Познакомившись с действительными числами, узнав об их свойствах, мы научились проводить различные арифметические операции над ними, такие как алгебраические. - презентация

1

2 Познакомившись с действительными числами, узнав об их свойствах, мы научились проводить различные арифметические операции над ними, такие как алгебраические преобразования выражений или решение уравнений. Настало время неравенств.

3 Свойства числовых неравенств Решение линейных неравенств

4 Сначала

5

6 Недавно мы ввели понятие числового неравенства: a

7 Для чего нужно уметь решать уравнения, вы знаете: до сих пор математическая модель практически любой реальной ситуации, которую мы рассматривали, представляла собой либо уравнение, либо систему уравнений. На самом деле встречаются и другие математические модели неравенства, просто мы пока таких ситуаций избегали.

8 Знание свойств числовых неравенств будет полезно и для исследования функций. Например, с неравенствами связаны такие известные вам свойства функций, как наибольшее и наименьшее значения функции на некотором промежутке, ограниченность функции снизу или сверху. С неравенствами связано и свойство возрастания или убывания функции, о котором пойдет речь в одном из следующих параграфов. Так что, как видите, без знания свойств числовых неравенств нам не обойтись. Да мы сами уже могли убедиться в необходимости умения работать с неравенствами.

9 Если a>b и b>c, то a>c. Доказательство: По условию, a>b, т.е. а -b положительное число. Аналогично, так как b>с, делаем вывод, что b-с положительное число. Сложив положительные числа а-Ь и Ь-с, получим положительное число. Имеем (а-Ь) +(Ь-с)=а-с. Значит, а-с положительное число, т.е. а>с, что и требовалось доказать.

10 Свойство 1 можно обосновать, используя геометрическую модель множества действительных чисел, т.е. числовую прямую. Неравенство а>Ь означает, что на числовой прямой точка а расположена правее точки b, а неравенство Ь>с что точка b расположена правее точки с. Но тогда точка а расположена на прямой правее точки с, т. е. а > с. a b cX

11 Если a>b, то a+c>b+c. То есть, если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же действительное число, то знак уравнения не меняется.

12 Если a>b и m>0, то am>bm ; Если a>b и m

13 То же относится к делению обеих частей неравенства на одно и то же положительное или отрицательное число m, то поскольку деление на m всегда можно заменить умножением на 1/m. Если a>b и m>0, то am>bm ; Если a>b и m

14 Из свойства 3, в частности, следует, что, умножив обе части неравенства a>b на -1, получим -а b, то -а

15 Если a>b и c>d, то a+c>b+d. Доказательство: Так как a>b, то, согласно свойству 2, a+c>b+c. Аналогично, так как c>d, то b+c>b+d. Итак, a+c>b+c, b+c>b+d.Тогда, в силу свойства 1, получаем, что a+c>b+d.

16 Если a, b, c, d – положительные числа, и a>c, c>d,то ac>bd. Доказательство: Так как а>Ь и с>0, то ас> Ьс. Аналогично, так как c>b и Ь>0, то cb>ab. Итак, ac>bc, bc>bd. Тогда, согласно свойству 1, получаем, что ac>bd.

17 Если а и Ь неотрицательные числа и а>b, то а в степени n > b в степени n, где n любое натуральное число. Смысл свойства 6 заключается в следующем: если обе части неравенства неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.

18 Обычно неравенства вида а>b, с>d (или а Ь и с>d – неравенствами противоположного смысла. Свойство 5 означает, что при умножении неравенств одинакового смысла, у которых левые и правые части положительные числа, получится неравенство того же смысла. Оглавление

19

20 Свойства числовых равенств помогали нам решать уравнения, т.е. находить те значения переменной, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Точно так же свойства числовых неравенств помогут нам решать неравенства с переменной, т. е. находить те значения переменной, при которых неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство. Каждое такое значение переменной называют обычно решением неравенства с переменной.

21 Рассмотрим, например, неравенство: 2х+5

22 Но вы же понимаете, что это тупиковый путь: ни один математик не станет так решать неравенство, ведь все числа невозможно перебрать! Вот тут-то и нужно использовать свойства числовых неравенств, рассуждая следующим образом.

23 Нас интересуют такие числа х, при которых 2х+5

24 Что это значит? Это значит, что решением неравенства является любое число х, которое меньше 1. Эти числа заполняют открытый луч ( -,1 ). Обычно говорят, что этот луч решение неравенства 2х+5

25 Свойства числовых неравенств позволяют руководствоваться при решении неравенств следующими правилами:

26 Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.

27 Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.

28 Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный. Оглавление