Репкина Виктория Анатольевна Учитель математики МАОУ Сибирский лицей

Достоверное событие – то, которое наступит обязательно Невозможное событие – событие которое не наступит никогда Случайное событие – событие, которое может наступить или не наступить Несовместные события – два события, если в результате появление одного из них исключает появление другого

Вероятностью события А при проведении некоторого испытания ( опыта ) называют отношение числа исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу равновозможных между собой исходов данного опыта Р ( А ) =N(A) / N Р ( А ) – вероятность события А N( А ) – число исходов, в результате которых наступает событие А N - общему числу равновозможных между собой исходов данного опыта

Вероятность достоверного события 1 Вероятность невозможного события 0 Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий

Для нахождения вероятности события А при проведении некоторого опыта следует : 1. Найти число всех возможных исходов данного опыта (N) 2. Принять предположение о равновероятности всех этих исходов 3. Найти количество тех исходов опыта, в которых наступает событие А (N( А )) 4. Найти частное Р ( А ) =N(A) / N, оно и будет равно вероятности события А

Оля, Денис, Коля, Витя и Света бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет Света ? Решение : 1. Число возможных исходов N = 5 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( начнет игру Света ) N(A) = 1 3. Вероятность Р = 1:5 = 0,2

Оля, Денис, Коля, Витя и Света бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что игру начинать будет мальчик. Решение : 1. Число возможных исходов N = 5 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( начнет игру мальчик ) N(A) = 3 3. Вероятность Р = 3:5 = 0,6

В сборнике билетов по геометрии всего 36 билетов, в 9 из них встречается вопрос по теме « Площади ». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете по геометрии школьнице Алисе не достанется вопрос по теме « Площади » Решение : 1. Число возможных исходов N = Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( Алисе не достанется вопрос по теме « Площади ») N(A)=9 3. Вероятность Р ( А ) = 9:36= 0,25

В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 9 из них встречается вопрос по древней истории, а 11 – по средневековью, при этом ровно в 3 билетах встречаются вопросы и по древней истории, и по средневековью. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном билете по истории школьнику Диме не достанется вопроса ни по древней истории, ни по средневековью. Решение : 1. Число возможных исходов N = Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( Диме не достанется вопроса ни по древней истории, ни по средневековью ) N(A)=33 (9+11-3) 3. Вероятность Р ( А ) = 33:50= 0,66

На соревнования по метанию диска приехали 36 спортсменов, среди них 7 спортсмена из Голландии, 6 спортсменов из Испании, 5 – из Китая. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что девятым будет выступать метатель из Испании. Решение : 1. Число возможных исходов N = Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( выступает метатель из Испании ) N(A)=6 3. Вероятность Р ( А ) = 6:36= 1/6

На конференцию приехали 7 ученых из Франции, 3 из Италии, 6 из России и 9 из Канады. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад итальянца. Решение : 1. Число возможных исходов N = 25 ( ) 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( доклад итальянца ) N(A)=3 3. Вероятность Р ( А ) = 3:25= 0,12

На чемпионат по прыжкам в воду приехали 7 спортсменов из США, 3 из Швеции, 4 из Мексики, 6 из Германии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что третьим будет выступать американец Джон Смит. Решение : 1. Число возможных исходов N = 20 ( ) 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( выступление Джона Смита ) N(A)=1 3. Вероятность Р ( А ) = 1:20= 0,05

Научная конференция по биологии проводится в 4 дня. Всего запланировано 45 докладов : в первый день 15 докладов, остальные распределены поровну между вторым, третьим и четвертым днями. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность, что доклад профессора Михайловского по позвоночным запланирован на второй день конференции. Решение : 1. Число возможных исходов N = 45. (45-15):3= по 10 докладов в каждый из следующих дней 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( доклад запланирован на второй день конференции ) N(A)=10 3. Вероятность Р ( А ) = 10:45= 2/9

Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 106 шахматистов, среди которых 22 из России, в том числе Николай Трифонов. Найдите вероятность того, что в первом туре Николай Трифонов будет играть с шахматистом из России. Решение : 1. Число возможных исходов N = 105.( без Трифонова ) 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( Трифонов будет играть с шахматистом из России ) N(A)=21 ( без Трифонова ) 3. Вероятность Р ( А ) = 21:105= 0,2

Найдите вероятность того, что при броске двух симметричных монет оба раза выпадет орел. Решение : 1. Возможные исходы : ОР ; ОО ; РР ; РО. Значит, число возможных исходов N = 4 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( выпадает ОО ) N(A)=1 3. Вероятность Р = 1:4= 0,25

