1 Первые математические теории. Учение Евклида ПСТГУ Круглов М.С. Гр г.

2 Введение Общая характеристика математики Общая характеристика математики

3 Содержание: 1. История начальных математических теорий История математики Древнего Египта История математики Древнего Египта История математики Древнего Вавилона История математики Древнего Вавилона История математики Древнего Китая История математики Древнего Китая История математики Древней Индии История математики Древней Индии 2. Концепции и структуры геометрии и учения Евклида 3. Литература

4 1. История начальных математических теорий 1. Мотивы возникновения первичных математических понятий 2. Системы счисления

5 Мотивы возникновения первичных математических понятий: Мотивы возникновения первичных математических понятий: Необходимость отражения свойств и отношений реальных предметов существующего мира. Для определения количества предметов были введены натуральные числа. Необходимость отражения свойств и отношений реальных предметов существующего мира. Для определения количества предметов были введены натуральные числа. Чувственное восприятие человеком адекватности количества предметов числам, отражающим это количество. Чувственное восприятие человеком адекватности количества предметов числам, отражающим это количество. Необходимость сравнения количеств между собой и с наглядными эталонами (пальцами рук и т.д.) Необходимость сравнения количеств между собой и с наглядными эталонами (пальцами рук и т.д.) Потребность в символической характеристике чисел, что привело к появлению различных систем счисления как совокупности символов и правил для записи чисел Потребность в символической характеристике чисел, что привело к появлению различных систем счисления как совокупности символов и правил для записи чисел

6 Системы счисления Система узловых(базовых) чисел Система узловых(базовых) чисел Иероглифические непозиционные системы счисления Иероглифические непозиционные системы счисления Позиционные системы счисления Позиционные системы счисления

7 История Древнего Египта Сведения об уровне развития математики, относящиеся к 2000 г. до н.э., хранятся на двух древнеегипетских папирусах. Информация, хранящаяся на папирусе, имеет следующие свойства: Постановка элементарных математических проблем: действия с дробями, вычисление площади прямоугольников, трапеций и круга и объема геометрических фигур Постановка элементарных математических проблем: действия с дробями, вычисление площади прямоугольников, трапеций и круга и объема геометрических фигур Использование десятично-иероглифической системы счисления: для узловых чисел устанавливались индивидуальные иероглифы, для алгоритмических – комбинации узловых чисел Использование десятично-иероглифической системы счисления: для узловых чисел устанавливались индивидуальные иероглифы, для алгоритмических – комбинации узловых чисел

8 История математики Древнего Вавилона Информация о данном этапе развития математики, относящемся к периоду от 2000 до 200 гг. до н.э., получена на основе изучения от 50 до 200 больших плоских табличек из глины и содержит следующие свойства: Использование позиционной 60-ричной системы счисления чисел, не имеющей нуля Использование позиционной 60-ричной системы счисления чисел, не имеющей нуля Применение правил арифметических действий как с целыми числами, так и с дробями Применение правил арифметических действий как с целыми числами, так и с дробями Составление таблиц квадратов, кубов чисел, таблиц обращения чисел Составление таблиц квадратов, кубов чисел, таблиц обращения чисел

9 История математики Древнего Вавилона Рассмотрение задач, использующих понятия процентов за долги, и задач, требующих решения алгебраических уравнений до третьей степени Рассмотрение задач, использующих понятия процентов за долги, и задач, требующих решения алгебраических уравнений до третьей степени Применение элементов суммирования арифметических прогрессий и рядов, наборов пифагоровых чисел x, y, z, удовлетворяющих равенству Применение элементов суммирования арифметических прогрессий и рядов, наборов пифагоровых чисел x, y, z, удовлетворяющих равенству x 2 +y 2 =z 2. x 2 +y 2 =z 2. Подбор этих чисел привел к необходимости применения формул вида Подбор этих чисел привел к необходимости применения формул вида x 2 =p 2 -q 2, y=2pq, z=p 2 -q 2 x 2 =p 2 -q 2, y=2pq, z=p 2 -q 2

10 История математики Древнего Китая Математические понятия развивались с 14 в. до н.э. Основные результаты этого периода сформулированы в труде «Математика в 9 книгах», в котором указываются: Математические понятия развивались с 14 в. до н.э. Основные результаты этого периода сформулированы в труде «Математика в 9 книгах», в котором указываются: Теория изменения полей, где устанавливались соотношения для фигур Теория изменения полей, где устанавливались соотношения для фигур Деление пропорционально обратным значениям чисел Деление пропорционально обратным значениям чисел Определения сторон прямоугольника, извлечение корня, отыскивание радиуса круга Определения сторон прямоугольника, извлечение корня, отыскивание радиуса круга

