространяется на цепочку с любого числа дифференциальных функций.

1.1.5 Производные высшего порядка Производной второго порядка или второй производной функции называется производная от ее первой производной: y = f(x) = d y / dx = (f(x)) Определение (математическое) второй производной в точке х = х : Производную n-порядка получают в результате дифференцирования в n раз функции y = f (x).

1.1.6 Исследования функций на монотонность. Минимумы и максимумы функций Функции, у которых производная на некотором промежутке не меняет знак, называется монотонной на этом промежутке. Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Функция имеет в некоторой точке максимум (минимум), если для достаточно малого прироста (любого знака) выполняется неравенство: f (x 0 +Δx) f(x 0 )).

Если дифференцированная в некотором интервале (a;b) функция имеет в точке x 0 (a;b) экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю: f(x 0 )=0. Точки, в которых производная превращается в ноль, называются критическими. Необходимое условие существования экстремума

Достаточное условие существования экстремума Если производная функции f(x) превращается в ноль в точке x 0 и при переходе через эту точку в направлении увеличения x меняет знак «плюс» («минус») на «минус» («плюс»), то в точке x 0 эта функция имеет максимум (минимум).

Второе достаточное условие существования экстремума Допустим, что функция имеет в точке x 0 и рядом с ней непрерывные первую и вторую производные, причем f(x 0 )=0, f(x 0 ) 0. Тогда функция имеет в точке x 0 минимум (максимум), если fx 0 >0 (fx 0

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба График дифференцированной функции y=f(x) выпуклый на интервале (a,b) (вогнутый на интервале (a 1,b 1 )), если при любых значениях x с этого интервала дуга кривой размещена ниже (выше) касательной, проведенной в любой точке интервала.

y x a b x1x1 x2x2 y x o o ab x1x1 x2x2 Выпуклый график Вогнутый график

Построение графиков функций Полное исследование функции проводят по схеме: 1.Находят области определения функции, точки разрыва, множество значений функции. 2.Находят асимптоты графика. 3.Исследуют функцию на парность, непарность, периодичность. 4.Исследуют функцию на монотонность и находят ее экстремумы. 5.Определяют направление выпуклости графика, точки перегиба. 6.Находят точки пересечения с осями координат. 7.Строят график.

Контрольные вопросы Что называется производной y от функции y=f(x) по аргументу x? Что называется второй производной функцией? Что называется экстремумом функции?

1.2. Функции нескольких переменных (ст.25-33)

Содержание: Частные производные и дифференциалы функции нескольких переменных Полный дифференциал Применение дифференциала функции для вычисления погрешностей

Частные производные и дифференциалы функции нескольких переменных Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, которые существуют в природе. В прикладных задачах приходится иметь дело с функциями нескольких переменных: Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, которые существуют в природе. В прикладных задачах приходится иметь дело с функциями нескольких переменных: y=f(x, t) u=f (x, y, z, t). Рассмотрим функцию двух независимых переменных z=f(x, t). Областью определения будем считать множество всех точек плоскости, для которых формула имеет содержание.

Полный дифференциал Рассмотрим u = f(x, y, z) - функцию трех независимых переменных, которая есть определенной и дифференцированной в некотором интервале. Главная, линейная относительно Δ x, Δ y, Δ z часть прироста функции называется полным дифференциалом du функции трех переменных: Рассмотрим u = f(x, y, z) - функцию трех независимых переменных, которая есть определенной и дифференцированной в некотором интервале. Главная, линейная относительно Δ x, Δ y, Δ z часть прироста функции называется полным дифференциалом du функции трех переменных: Иначе говоря, полный дифференциал функции равняется сумме ее частичных дифференциалов. Иначе говоря, полный дифференциал функции равняется сумме ее частичных дифференциалов.

Вектор, модуль которого равняется наибольшей скорости увеличения функции u=f(x,y,z) в данной точке P, а направление совпадает с направлением максимального увеличения, называют градиентом функции.