Найдите вероятность того, что при броске трех симметричных монет два раза выпадет орел, а один раз решка. Решение : 1. Возможные исходы : Значит, число возможных исходов N = 8 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( выпадает 2 раза орел и 1 решка ) N(A)=3 3. Вероятность Р ( А ) = 3:8= 0,375 1 м ООООРРРР 2 м ОРОРРООР 3 м ООРРРРОО

Найдите вероятность того, что при броске игрального кубика выпадет 2 или 5. Решение : 1. Число возможных исходов N = 6 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( выпадение 2 или 5) N(A) = 2 3. Вероятность Р ( А ) = 2:6= 1/3

Оля и Вадим играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, у кого больше очков. Считается ничья, если очков они выбросили поровну. Оля выкинула 4 очка. Затем кубик бросает Вадим. Найдите вероятность того, что Вадим не проиграет. Решение : 1. Число возможных исходов N = 6 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( выпадение 4; 5 или 6) N(A) = 3 3. Вероятность Р ( А ) = 3:6= 0,5

Оля, Вадим и Виталик играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, у кого больше очков. Считается ничья, если очков они выбросили поровну. В сумме они выкинули 13 очков, причем Вадим с Виталиком выбросили поровну очков. Найдите вероятность того, что Оля выиграла у обоих мальчиков. Решение : Т. к. сумма очков 13 и двое выкинули поровну, то возможны варианты : 6; 6; 1 ( Оля проиграла ), 5;5;3 ( Оля проиграла ), 4; 4; 5 ( Оля выиграла ), получаем : 1. Число возможных исходов N = 3 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( Оля выиграла ) N(A) = 1 3. Вероятность Р ( А ) = 1:3= 1/3

Событие В называют противоположным событию А ( В = ), если событие В происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А. Для нахождения вероятности противоположного события следует из 1 вычесть вероятность самого события Р ( )= 1- Р ( А )

В сборнике билетов по геометрии всего 40 билетов, в 12 из них встречается вопрос по теме « Углы ». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете по геометрии школьнику Косте не достанется вопроса по теме « Углы » Решение : | способ : 1. Число возможных исходов N = Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( Косте достанется вопрос по теме « Углы ») N(A)=12 3. Вероятность Р ( ) = 1- Р ( А ) =1-12:40=0,7

|| способ : =28 ( количество билетов без темы « Углы ») 2. Р ( ) = 28:40 =0,7

В каждой партии из 500 лампочек в среднем 3 бракованные. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной. Решение : | способ : 1. Число возможных исходов N = Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( лампочка бракованная ) N(A)=3 3. Вероятность Р ( ) = 1- Р ( А ) =1-3:500=0,994 || способ : =497 ( исправных лампочек ) 2. Р ( ) = 497:500=0,994

В среднем из 300 гелевых ручек пишут 296. Найдите вероятность того, что взятая наугад ручка не будет писать. Решение : | способ : 1. Число возможных исходов N = Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( ручка будет писать ) N(A)= Вероятность Р ( ) = 1- Р ( А ) =1-296:300=1/75 || способ : =4 ( ручки не пишут ) 2. Р ( ) = 4:300=1/75

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

На чемпионат по прыжкам в воду приехали 7 спортсменов из США, 3 из Швеции, 4 из Мексики, 6 из Германии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что первым будет выступать не мексиканец и не американец. Решение : 1. Число возможных исходов N = 20 ( ) 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( выступает швейцарец ) N(A)=3 Число исходов опыта, в которых наступает событие В ( выступает германец ) N( В )=6 3. Вероятность Р ( А ) = 3/20; вероятность Р ( В )=6/20 4. Р ( А + В )= 3/20+6/20=0,45

Научная конференция по истории проводится в 4 дня так, что в каждый следующий день проводится в два раза меньше докладов, чем в предыдущий, а всего запланировано 60 докладов. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность, что доклад профессора Н. запланирован на первый или последний день. Решение : Найдем количество докладов запланированных в 1- ый и 4- ый день ( с помощью уравнения ): пусть х – докладов в 4 день, тогда в 3 день – 2 х, во 2- ой – 4 х, в 1- ый – 8 х. Зная, что всего докладов 60, составим уравнение

х +2 х +4 х +8 х =60 х =4 4 доклада в 4- ый день, значит в 1- ый – 32 доклада Решение : 1. Число возможных исходов N = Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( доклад в 1- ый день ) N(A)=32 Число исходов опыта, в которых наступает событие В ( доклад в 4- ый день ) N( В )=4 3. Вероятность Р ( А ) = 32/60; вероятность Р ( В )=4/60 4. Р ( А + В )= 32/60+4/60=0,6

Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 86 шахматистов, среди которых 14 из Венгрии, а 21 из России, в том числе Николай Трифонов. Найдите вероятность того, что в первом туре Николай Трифонов будет играть с шахматистом из России или из Венгрии. Решение : 1. Число возможных исходов N = 85 ( без Трифонова ) 2. Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( игра с россиянином ) N(A)=20 ( без Трифонова ) Число исходов опыта, в которых наступает событие В ( игра с шахматистом из Венгрии ) N( В )=14 3. Вероятность Р ( А ) = 20/85; вероятность Р ( В )=14/85 4. Р ( А + В )= 20/85+14/85=0,4

В показательных выступлениях по фигурному катанию участвуют 4 девушки и 5 юношей. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что первые две выступают девушки. Решение : 1. Число возможных исходов N = 9 Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( первой выступает девушка ) N(A)=4. Вероятность Р ( А ) = 4/9 2. Число возможных исходов ( после выборки первого выступающего ) N =8 Число исходов опыта, в которых наступает событие В ( второй выступает девушка ) N( В )=3. Вероятность Р ( В )=3/8 3. Р ( А + В )= 4/9+3/8=1/6

Относительная частота – отношение частоты к общему числу данных в ряду.

В таблице представлены результаты четырех стрелков, показанные ими на тренировке. Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого относительная частота попаданий выше. Кого из стрелков выберет тренер ? СтрелокЧисло выстрелов Число попаданий

Чтобы найти стрелка, относительная частота попаданий которого выше, нужно сравнить следующие дроби и выбрать наибольшую. Ответ : второй стрелок

В таблице представлены результаты четырех стрелков, показанные ими на тренировке. Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого относительная частота попаданий выше. Кого из стрелков выберет тренер ? Стрелок Число выстреловЧисло попаданий

Чтобы найти стрелка, относительная частота попаданий которого выше, нужно сравнить следующие дроби и выбрать наибольшую. Ответ : второй стрелок

Рассматривают независимые повторения одного и того же испытания с двумя возможными исходами, которые условно называются « успех » и « неудача ». Требуется найти вероятность Р n(k), что при n таких повторений произойдет ровно «k» « успехов » Теорема Бернулли : Вероятность Р n(k) наступления ровно к успехов в n независимых повторениях одного и того же испытания находится во формуле : где р – вероятность « успеха », q = 1-p – вероятность « не удачи » в отдельном испытании.

Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 4/5. Он стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет все 5 раз. Решение : 1. « успех » р = 4/5; « неудача » q =1-4/5=1/5 2. Число повторений n=5; число « успехов » k=5 3.

Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 4/5. Он стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень 4 раза. Решение : 1. « успех » р = 4/5; « неудача » q =1-4/5=1/5 2. Число повторений n=5; число « успехов » k=4 3.

Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число исходов испытания В.

Учительница по очереди вызывает школьников к доске. Найдите вероятность того, что она сначала вызвала Диму Спицина, а после него к доске пойдет Юля Белкина, если всего в классе 18 учеников. Решение : 1. Число возможных исходов N = 18 ( для события А ) Число исходов опыта, в которых наступает событие А ( вызвали Диму Спицина ) N(A)=1. Вероятность Р ( А ) = 1/18; 2. Число возможных исходов N = 17 ( без Спицина ) Число исходов опыта, в которых наступает событие В ( вызвали Юлю Белкину ) N(A)=1. Вероятность Р ( А ) = 1/17; 3. Вероятность Р ( А ) Р ( В )= 1/181/17=1/306

Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 6/7. Он стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень первые три раза, а потом два раза промахнется. Решение : 1.« успех » р =6/7; « неудача » q=1/7 2. Событие А – попадание из трех – три раза ; событие В – промах из двух - два раза. 3. Вероятность А : число повторений n = 3; число « успехов » k = 3

4. Вероятность В : число повторений n = 2; число « успехов » k = 2 5.

1. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Математика Учебное пособие / А. В. Семенов, А. С. Трепалин, И. В. Ященко, П. И. Захаров ; под ред. И. В. Ященко ; Московский Центр непрерывного математического образования.- М.: Интеллект - Центр, с. 2. События. Вероятности. Статистическая обработка данных : Доп. параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. общеобразоват. учреждений. – 3 – е изд.- М.: Мнемозина, с.: ил. 3. Руководство к решению задач по теории вероятностей : учебное пособие / Е. Н. Некряч, Е. И. Подберезина ; Томский политехнический университет.- Томск : Изд - во Томского политехнического университета, с.

Спасибо за внимание !