1 Преподавание алгебры в 8 классе с углубленным изучением математики Феоктистов Илья Евгеньевич Москва

2 Глава 5. Неравенства (21 ч) § 12. Числовые неравенства и неравенства с переменными (8 ч) 36. Сравнение чисел (1 ч) Знать алгебраическое определение понятий «больше» или «меньше» при сравнении чисел; Знать алгебраическое определение понятий «больше» или «меньше» при сравнении чисел; Уметь использовать геометрическую интерпретацию понятий «больше» (или «меньше»). Уметь использовать геометрическую интерпретацию понятий «больше» (или «меньше»). Уметь сравнивать два числа, зная их разность. Уметь сравнивать два числа, зная их разность.

3 Обратите внимание на то, что… При изучении темы широко используются теоретико- множественные понятия. При изучении темы широко используются теоретико- множественные понятия. Способов сравнения чисел много, а алгебраическое определение понятия «больше» или «меньше» является универсальным. Способов сравнения чисел много, а алгебраическое определение понятия «больше» или «меньше» является универсальным. Использование иллюстраций на координатной прямой обеспечивает наглядность изложения. Использование иллюстраций на координатной прямой обеспечивает наглядность изложения.

4 37. Свойства числовых неравенств (2 ч) Знать формулировки всех свойств числовых неравенств. Знать формулировки всех свойств числовых неравенств. Уметь доказывать свойства числовых неравенств. Уметь доказывать свойства числовых неравенств. Уметь применять свойства числовых неравенств для обоснования следования одного неравенства из другого. Уметь применять свойства числовых неравенств для обоснования следования одного неравенства из другого.

5 К изложенному в учебнике материалу можно добавить, что… Свойство «Если a a » называется свойством антисимметричности (можно привести пример симметричности отношения «перпендикулярность» прямых а и b). Свойство «Если a a » называется свойством антисимметричности (можно привести пример симметричности отношения «перпендикулярность» прямых а и b). Свойство сравнения обратных величин справедливо и для положительных, и для отрицательных чисел (это полезно доказать на уроке). Свойство сравнения обратных величин справедливо и для положительных, и для отрицательных чисел (это полезно доказать на уроке). Отношение «больше» (или «меньше») не обладает свойством рефлексивности (таким свойством обладает делимость натуральных чисел: любое число делится на себя). Отношение «больше» (или «меньше») не обладает свойством рефлексивности (таким свойством обладает делимость натуральных чисел: любое число делится на себя). Отношение «меньше» (или «больше») обладает свойством связности… Отношение «меньше» (или «больше») обладает свойством связности…

6 Обратите внимание учащихся на то, что… При почленном умножении неравенств одного знака рассматриваются только неравенства с положительными числами! При почленном умножении неравенств одного знака рассматриваются только неравенства с положительными числами! Никаких теорем о «почленном делении» или «почленном вычитании» не существует, ибо они не верны! Никаких теорем о «почленном делении» или «почленном вычитании» не существует, ибо они не верны!

7 Тема содержит геометрические задачи на неравенство треугольника 903: докажите, что в любом выпуклом четырехугольнике: а) диагональ меньше полупериметра; б) сумма расстояний от точки внутри четырехугольника до его вершин больше полупериметра; в) сумма одной пары противолежащих сторон меньше суммы диагоналей. 903: докажите, что в любом выпуклом четырехугольнике: а) диагональ меньше полупериметра; б) сумма расстояний от точки внутри четырехугольника до его вершин больше полупериметра; в) сумма одной пары противолежащих сторон меньше суммы диагоналей Докажите, что в любом треугольнике сумма одной из сторон и высоты, опущенной на эту сторону, больше полупериметра Докажите, что в любом треугольнике сумма одной из сторон и высоты, опущенной на эту сторону, больше полупериметра.

8 38. Оценка значений выражений (2 ч) Уметь на основании свойств отношений «меньше» и «больше» сравнивать значения выражения, содержащего одну или несколько переменных, если известны границы этих переменных. Уметь на основании свойств отношений «меньше» и «больше» сравнивать значения выражения, содержащего одну или несколько переменных, если известны границы этих переменных.