Применение дифференциала функции для вычисления погрешностей Абсолютная погрешность - это разность между измеренным x 1 и точным x 0 значениями величины: Абсолютная погрешность - это разность между измеренным x 1 и точным x 0 значениями величины: Δx i =| x i -x 0 | (i=1,2 … n) Δx i =| x i -x 0 | (i=1,2 … n) Относительная погрешность - отношение абсолютной погрешности для точного (истинного) значения измеренной величины: Относительная погрешность - отношение абсолютной погрешности для точного (истинного) значения измеренной величины: ε=Δx/x 0 ε=Δx/x 0

Различают три вида погрешностей: а)случайные, б)систематические, в)промахи. Случайные погрешности - это такие, которые непредвиденно меняют свою величину и знак от исследования до исследования. Систематические погрешности - те, которые остаются постоянными или закономерно изменяются при повторном измерении, сохраняя свой знак, а, иногда, и величину. Промахи - грубые ошибки, которые значительно превышают ожидаемые в данных условиях.

Правила обозначения погрешностей Вычисляемая величина Абсолютная погрешность, Δu Относительная погрешность, ε u u=x ± yΔx +Δy (Δx + Δy )/( x ±y) u=x yxΔy + yΔxΔx /x + Δy /y u=x / y(yΔx + xΔy)/y 2 Δx /x + Δy /y u=x nnx n-1 Δxn Δx /x ln xΔx /xΔx /x ln x

Контрольные вопросы полный дифференциал функции?Чему равен полный дифференциал функции? ЧтоЧто называют градиентом функции? Назовите три вида погрешностей.

1.3. Элементы интегрального исчисления (ст.33-44)

Содержание Исходная. Неопределенный интеграл Свойства неопределенного интеграла Таблица простейших интегралов Основные методы интегрирования Определенный интеграл Свойства определенного интеграла Формула Ньютона-Лейбница

Исходная. Неопределенный интеграл Теорема о существовании исходной. Каждая непрерывная функция имеет бесконечное число исходных, которые отличаются одна от другой на постоянное слагаемое. Совокупность всех исходных F(x) +C для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x).

Свойства неопределенного интеграла 1.Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла 2.Интеграл от алгебраической сумы конечного числа функций равен алгебраической суме интегралов от этих функций 3.Производная от неопределенного интеграла равна под интегральной функции 4.Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцированной функции равен, с точностью до устойчивого слагаемого, самой этой функции 5.Если две функции тождественно равны, то их исходные могут отличатся только постоянным слагаемым

Таблица простейших интегралов

Основные методы интегрирования 1.Непосредственное интегрирование 2.Метод разложения 3.Интегрирование подстановкой (замена переменной) 4.Интегрирование по частям

Определенный интеграл Величина называется интегральной сумой, или сумой Дарбу. Если граница интегральной сумы существует при всех Δx i 0, то эта граница называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b].

Свойства определенного интеграла 1.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла 2.Интеграл от алгебраической сумы функций равен суме определенных интегралов от слагаемых 3.Если отрезок [a, b] = [a, c] + [c, b], то 4.При перестановке границ интегрирования интеграл меняет знак на противоположный

Формула Ньютона-Лейбница Задача вычисления определенного интеграла сводится к нахождению исходной:

Контрольные вопросы Сформулируйте теорему о существовании исходной. Назовите основные методы интегрирования. Что называют суммой Дарбу?

1.4. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ст.44-57)

Содержание: Понятия о дифференциальных уравнениях Линейные дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения с переменными, которые разделяются Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Понятия о дифференциальных уравнениях Дифференциальным называется уравнение, в которое, кроме функции y и независимой переменной x, входят производные функции y, y, …, y (n) (или дифференциалы dx и dy)

Самый высокий порядок производной, которая входит в дифференциальное уравнение, называют порядком дифференциального уравнения

В случае функции одной переменной (y = f (x)) уравнение называют обыкновенным дифференциальным уравнением. В случае двух (y = f (x 1,x 2 )) и больше переменных уравнение называют дифференциальным уравнением в частичных производных.

Линейные дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и ее производные y, y, … входят в уравнение только в первой степени. В ином случае – уравнение нелинейное.

Система функций называется линейно независимой, если ни одна из них не может быть подана в виде линейной комбинации последних функций.

Если y 1 =φ 1 (x), φ 2 (x), …, φ k (x), - решения однородного уравнения, то любая их линейная комбинация C 1 y 1 + C 2 y 2 +…+ C k y k Тоже является решением этого однородного уравнения, C 1, C 2,… C k – константы.

