НЕСТАНДАРТНЫЕ МНОЖЕСТВА И ГРАНУЛЯРНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Д.А.ПОСПЕЛОВ

Д.А.ПОСПЕЛОВ – УЧЕНЫЙ-ЭНЦИКЛОПЕДИСТ ШИРОКИЙ СПЕКТР ИНТЕРЕСОВ В СОВРЕМЕННОЙ НАУКЕ Д.А.Поспелов – родоначальник ряда новых научных направлений в теории систем, информатике и науках об искусственном: Теория систем: Моделирование больших, сложных систем, а также распределенных, децентрализованных, многоагентных систем Теория систем: Моделирование больших, сложных систем, а также распределенных, децентрализованных, многоагентных систем Информатика: Организация параллельных вычислений в сетях Информатика: Организация параллельных вычислений в сетях Общая теория поведения естественных и искусственных систем как основа поведенческой информатики Общая теория поведения естественных и искусственных систем как основа поведенческой информатики (Психоника – психология поведения искусственных систем Теория гиромата как предшественница теории агентов Теория гиромата как предшественница теории агентов Фреймы поступков. Модели коллективного поведения. Фреймы поступков. Модели коллективного поведения. Анализ правополушарных механизмов восприятия и мышления) Теория управления: Ситуационное управление Теория управления: Ситуационное управление Прикладная семиотика: Семиотическое моделирование Прикладная семиотика: Семиотическое моделирование Прикладная логика: Псевдофизические и нечеткие логики Прикладная логика: Псевдофизические и нечеткие логики Виртуалистика и когнитивная графика Виртуалистика и когнитивная графика ОСНОВНАЯ СФЕРА ИНТЕРЕСОВ: ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ

Д.А.ПОСПЕЛОВ ОБ ИСКУССТВЕННОМ ИНТЕЛЛЕКТЕ Исследования в ИИ должны быть нацелены на «изучение психики человека с целью ее имитации в технических системах, решающих определенный набор практических задач, традиционно считающихся интеллектуальными» [Поспелов Д.А. Фантазия или наука: на пути к ИИ. М.: Наука, 1982]. В философском плане данную позицию можно обозначить как «умеренный функционализм», предполагающий возможность абстрагировать характерные свойства некоторого явления и воспроизвести их на других носителях. Здесь речь идет о воспроизведении основных функций человеческого интеллекта (а в более широком плане, психики человека) без учета лежащих за ними физиологических явлений.

ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ КАК «НАУКА-ПЕРЕКРЕСТОК», ОБЪЕДИНЯЮЩАЯ РЯД ЕСТЕСТВЕННЫХ, ТЕХНИЧЕСКИХ И ГУМАНИТАРНЫХ ДИСЦИПЛИН ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ (ПО Д.А. ПОСПЕЛОВУ) КАК «НАУКА-ПЕРЕКРЕСТОК», ОБЪЕДИНЯЮЩАЯ РЯД ЕСТЕСТВЕННЫХ, ТЕХНИЧЕСКИХ И ГУМАНИТАРНЫХ ДИСЦИПЛИНТЕОРИЯУПРАВЛЕНИЯ ии ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ЛОГИКА ЛИНГВИСТИКА ФИЛОСОФИЯ Воззрения В.И.Вернадского, Н.К.Рериха ПСИХОЛОГИЯ ПСЕВДОФИЗИЧЕСКИЕ ЛОГИКИ СЕМИОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ И МОДЕЛИРОВАНИЮ ИНТЕЛЛЕКТА ПСИХОНИКА, МОДЕЛИ ПОВЕДЕНИЯ, ТЕОРИЯ ГИРОМАТА ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ТЕОРИЯ СИСТЕМ ИНФОРМАТИКАИНФОРМАТИКА МОДЕЛИ ДИАЛОГА И ПОНИМАНИЯ

ОСНОВНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ВКЛАДА Д.А.ПОСПЕЛОВА В РАЗВИТИЕ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ НАУКИ I. НАУЧНАЯ: МОНОГРАФИИ, НАУЧНЫЕ СТАТЬИ 1. КИБЕРНЕТИКА И ИНФОРМАТИКА: ТЕОРИЯ АВТОМАТОВ, ТЕОРИЯ ИГР, ТЕОРИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ТЕОРИЯ ИГР, ТЕОРИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 2. НАУКИ ОБ ИСКУССТВЕННОМ, В ПЕРВУЮ ОЧЕРЕДЬ, СИТУАЦИОННОЕ УПРАВЛЕНИЕ, СЕМИОТИЧЕСКОЕ СИТУАЦИОННОЕ УПРАВЛЕНИЕ, СЕМИОТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, РАЗВИТИЕ МЕТОДОЛОГИИ, МОДЕЛИРОВАНИЕ, РАЗВИТИЕ МЕТОДОЛОГИИ, ТЕОРИИ И МЕТОДОВ ИИ ТЕОРИИ И МЕТОДОВ ИИ 3. КОГНИТИВНЫЕ НАУКИ И НАУКИ О ПОВЕДЕНИИ II. НАУЧНО - ПУБЛИЦИСТИЧЕСКАЯ: РАБОТЫ ПО ИСТОРИИ ИНФОРМАТИКИ РАБОТЫ ПО ИСТОРИИ ИНФОРМАТИКИ И ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА. И ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА. ФУТУРОЛОГИЧЕСКИЕ СТАТЬИ ФУТУРОЛОГИЧЕСКИЕ СТАТЬИ

