РЕШЕНИЕ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ Скажи мне – и я забуду, Покажи мне – и я запомню, Вовлеки меня – и я пойму. (Древняя китайская мудрость)

Число, положение и комбинация - три взаимно пересекающиеся, но различные сферы мысли, к которым можно отнести все математические идеи. Английский математик Джеймс Джозеф Сильвестр ( )

Задачи урока 1.отработать умения решать простейшие комбинаторные задачи 2.проверить понимание материала, изученного на уроках 3.готовиться к защите задач 4.расширять математический кругозор 5.развивать навыки научно - исследовательской деятельности

Этапы урока 1.Немного истории или зачем нужна комбинаторика?Немного истории 2.Проверка усвоения материала 3.Закрепление навыков решения задач 4.Консультация перед защитой 5.Полезные ссылки

Устный счет 1!3! Р2Р4Р2Р4

Ответьте на вопросы теста 1.При выборе подходящего комплекта одежды мы пользуемся: сочетанием, перебором, пересечением множеств. 2.Комбинаторика изучает: деятельность комбинатов бытового обслуживания, способы пошива комбинезонов, способы решения задач на различные комбинации объектов. 3.Множество – это: совокупность объектов произвольного рода, умножение чисел, большое количество предметов. 4.Подсчитывая число маршрутов следования из пункта А в пункт В через пункт С, можно воспользоваться правилом: сложения, умножения, возведения в степень.

5.Для вычисления количества всевозможных пар вашей группы необходимо знать формулы: сочетаний, сокращенного умножения, теорему Пифагора. 6.5! – это: сумма чисел от 1 до 5, квадрат числа 5, произведение натуральных чисел от 1 до 5 (вычислите). 7.Количество способов занять очередь на экзамен n учащимися определяются: перестановкой, переэкзаменовкой, экзаменационной комиссией (как?). 8.Комбинаторные задачи встречаются в профессиональной деятельности: парикмахера- визажиста, диспетчера автовокзала, завуча школы, экономиста, повара (добавьте свой пример) Ответьте на вопросы теста

1. В киоске продают 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно купить конверт и марку? 2. Изменяя порядок слов: руки, мою, я, составьте всевозможные предложения. 3. У Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды имеется у Светланы? 4. При встрече 5 человек обменялись рукопожатиями. Сколько сделано рукопожатий? 5. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «конверт»? Индивидуальные задания

6. В классе 35 учеников. 20 из них занимаются в математическом кружке, 11-в биологическом, а 10 ничем не занимаются. Поставьте вопрос к задаче и ответьте на него. 7. Сколько существует способов выбора трёх ребят из 4-х желающих дежурить в столовой? 8. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 человек, можно создать из 5 преподавателей? 9. Сколько различных четных трехзначных чисел, в каждом из которых все цифры различны, можно составить из цифр 1, 2, 3, 0? 10. Сколькими способами можно составить расписание на день из 4 различных уроков, если изучается 10 предметов?

1) Сколькими способами можно записать в виде произведения простых множителей число 30? 2) Сколько диагоналей в выпуклом десятиугольнике? 3) Встретились несколько друзей и все обменялись рукопожатиями. Всего было сделано 15 рукопожатий. Сколько встретилось друзей? 4) Сколько словарей надо создать, чтобы можно было непосредственно выполнять перевод с любого из пяти языков на любой другой из этих языков? Закрепление материала

5) Из 100 человек 85 знают английский, 80- испанский, 75- немецкий. Сколько человек заведомо знают все три языка? 6) Придумайте как можно больше комбинаторных задач с использованием данных объектов: Четверо друзей: Катя, Олег, Света, Андрей. 7) Придумайте, какую комбинаторную задачу может решать: повар, диспетчер автовокзала, домохозяйка, завуч школы… Закрепление материала

МОУ «Средняя общеобразовательная школа 77» Фрунзенского района г.Саратова Зачетная работа по курсу комбинаторики ученицы 7 класса Е МОУ «Сош 77» Храмовой Елены уч.г. Содержание 1. Историческая справка. 2. Защита задачи. 3. Литература. Оформление зачетной работы