Совокупность линейно независимых решений, количество функций в которой равно порядку дифференциального уравнения, называют фундаментальным набором решений линейного дифференциального уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Если функция f (x, y) и ее частичная производная f y (x, y) непрерывны в некоторой области, то существует в данной области единое решение y= φ(x) этого уравнения, для которого справедливо: если x= x 0, то y= y 0

Дифференциальные уравнения с переменными, которые разделяются f 1 (x) * f 2 (y) dx + φ 1 (x) * φ 2 (y) dy = 0 Такое уравнение называется уравнением с переменными, которые разделяются. Оно может быть приведенным к уравнению с разделенными переменными путем деления на произведение. Эту процедуру называют разделением переменных.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Зависимо от знака дискриминанта возможны три варианта: 1.p 2 / 4 – q > 0. В этом случае оба корни разные и существует два линейно независимых решения. 2.p 2 / 4 – q = 0. В этом случае λ 1 = λ 2 = λ 3.При p 2 / 4 – q < 0 корнями есть комплексные спряженные числа.

Задача решения однородного дифференциального уравнения сводится к решению соответствующего алгебраического характеристического уравнения. Зависимо от знака дискриминанта характеристического уравнения, общее решение приобретает одного из трех поданных выше видов.

Контрольные вопросы Что называют дифференциальным уравнением? Какое дифференциальное уравнение называют линейным? Сколько видов решений у однородного дифференциального уравнения? Назовите их.

1.5. Основы теории вероятностей и математической статистики (ст.58-84)

Содержание: Классификация событий. Частота и вероятность события Теорема сложения вероятностей Теорема умножения вероятностей Формула полной вероятности. Формулы Байеса Повторные испытания. Формула Бернулли

Случайная величина, дискретные и непрерывные случайные величины Интегральная и дифференциальная функции распределения Основные количественные характеристики распределения случайных величин Основные законы распределения случайных величин Корреляционная зависимость

Классификация событий. Частота и вероятность события События можно разделить на три типа: 1.Достоверные – те, которые происходят всегда, независимо от условий, в которых они наблюдаются 2.Невозможные – те, которые никогда не имеют места быть 3.Случайные – те, которые могут возникать или не возникать при исполнении определенного комплекса условий

Случайные события подразделяются на: Несовместимые – те, которые не могут реализовываться одновременно Независимые – те, которые никак не связаны между собой Зависимые – те, протекание которых взаимообусловлено, то есть появление одного события влияет на реализацию другого.

Частота события – это соотношение числа испытаний, в которых данное событие реализуется, до полного числа испытаний.Частота события – это соотношение числа испытаний, в которых данное событие реализуется, до полного числа испытаний. Частота события при большом числе испытаний теряет случайный характер. Частота события при большом числе испытаний теряет случайный характер. Вероятность случайного события называется граница, до которой приближается частота события при неограниченном росте полного числа испытаний.Вероятность Р(А) случайного события А называется граница, до которой приближается частота события А при неограниченном росте полного числа испытаний. Вероятность любого события удовлетворяет двойное неравенствоВероятность любого события удовлетворяет двойное неравенство 0P(A)1

Теорема сложения вероятностей Теорема сложения вероятностей для несовместимых событий : Теорема сложения вероятностей для несовместимых событий : вероятность объединения двух случайных несовместимых событий равняется сумме вероятностей каждого события отдельно, то есть P(A1 або A2) = P(A1υA2) = P(A1)+P(A2) A1A1A1A1 A2A2A2A2

Теорема сложения вероятностей для совместимых событий выглядит Теорема сложения вероятностей для совместимых событий выглядит P(A1 або A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 і A2), де и. де Р (А1 і А2) – вероятность совмещения событий А1 и А2. A1A1A1A1 A2A2A2A2

Теорема умножения вероятностей Теорема умножения вероятностей для независимых событий: вероятность пересечения двух независимых событий равняется произведению вероятностей этих событий, то есть Теорема умножения вероятностей для независимых событий: вероятность пересечения двух независимых событий равняется произведению вероятностей этих событий, то есть P(A1 і A2) = P(A1 ח A2) = P (A1) P (A2). A1A1A1A1 A2A2A2A2

Теорема умножения для зависимых событий: вероятность пересечения двух зависимых событий равняется произведению условной вероятности на вероятность реализации события Теорема умножения для зависимых событий: вероятность пересечения двух зависимых событий равняется произведению условной вероятности РА(В) на вероятность реализации события А-Р(А) P(A і B) = P(A)PА(В) в случае независимых событий А и В в случае независимых событий А и В РА (В) = P(B)

Формула полной вероятности. Формулы Байеса Если события могут реализоваться только при исполнении одного из событий, которые образуют полную группу несовместимых событий, то вероятность события вычисляется по формуле : Если события А могут реализоваться только при исполнении одного из событий В1, В2,..., Вn, которые образуют полную группу несовместимых событий, то вероятность события А вычисляется по формуле : – формула полной вероятности. P(A) =P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) +…+P (Bn) PBn (A) – формула полной вероятности.