11 История математики Древнего Китая Расчеты, связанные со строительством крепостных стен Расчеты, связанные со строительством крепостных стен Вычисления объемов тел, транспортных систем Вычисления объемов тел, транспортных систем Задачи о справедливом распределении налогов, доходов Задачи о справедливом распределении налогов, доходов Линейные уравнения и их системы Линейные уравнения и их системы Системы уравнений встречаются в истории впервые. Системы уравнений встречаются в истории впервые.

12 История математики Древнего Китая Для систем уравнений алгоритм вычисления состоит в следующем. Дана система второго порядка Для систем уравнений алгоритм вычисления состоит в следующем. Дана система второго порядка a 11 x 1 +a 12 x 2 =b 1, a 11 x 1 +a 12 x 2 =b 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 =b 2, a 21 x 1 +a 22 x 2 =b 2, где а 11, а 12, а 21, а 22 – коэффициенты системы. где а 11, а 12, а 21, а 22 – коэффициенты системы. Пример удобной записи линейных алгебраических систем, введенной английским математиком О.А. Кэли: Пример удобной записи линейных алгебраических систем, введенной английским математиком О.А. Кэли:

13 История математики Древнего Китая Если дана система линейных уравнений Если дана система линейных уравнений ax+by=e, ax+by=e, cx+dy=f, cx+dy=f, то можно отделить коэффициенты при неизвестных, записав их в виде таблицы то можно отделить коэффициенты при неизвестных, записав их в виде таблицы a b a b A= A= c d c d Такая таблица называется матрицей линейной алгебраической системы. Такая таблица называется матрицей линейной алгебраической системы.

14 История математики Древнего Китая Далее можно ввести вектор-солбцы переменных и правых частей системы: Далее можно ввести вектор-солбцы переменных и правых частей системы: x e x e X= B= X= B= y f y f Если ввести правила умножения матрицы на вектор в соответствии с формулой Если ввести правила умножения матрицы на вектор в соответствии с формулой ax+by ax+by AX= AX= cx+dy cx+dy

15 История математики Древнего Китая и положить, что вектора АХ и В равны при условии равенства их компонентов (ax+by=e, cx+dy=f), то получится новая форма записи: и положить, что вектора АХ и В равны при условии равенства их компонентов (ax+by=e, cx+dy=f), то получится новая форма записи: a b x e a b x e AX= = = B. AX= = = B. c d y f c d y f Система n линейных уравнений общего вида Система n линейных уравнений общего вида a 11 x 1 +a 12 x 2 +…+a 1n x n =b n a 11 x 1 +a 12 x 2 +…+a 1n x n =b n ……………………………….. ……………………………….. a n x 1 +a n2 x 2 +…+a nn x n =b n a n x 1 +a n2 x 2 +…+a nn x n =b n

16 История математики Древнего Китая Систему n можно записать с помощью матриц: АХ=В, где А – квадратная матрица (таблица), имеющая n строк и n столбцов; Х – вектор неизвестных величин; В – вектор частей: частей таких, что АХ=В, где А – квадратная матрица (таблица), имеющая n строк и n столбцов; Х – вектор неизвестных величин; В – вектор частей: частей таких, что a 11 a 12 …a 1n x 1 b 1 a 11 a 12 …a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 …a 2n x 2 b 2 a 21 a 22 …a 2n x 2 b 2 A= ………………… X= … B= … A= ………………… X= … B= … a n1 a n2 …a nn x n b n a n1 a n2 …a nn x n b n

17 История математики Древнего Китая В соответствии с китайским способом письма(справа налево по строкам, сверху вниз по столбцам), составляют расширенные матрицы (таблицы) двух систем. Для системы второго порядка: a 21 a 11 a 21 a 11 a 22 a 12 a 22 a 12 b 2 b 1 b 2 b 1

18 История математики Древнего Китая Для системы n линейных уравнений: a n1 … a 21 a 11 a n1 … a 21 a 11 a n2 … a 22 a 12 a n2 … a 22 a 12 ………………….. ………………….. a nn … a 2n a 1n a nn … a 2n a 1n b n … b 2 b 1 b n … b 2 b 1 Затем последние матрицы преобразуют так, чтобы все числа левее и правее главной диагонали стали равными нулю.