9 Если … к обеим частям верного числового неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное числовое неравенство; к обеим частям верного числового неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное числовое неравенство; обе части верного числового неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное числовое неравенство; обе части верного числового неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное числовое неравенство; обе части верного числового неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное числовое неравенство; обе части верного числового неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное числовое неравенство; в верном числовом неравенстве для чисел одного знака каждое число заменить обратным и изменить знак неравенства, то получится верное числовое неравенство; в верном числовом неравенстве для чисел одного знака каждое число заменить обратным и изменить знак неравенства, то получится верное числовое неравенство; сложить два верных числовых неравенства одного знака, то получится верное числовое неравенство; сложить два верных числовых неравенства одного знака, то получится верное числовое неравенство; умножить два верных числовых неравенства одного знака с положительными числами, то получится верное числовое неравенство. умножить два верных числовых неравенства одного знака с положительными числами, то получится верное числовое неравенство.

10 Одно замечание (о самопроверке) При неверном порядке действий с неравенствами иногда получается двойное неравенство, у которого нижняя граница оказывается больше верхней. Однако если при самопроверке оказалось, что итоговое двойное неравенство оказалось верным, то это еще не значит, что порядок действий был правильным и что мы получили верный ответ. При неверном порядке действий с неравенствами иногда получается двойное неравенство, у которого нижняя граница оказывается больше верхней. Однако если при самопроверке оказалось, что итоговое двойное неравенство оказалось верным, то это еще не значит, что порядок действий был правильным и что мы получили верный ответ.

Доказательство неравенств (2 ч) Уметь доказывать неравенства путем сравнения с нулем разности правой и левой частей неравенства. Уметь доказывать неравенства путем сравнения с нулем разности правой и левой частей неравенства. Уметь доказывать неравенства с помощью неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел. Уметь доказывать неравенства с помощью неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел.

12 Неравенство Коши? Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, известное из X книги «Начал» Евклида, является частным случаем неравенства, доказанного Огюстеном Луи Коши в 1821 году (для n чисел). Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, известное из X книги «Начал» Евклида, является частным случаем неравенства, доказанного Огюстеном Луи Коши в 1821 году (для n чисел).

13 О средних величинах... Полезно было бы на уроке показать геометрическое доказательство неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим… Но это в том случае, если было доказано следствие из теоремы Пифагора о высоте прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе и являющейся средним геометрическим проекций катетов на гипотенузу. Полезно было бы на уроке показать геометрическое доказательство неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим… Но это в том случае, если было доказано следствие из теоремы Пифагора о высоте прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе и являющейся средним геометрическим проекций катетов на гипотенузу. В упражнении 956 упоминаются и другие средние величины: среднее гармоническое, среднее квадратичное. Именно они послужили в школе Пифагора основой для создания той гаммы, «по которой поют сирены». В упражнении 956 упоминаются и другие средние величины: среднее гармоническое, среднее квадратичное. Именно они послужили в школе Пифагора основой для создания той гаммы, «по которой поют сирены».

14 Геометрическое доказательство «неравенства Коши» в стиле древнеиндийских «сутр». Смотри!

15 Применение неравенства Коши для решения задач на доказательство Замечание. Возможно, эту задачу можно решить стандартным методом: составить разность левой и правой частей неравенства и доказать, что она положительна. Я не пробовал… А может будет гораздо легче, чем то, что показано выше? Попробуйте! Если получится проще – напишите мне по электронной почте Замечание. Возможно, эту задачу можно решить стандартным методом: составить разность левой и правой частей неравенства и доказать, что она положительна. Я не пробовал… А может будет гораздо легче, чем то, что показано выше? Попробуйте! Если получится проще – напишите мне по электронной почте

16 § 13. Решение неравенств с одной переменной и их систем (13 ч) 40. Решение неравенств с одной переменной (3 ч) Знать определение решения неравенства. Знать определение решения неравенства. Знать определение равносильных неравенств. Знать определение равносильных неравенств. Знать правила перехода от одного неравенства к равносильному. Знать правила перехода от одного неравенства к равносильному. Знать определение области определения неравенства. Знать определение области определения неравенства. Уметь решать линейные неравенства с одной переменной. Уметь решать линейные неравенства с одной переменной. Уметь изображать множество решений неравенства на координатной прямой. Уметь изображать множество решений неравенства на координатной прямой.