Формула Байеса: P A (B i )= Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как результат испытания стал известным.

Повторные испытания. Формула Бернулли Предположим, что проводится несколько испытаний, причём вероятность событияА в каждом испытании не зависит от результатов других испытаний. Найдем вероятность того, что событие A реализуется ровно m раз в серии сn испытаний. Предположим, что проводится несколько испытаний, причём вероятность события А в каждом испытании не зависит от результатов других испытаний. Найдем вероятность того, что событие A реализуется ровно m раз в серии с n испытаний.

Эта вероятность определяется формулой: Эта вероятность определяется формулой: где – вероятность появления события в данном опыте; – вероятность того, что событие не появляется в данном опыте; где р – вероятность появления события А в данном опыте; q= 1 – р – вероятность того, что событие А не появляется в данном опыте; - число возможных комбинаций из n елементов по m. - число возможных комбинаций из n елементов по m.

Случайная величина, дискретные и непрерывные случайные величины Случайными называются величины, которые в результате испытаний могут приобретать разные числовые значения в одинаковых условиях испытаний.Случайными называются величины, которые в результате испытаний могут приобретать разные числовые значения в одинаковых условиях испытаний.

Случайные величины бывают: Случайные величины бывают: 1. Дискретными, то есть такими, какие приобретают конечное количество значений и их можно пронумеровать. 1. Дискретными, то есть такими, какие приобретают конечное количество значений и их можно пронумеровать. 2. Непрерывными, то есть такими, которые приобретают любые значения внутри заданного интервала. 2. Непрерывными, то есть такими, которые приобретают любые значения внутри заданного интервала.

Разпределением дискретной случайной величины называется результат ее возможных значений и вероятностей, которые отвечают этим значениям случайной величины. Как правило, распределение случайной дискретной величины характеризируется таблицей : Разпределением дискретной случайной величины Х называется результат ее возможных значений Х1, Х2, Х3, …, Хn и вероятностей Р1, Р2, Р3, …, Рn, которые отвечают этим значениям случайной величины. Как правило, распределение случайной дискретной величины характеризируется таблицей : Х 1 Х 2 … Х n-1 X n P 1 P 2 … Р n-1 P n

Интегральная и дифференциальная функции распределения Интегральной функцией распределения (интегральным законом распределения) случайной величины Х називается функция F (x), которая равняется вероятности того, что случайная величина Х обретет значение меньше, чемИнтегральной функцией распределения (интегральным законом распределения) случайной величины Х називается функция F (x), которая равняется вероятности того, что случайная величина Х обретет значение меньше, чем х:, где х - действительное число. F (x) = P(X

Основные свойства интегральной функции :Основные свойства интегральной функции : 1.0F (x)1 убывающая функция, то есть, если, то 2.F (x)– убывающая функция, то есть, если х1>х2, то F (х1) F (х2) 3.P (a X< b) = F (b) –F (a) 4.F (X=x0) = 0 5.P (a< X

Дифференциальной функцией распределения называется функция, которая равна производной интегральной функции распределения : Дифференциальной функцией распределения называется функция f (x), которая равна производной интегральной функции распределения : f (x) = F (x)

Вероятность того, что непрерывная случайная величина будет приобретать значения с некоторого интервала (a ; b), равняется вычисленному интегралу от ее плотности распределения с границами интегрирования a и b: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х будет приобретать значения с некоторого интервала (a ; b), равняется вычисленному интегралу от ее плотности распределения f (x) с границами интегрирования a и b:

значений случайной величины в данный интервал равна площади фигуры, ограниченной кривой, которая задает плотность распределения, осью абсцисс и прямыми,. Вероятность (а

Основные количественные характеристики распределения случайных величин 1. Математическое ожидание или среднее значение случайной величины1. Математическое ожидание или среднее значение случайной величины 2. Дисперсия случайной величины :2. Дисперсия D (X) случайной величины Х : Другое выражение для дисперсии выглядит : Другое выражение для дисперсии выглядит : D (X) = M (X ) – M (X)

Таким образом, дисперсия – это разница математического ожидания квадрата случайной величины і квадрата математического ожидания этой величины. Таким образом, дисперсия – это разница математического ожидания квадрата случайной величины і квадрата математического ожидания этой величины. 3. Среднее квадратическое отклонение связано с дисперсией формулой :3. Среднее квадратическое отклонение ơ (Х) связано с дисперсией формулой : Видно, что размерность ơ совпадает з размерностью самой случайной величины.Видно, что размерность ơ совпадает з размерностью самой случайной величины Х.

