Лекция 10 Силовые поля Гравитационное поле

Солнечная система

Польский астроном Николай Коперник (Mikołaj Kopernik) ( ) Великие астрономы Датский астроном Тихо де Браге (Tyge Ottesen Brahe) (1546 – 1601)

Законы Кеплера Первый закон Кеплера (закон эллипсов) Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Форма эллипса и степень его сходства с окружностью определяется отношением с/а, называемым эксцентриситетом. Иоганн Кеплер (Johannes Kepler) (1571 –1630)

Второй закон Кеплера Второй закон Кеплера (закон площадей) Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади. Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Третий закон Кеплера Третий закон Кеплера (гармонический закон) Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников: где Т 1 и Т 2 периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а а 1 и а 2 длины больших полуосей их орбит.

Закон всемирного тяготения В своём основном труде «Математические начала натуральной философии» (1687) Исаак Ньютон вывел закон тяготения, основываясь на эмпирических законах Кеплера, известных к тому времени: Исаак Ньютон (Sir Isaac Newton) ( ) где G = 6, м³/(кг с²) – гравитационная постоянная

Напряженность гравитационного поля Напряженностью гравитационного поля в некоторой точке называется векторная физическая величина, равная отношению силы, действующей на пробную точечную массу в данной точке поля, к величине этой пробной массы: Напряженность гравитационного поля измеряется в Н/кг или м/с 2. Изображается силовыми линиями, касательные к которым совпадают с направлением вектора напряженности в данной точке поля.

Напряженность поля, создаваемого точечной массой Используя закон всемирного тяготения, получим: Гравитационное поле, создаваемое точечной массой: 1)неоднородно 2)радиально 3)сферически симметрично Силовые линии поля направлены по радиусам к точечной массе.

Принцип суперпозиции Если гравитационное поле создается несколькими точечными массами, то напряженность этого поля равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждой точечной массой в отдельности:

Теорема Гаусса для гравитационного поля Поток вектора напряженности гравитационного поля через любую замкнутую поверхность равен где m – суммарная масса, заключенная внутри этой поверхности: Элементарный поток через малую площадку dS : - единичный вектор нормали к площадке dS.

Расчет напряженности гравитационного поля внутри и снаружи однородного шара (М, R) Внутри шара Снаружи шара На поверхности Земли

Зависимость напряженности гравитационного поля от расстояния от центра шара Внутри шара напряженность линейно растет, на поверхности достигает максимального значения, дальше убывает пропорционально квадрату расстояния, как для точечной массы.

Потенциал гравитационного поля Потенциал гравитационного поля – скалярная физическая величина, равная отношению потенциальной энергии взаимодействия пробной массы с телами, создающими поле в данной точке, к величине пробной массы: Потенциальная энергия взаимодействия точечных масс при нормировке на бесконечность: Потенциал гравитационного поля, создаваемого точечной массой: Принцип суперпозиции для потенциала:

Связь между напряженностью и потенциалом Сила гравитационного взаимодействия является потенциальной, поэтому может быть выражена через градиент потенциальной энергии: Сила, действующая на точечную массу в поле напряженности Е, равна: Потенциальная энергия взаимодействия точечной массы с полем потенциала φ: Подставляя эти значения, получим: Силовые линии поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям (поверхности равного потенциала ).

Расчет потенциала внутри и снаружи шара По известной напряженности, снаружи шара: При нормировке на бесконечность С 1 =0 и потенциал убывает обратно пропорционально расстоянию от центра шара как у точечной массы Внутри шара: С 2 получается из равенства значений потенциала на поверхности шара: Внутри шара потенциал квадратично растет.

Потенциал шара при разных нормировках

Движение тел в однородном гравитационном поле Вблизи поверхности Земли напряженность гравитационного поля постоянна: Тела движутся по прямым и параболам.

Траектории тел в центральном гравитационном поле (эллипс, парабола, гипербола) Уравнение движения спутника вокруг Земли, первая космическая скорость: Закон сохранения механической энергии системы тел Земля и ракета, вторая космическая скорость: Третья космическая скорость:

Первый искусственный спутник Земли. Запущен в СССР года. m = 83,6 кг; = 92 дня. Второй спутник с Лайкой. Запущен г. m = 508 кг

Форма Земли R экват R пол a b

Оптимальная траектория облета Луны При взлете и посадке космического корабля используется направление скорости вращения Земли

Возможная траектория и время полета к планете Р Солнечной системы P Земля Солнце

Луна г. доставила капсулу с гербом Советского Союза на Луну. Луна г. сфотографировала обратную сторону Луны

Земные приливы, вызываемые гравитационным полем Луны Гравитационное поле Солнца вызывает вдвое меньшие приливы!

Приливная электростанция Отлив Прилив 1 – Турбина 2 – Уровень воды в море 3 – Уровень воды в резервуаре

Влияние приливного трения Из-за приливного трения уменьшается скорость вращения Земли. Вследствие приливов, которые возникали в веществе Луны под действием силы тяготения Земли, вращение Луны замедлилось настолько, что она все время обращена одной стороной к Земле. Приливное трение на Земле уменьшает период ее обращения вокруг оси на 4, с за оборот. С увеличением момента импульса L, обусловленным приливным трением, возрастает расстояние r между Землей и Луной (0,4 мм/сутки) и уменьшается скорость вращения Луны вокруг Земли. Хотя в настоящее время скорость увеличения расстояния мала, но за несколько миллиардов лет составляет величину, сравнимую с современным расстоянием между Землей и Луной.

Геостационарная орбита Круговая орбита спутника в экваториальной плоскости, двигаясь по которой он находится над одной и той же точкой экватора. Спутники на синхронных орбитах имеют большое значение для системы связи.