17 Некоторые тонкости Основной метод решения неравенств – это замена одного неравенства другим, ему равносильным. Основной метод решения неравенств – это замена одного неравенства другим, ему равносильным. Все неравенства, решениями которых является пустое множество, равносильны. Все неравенства, решениями которых является пустое множество, равносильны. Кстати, термин «корень уравнения» не имеет аналога в случае неравенств. У неравенств нет «корня неравенства»: каждое число из множества его решений является решением неравенства. Процесс поиска множества решений неравенства также называется решением неравенства. Кстати, термин «корень уравнения» не имеет аналога в случае неравенств. У неравенств нет «корня неравенства»: каждое число из множества его решений является решением неравенства. Процесс поиска множества решений неравенства также называется решением неравенства.

18 Еще одна тонкость… Заметьте, что, решив уравнение, мы всегда можем правильность ответа проверить подстановкой найденного корня в исходное уравнение. Подобным образом проверить правильность ответа при решении неравенств уже невозможно, поскольку таких решений, чаще всего, бесконечно много. Если взять какое-либо значение переменной из найденного множества решений и подставить в неравенство, то из того, что мы получили ложное числовое неравенство можно сделать вывод, что множество решений найдено не верно. Если же получится верное числовое неравенство, то никакого вывода о том, что мы получили верный ответ, сделать нельзя. Заметьте, что, решив уравнение, мы всегда можем правильность ответа проверить подстановкой найденного корня в исходное уравнение. Подобным образом проверить правильность ответа при решении неравенств уже невозможно, поскольку таких решений, чаще всего, бесконечно много. Если взять какое-либо значение переменной из найденного множества решений и подставить в неравенство, то из того, что мы получили ложное числовое неравенство можно сделать вывод, что множество решений найдено не верно. Если же получится верное числовое неравенство, то никакого вывода о том, что мы получили верный ответ, сделать нельзя.

19 И еще одна… Целесообразно при преобразовании неравенств переносить слагаемые с переменной в ту часть неравенства, в которой после приведения подобных слагаемых коэффициент при переменной окажется положительным. Это позволит избежать распространенной ошибки, связанной с переменой знака неравенства при делении на отрицательный коэффициент перед переменной. Целесообразно при преобразовании неравенств переносить слагаемые с переменной в ту часть неравенства, в которой после приведения подобных слагаемых коэффициент при переменной окажется положительным. Это позволит избежать распространенной ошибки, связанной с переменой знака неравенства при делении на отрицательный коэффициент перед переменной.

20Вопросы: Можно ли (нужно ли) при решении неравенств использовать знак равносильности? Можно ли (нужно ли) при решении неравенств использовать знак равносильности? Как правильно записать ответ: в виде промежутка (или их объединения), или в виде неравенства (неравенств)? Как правильно записать ответ: в виде промежутка (или их объединения), или в виде неравенства (неравенств)? Можно ли умножать обе части неравенства на выражение с переменной? Можно ли умножать обе части неравенства на выражение с переменной? Как правильно сказать: «область определения неравенства» или «область допустимых значений переменной, входящей в неравенство»? Как правильно сказать: «область определения неравенства» или «область допустимых значений переменной, входящей в неравенство»?

Решение систем неравенств с одной переменной (3 ч) Знать, что решением системы является пересечение множеств решений входящих в систему неравенств. Знать, что решением системы является пересечение множеств решений входящих в систему неравенств. Уметь решать системы, составленные из двух линейных неравенств, в том числе двойные неравенства. Уметь решать системы, составленные из двух линейных неравенств, в том числе двойные неравенства. Уметь решать системы, составленные из трех и более линейных неравенств. Уметь решать системы, составленные из трех и более линейных неравенств.

22Кстати, Двойное неравенство – это система неравенств! Двойное неравенство – это система неравенств! Пересечение множеств решений линейных неравенств удобно находить с помощью координатной прямой. Для этого множество решений каждого из неравенств показывают штриховкой (или цветными карандашами: например, если решение одного неравенства изобразить синим цветом, а другого – желтым, то пересечение будет изображаться зеленым цветом). Тогда множество решений системы будет изображаться тем промежутком, где штриховки (или разные цвета) накладываются друг на друга. Пересечение множеств решений линейных неравенств удобно находить с помощью координатной прямой. Для этого множество решений каждого из неравенств показывают штриховкой (или цветными карандашами: например, если решение одного неравенства изобразить синим цветом, а другого – желтым, то пересечение будет изображаться зеленым цветом). Тогда множество решений системы будет изображаться тем промежутком, где штриховки (или разные цвета) накладываются друг на друга.