Основные законы распределения случайных величин Основные законы распределения случайных величин: 1.Биномиальное распределение 2.Распределение Пуассона 3.Нормальное распределение (распределение Гаусса) 4.Функция Лапласа

Биномиальное распределение – это распределение вероятностей, которое определяется формулой Бернулли Биномиальное распределение – это распределение вероятностей, которое определяется формулой Бернулли Подаем биномиальное распределение в виде таблицы: X01…m…n Pqnqn C 1 n pq n-1 …C m n p m q n-m …pnpn

Для определения вероятности того, что событие, вероятность которого мала (p

Распределение Пуассона используется в теории массового обслуживания, теории надежности, в проблемах использования медицинской аппаратуры и т. д.Распределение Пуассона используется в теории массового обслуживания, теории надежности, в проблемах использования медицинской аппаратуры и т. д. Математическое ожидание дискретной величины Х, распределенной по закону Пуассона, равняется:Математическое ожидание дискретной величины Х, распределенной по закону Пуассона, равняется: Дисперсия:Дисперсия:

График распределения Гаусса описывается симметричной относительно кривой имеет содержание среднеквадратического отклонения.График распределения Гаусса описывается симметричной относительно кривой имеет содержание среднеквадратического отклонения. При ордината кривой нормальной плотности вероятности равна:

При уменьшении эта ордината неограниченно растет. При этом кризис пропорционально вытягивается вдоль оси ординат, так что ее площадь остается равна единице.При уменьшении эта ордината неограниченно растет. При этом кризис пропорционально вытягивается вдоль оси ординат, так что ее площадь остается равна единице. Нормальное распределение с параметрами називают нормированным. Плотность распределения в таком случае равна: Нормальное распределение с параметрами називают нормированным. Плотность распределения в таком случае равна:

Функция Ф(x) називается функцией Лапласа, с ее помощью можна найти вероятность попадания значений нормально распределенной случайной величины в любой отрезок числовой оси. Для функции Лапласа сложены таблицы, схожие с широкоизвестными таблицами логарифмов или тригонометрических функций. Функция Ф(x) називается функцией Лапласа, с ее помощью можна найти вероятность попадания значений нормально распределенной случайной величины в любой отрезок числовой оси. Для функции Лапласа сложены таблицы, схожие с широкоизвестными таблицами логарифмов или тригонометрических функций.

Для характеристики корреляционного эффекта между случайными величинами используют коэффициент r корреляции, который есть мерой зависимости между этими величинами. Определяется формулой: Для характеристики корреляционного эффекта между случайными величинами используют коэффициент r корреляции, который есть мерой зависимости между этими величинами. Определяется формулой:

Если случайные величины не зависят друг от друга, то r = 0. Коэффициент корреляции может приобретать максимальное значение, равное +1 и -1. Тесная корреляция (0.7 r >0.4); практическое отсутствие корреляции (r r >0.4); практическое отсутствие корреляции (r < 0.4).

Контрольные вопросы Назовите классификацию событий. Что называют частотой события? Сформулируйте теорему сложения вероятностей. Что называют случайными величинами? Что называют дисперсией?

Томас Байес Томас Байес (1702 – 1761гг.) - английский математик, член Лондонского объединения.Томас Байес (1702 – 1761гг.) - английский математик, член Лондонского объединения.

Д. Пуассон Пуассон Симеон Дэни ( 1781 – 1840 гг.) – французский математик, физик, механик. Член Парижской академии наук (1812г.).Пуассон Симеон Дэни ( 1781 – 1840 гг.) – французский математик, физик, механик. Член Парижской академии наук (1812г.).

Карл Фридрих Гаусс Йоганн Фридрих Карл Гаусс (1777 – 1855гг. )Йоганн Фридрих Карл Гаусс (1777 – 1855гг. )

Пьер – Симон Лаплас Пьер – Симон Лаплас ( 1749 – 1827гг.) – французский математик, физик, член многих академий и институтов.Пьер – Симон Лаплас ( 1749 – 1827гг.) – французский математик, физик, член многих академий и институтов.