Моя задача: Сколькими способами могут восемь человек стать в очередь к театральной кассе? Решение задачи: Существует 8 мест, которые должны занять 8 человек. На первое место может стать любой из 8 человек, т.е. способов занять первое место – 8. После того, как один человек стал на первое место, осталось 7 мест и 7 человек, которые могут быть на них размещены, т.е. способов занять второе место – семь. Аналогично для третьего, четвертого и т.д. места. Используя принцип умножения, получаем произведение –. Такое произведение обозначается как 8! (читается 8 факториал) и называется перестановкой P8. Ответ: P8 = 8! Литература. 1. Виленкин Н.Я. «Индукция. Комбинаторика», М. «Просвещение», 1976 г. 2. Антипов И.Н., Березин В.Н., Егоров А.А. и др. «Методика факультативных занятий в 9-10 классах», М., «Просвещение», 1983 г. 3. Глейзер Г.И. «История математики в средней школе», М., «Просвещение», 1970 г. 4. Журналы «Математика в школе» 4, 5, 2002, 3-5, Ларичев П.А. «Сборник задач по алгебре», ч.2, М., «Просвещение», 1953 г. Оформление зачетной работы

Полезные ссылки

Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным. Б. Паскаль

Подведём итоги…

Приложения

Шпаргалка Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами …, то все k действий вместе могут быть выполнены n1 n2 n3 … nk способами. Множество С, которому принадлежат все те и только те элементы, которые входят либо в А, либо в В, называется суммой или объединением множеств А и В и обозначается С = А В. Множество С, которому принадлежат те и только те элементы, являющиеся общими для множеств А и В (элементы, которые входят в оба эти множества), называется пересечением множеств А и В и обозначается С = А В. Число элементов суммы множеств. N(A B) = N(A) + N(B) – N(A B) n! = 1 2 … n Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов Р = n! Комбинации из n элементов по k, отличающиеся друг от друга лишь составом элементов, называются сочетаниями из n элементов по k. Количество сочетаний можно посчитать по формуле Комбинации из n элементов по k, отличающиеся друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения, называются размещениями из n элементов по k (k n). возврат

Комбинаторика является древнейшей и, возможно, ключевой ветвью математики. В математике есть задачи, в которых требуется из элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, составленных по определённому правилу. На практике часто приходится делать перебор определённого количества данных. Например, учителю приходится распределять различные виды работ между группами учащихся, офицеру выбирать из солдат наряд, агроному размещать культуры на полях, завучу составлять расписание и т.д. В данном случае речь идёт о всевозможных комбинациях объектов. Задачи такого типа называются комбинаторными задачами. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой. Как самостоятельный раздел математики комбинаторика оформилась в Европе в XVIII веке. Некоторые комбинаторные задачи решали в Индии во II веке до н. э., в Древнем Китае, позднее в Римской империи. Немного истории

Термин "комбинаторика" был введён в математический обиход знаменитым Лейбницем. Готфрид Вильгельм Лейбниц( ) - всемирно известный немецкий учёный, занимался философией, математикой, физикой, организовал Берлинскую академию наук и стал её первым президентом. В 1666 году Лейбниц опубликовал "Рассуждения о комбинаторном искусстве". В своём сочинении Лейбниц ввел специальные символы, термины для подмножеств и операций над ними. В течение всей своей жизни Лейбниц многократно возвращался к идеям комбинаторного искусства. Комбинаторику он понимал весьма широко, именно, как составляющую любого исследования, любого творческого акта, предполагающего сначала анализ (расчленение целого на части), а затем синтез (соединение частей в целое). Комбинаторике Лейбниц предрекал блестящее будущее, широкое применение. В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики. Г.В. Лейбниц

Так, Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов. В 1713 году было опубликовано сочинение Я. Бернулли "Искусство предположений", в котором с достаточной полнотой были изложены известные к тому времени комбинаторные факты. Сочинение состояло из 4 частей, комбинаторике была посвящена вторая часть, в которой содержатся формулы. Для вывода формул автор использовал наиболее простые и наглядные методы, сопровождая их многочисленными таблицами и примерами. В работах Я. Бернулли и Лейбница тщательно изучены свойства сочетаний, размещений, перестановок. возврат Л. Эйлер Я. Бернулли