23 41*. Решение совокупностей неравенств с одной переменной (2 ч) Знать, что решением совокупности является объединение множеств решений входящих в совокупность неравенств. Знать, что решением совокупности является объединение множеств решений входящих в совокупность неравенств. Уметь решать совокупности, составленные из двух линейных неравенств. Уметь решать совокупности, составленные из двух линейных неравенств. Уметь решать комплексные задания на системы и совокупности неравенств. Уметь решать комплексные задания на системы и совокупности неравенств.

24 Ни в одном учебнике алгебры для 8-9 классов этого материала нет. Поправьте меня, если я ошибаюсь! Есть темы «Пересечение и объединение множеств», есть решение систем, опирающееся на пересечение множеств решений, но нет решения совокупностей (опирающееся на объединение множеств решений)! Есть темы «Пересечение и объединение множеств», есть решение систем, опирающееся на пересечение множеств решений, но нет решения совокупностей (опирающееся на объединение множеств решений)! При решении неравенств с модулем появляются системы неравенств (если модуль меньше положительного числа), и появляются совокупности неравенств (если модуль больше положительного числа). При решении неравенств с модулем появляются системы неравенств (если модуль меньше положительного числа), и появляются совокупности неравенств (если модуль больше положительного числа). Из этого делаем вывод: такая тема (решение совокупностей) нужна! Из этого делаем вывод: такая тема (решение совокупностей) нужна!

25 Несуществующий пункт о совокупностях: что в нем самое главное? Решением совокупности неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно хотя бы одно из неравенств совокупности. Решением совокупности неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно хотя бы одно из неравенств совокупности. Множеством решений совокупности является объединение множеств решений неравенств, входящих в эту совокупность. Множеством решений совокупности является объединение множеств решений неравенств, входящих в эту совокупность. Нестрогое неравенство есть сокращенная запись совокупности строго неравенства и уравнения. Нестрогое неравенство есть сокращенная запись совокупности строго неравенства и уравнения.

26 Некоторые методические особенности Объяснение нового материала начинается с примера, опирающегося на знание того, в каком случае произведение двух множителей будет положительным. Объяснение нового материала начинается с примера, опирающегося на знание того, в каком случае произведение двух множителей будет положительным. В объяснительном тексте вместо громоздких записей с формализованной математической символикой используется смешанный «литературно- математический» стиль решения совокупностей. В объяснительном тексте вместо громоздких записей с формализованной математической символикой используется смешанный «литературно- математический» стиль решения совокупностей.

27 Можно доказать следующие две теоремы:

28 Некоторые обобщения, дополнения, замечания…

Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля (2 ч) Знать формулу расстояния между двумя точками координатной прямой и соответствующую формулировку (геометрический смысл модуля числа). Знать формулу расстояния между двумя точками координатной прямой и соответствующую формулировку (геометрический смысл модуля числа). Уметь решать простейшие неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, равносильным переходом к соответствующей системе или совокупности неравенств. Уметь решать простейшие неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, равносильным переходом к соответствующей системе или совокупности неравенств.

30 Равносильные переходы при решении неравенств с модулем

31 Можно ли решать неравенства с модулем без равносильных переходов к системам или совокупностям? Да, можно. Но иногда это чревато довольно сложными выкладками. Попробуйте решить «в лоб» неравенство Да, можно. Но иногда это чревато довольно сложными выкладками. Попробуйте решить «в лоб» неравенство А еще есть замена переменной! Этому методу решения неравенств с переменной под знаком модуля в учебнике внимания не уделено… А еще есть замена переменной! Этому методу решения неравенств с переменной под знаком модуля в учебнике внимания не уделено…

32 Не забудьте заглянуть в дополнительные упражнения! К многочисленным упомянутым выше положительным качествам УМК Ю.Н. Макарычева и др. добавим то, что к учебнику не существует ГДЗ! И дети все задачи решают сами! К многочисленным упомянутым выше положительным качествам УМК Ю.Н. Макарычева и др. добавим то, что к учебнику не существует ГДЗ! И дети все задачи решают сами!