19 История математики Древнего Китая Для матрицы второго порядка: 0 a 11 0 a 11 a 22 a 12 a 22 a 12 b 2 b 1 b 2 b 1 Система n линейных уравнений: 0 … 0 а 11 0 … 0 а 11 0 … а 22 a 12 0 … а 22 a 12 …………………. …………………. a nn … a 2n a 1n a nn … a 2n a 1n b n … b 2 b 1 b n … b 2 b 1

20 История математики Древнего Китая Последний этап – переход от матрицы к системе уравнений; в результате система второго порядка: а 11 х 1 +а 12 х 2 =b 1, а 11 х 1 +а 12 х 2 =b 1, a 11 x 1 =b 2. a 11 x 1 =b 2. Преобразованная к ступенчатому виду: a 11 x 1 +a 12 x 2 +…a nn x n =b 1 a 11 x 1 +a 12 x 2 +…a nn x n =b 1 a 22 x 2 +…+a 2n x n =b a 22 x 2 +…+a 2n x n =b …………………… …………………… a nn x n =b. a nn x n =b.

21 История математики Древней Индии Особенностью этой математики является развитие алгоритмико- вычислительных методов в период 8-7 вв. до н.э. Использование десятичной системы счисления Использование десятичной системы счисления Операции над большими числами Операции над большими числами

22 2 Концепции и структура геометрии и учения Евклида Евклид – древнегреческий математик, живший в 3 в. до н.э., получивший первые систематические результаты, изложенные в книге «Начала». Под евклидовой геометрией понимается геометрия евклидова пространства. Изложение Евклида построено в виде строго логических выводов теорем из системы определений, постулатов, аксиом.

23 Учения Евклида В книге «Начала» изложены: Геометрия на плоскости Геометрия на плоскости Равенства треугольников, площадей, теорема Пифагора Равенства треугольников, площадей, теорема Пифагора Построение квадрата, понятие круга и правильного многоугольника Построение квадрата, понятие круга и правильного многоугольника Евдоксова теория несоизмеримых в геометрической форме Евдоксова теория несоизмеримых в геометрической форме Подобие треугольников Подобие треугольников

24 Учение Евклида Классификация квадратичных иррациональностей и квадратных корней из них, т.е. теория чисел, представленных в виде Классификация квадратичных иррациональностей и квадратных корней из них, т.е. теория чисел, представленных в виде ½ ½ ½ ½ ½ ½ {a+b} {a+b} Теории чисел; делимость целых чисел, суммирование геометрический прогрессий, некоторые свойства простых чисел Теории чисел; делимость целых чисел, суммирование геометрический прогрессий, некоторые свойства простых чисел

25 Учение Евклида Классический «алгоритм Евклида» для нахождения наибольшего общего делителя заданной системы чисел. Классический «алгоритм Евклида» для нахождения наибольшего общего делителя заданной системы чисел. Сущность: пусть имеется два положительных целых числа a>b и требуется найти наибольший общий делитель. Деление с остатком числа а на число b всегда приводит к результату a=nb+b 1, где n – целое положительное число, а остаток b 1 либо равен нулю, либо положительное число, меньшее b. a=nb+b 1, где n – целое положительное число, а остаток b 1 либо равен нулю, либо положительное число, меньшее b.

26 Учение Евклида Производится последовательное деление a=nb+b 1, a=nb+b 1, b=n 1 b 1 +b 2, b=n 1 b 1 +b 2, b 1 =n 2 b 2 +b 3, b 1 =n 2 b 2 +b 3, ……………… ……………… где все n i – положительные целые числа и 0

27 Учение Евклида Теорема Евклида: простых чисел a=nb+b 1 =n(n 1 b 1 )+b=(nn 1 +1)b 1 бесконечно много. Теорема Евклида: простых чисел a=nb+b 1 =n(n 1 b 1 )+b=(nn 1 +1)b 1 бесконечно много. Система аксиом Евклида: 1. Через любые две точки можно провести прямую. 2. Любые две прямые имеют не более одной общей точки 3. Любой конечные отрезок можно неограниченно продолжать. 4. Вокруг любой точки можно описать окружность произвольного радиуса. 5. Все прямые углы равны между собой.

28 3. Литература Козлов В.Н. «Математика и информатика» - СПб.: Питер, 2004