РАННИЕ МОНОГРАФИИ Д.А.П оспелова в области кибернетики и информатики «Логические методы анализа и синтеза схем» (1964 г.) «Логические методы анализа и синтеза схем» (1964 г.) «Игры и автоматы» (1965 г.) «Игры и автоматы» (1965 г.) «Вероятностные автоматы» (1970 г.) «Вероятностные автоматы» (1970 г.) «Мышление и автоматы» (1972 г.) «Мышление и автоматы» (1972 г.) (совместно с В.Н.Пушкиным), «Системы управления» (1972 г.) «Системы управления» (1972 г.) (совместно с В.Н.Захаровым и В.Е.Хазацким) «Большие системы. Ситуационное управление» (1975 г.), «Большие системы. Ситуационное управление» (1975 г.),

МОНОГРАФИИ Д.А.ПОСПЕЛОВА В ОБЛАСТИ ИНФОРМАТИКИ И ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА «Логико-лингвистические модели в системах управления» (1981 г.) «Логико-лингвистические модели в системах управления» (1981 г.) «Фантазия или наука: на пути к искусственному интеллекту» (1982 г.) «Фантазия или наука: на пути к искусственному интеллекту» (1982 г.) «Оркестр играет без дирижера. Размышления об эволюции некоторых технических систем и управлении «Оркестр играет без дирижера. Размышления об эволюции некоторых технических систем и управлении ими» (1984 г.) (совместно с В.И.Варшавским) «Ситуационное управление: теория и практика» (1986 г.) «Ситуационное управление: теория и практика» (1986 г.) «От амебы до робота: модели поведения» (1987г.) «От амебы до робота: модели поведения» (1987г.) (совместно с М.Г.Гаазе-Рапопортом) Основы поведенческой «Представление знаний о времени и пространстве в интеллектуальных системах» «Представление знаний о времени и пространстве в интеллектуальных системах» (1988 г.) (совместно с Е.Ю.Кандрашиной и Л.В.Литвинцевой) (1988 г.) (совместно с Е.Ю.Кандрашиной и Л.В.Литвинцевой) «Моделирование рассуждений» (1989 г.) «Моделирование рассуждений» (1989 г.) «Нормативное поведение в мире людей и машин» «Нормативное поведение в мире людей и машин» (1990) (совместно с В.А.Шустер) (1990) (совместно с В.А.Шустер)

ОСНОВНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ВКЛАДА Д.А.ПОСПЕЛОВА В РАЗВИТИЕ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ НАУКИ III. Научно - учебная. Формирование научной школы, воспитание учеников, производство специалистов в области информатики и ИИ, близких ему по духу и идеям (В.Н. Вагин, Г.С.Осипов, В.Ф. Хорошевский, А.Н. Аверкин, А.Ф. Блишун, И.В. Ежкова, Л.В. Литвинцева и др.) IV. Научно - организационная. Активное участие в организации координационных структур по ИИ всистеме АН СССР (1974 г.) Заместитель председателя Научного совета по искусственному Заместитель председателя Научного совета по искусственному интеллекту Комитета по системному анализу при Президиуме АН СССР (Председатель Г.С.Поспелов, ученый секретарь Л.И.Микулич) Заместитель председателя Секции «Искусственный интеллект» Заместитель председателя Секции «Искусственный интеллект» Научного совета по комплексной проблеме «Кибернетика» при Президиуме АН СССР (Председатель Г.С.Поспелов, ученый секретарь Л.И.Микулич)

ОСНОВНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ВКЛАДА Д.А.ПОСПЕЛОВА В РАЗВИТИЕ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ НАУКИ Создание в 1989 г. Советской ассоциации искусственного Интеллекта (Учредительный съезд состоялся в г. Коломне в мае 1989 г.) г.). В 1992 г. она была преобразована в Ассоциацию искусственного интеллекта, а в 1996 г. появилась Российская ассоциация искусственного интеллекта. С 1991 г. стал издаваться журнал Ассоциации «Новости искусственного интеллекта» (ныне «Искусственный интеллект и принятие решений»). Таким образом, была сформирована открытая, междисциплинарная научная среда, эффективно функционирующая уже почти 20 лет, которая живет самостоятельной жизнью и является примером открытого сообщества, активно взаимодействующего с самыми разными научными, учебными, промышленными, деловыми структурами. За период с 1988 г. по 2010 г. было проведено 12 Национальных конференций по ИИ

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Традиционные множества удовлетворяют двум базовым постулатам: а) постулат принадлежности; б) постулат различимости. Согласно постулату принадлежности, любой элемент либо принадлежит, либо не принадлежит множеству, т.е. X=X +, X, где X + = {x xX }, X = {x xX } или на языке характеристических функций 1, если xX 1, если xX f(x) = f(x) = 0, если xX 0, если xX Это означает, что границы множества являются четкими; логическим аналогом постулата принадлежности является закон исключенного третьего. В соответствии с постулатом различимости множество мыслится как совокупность разных, т.е. четко различимых между собой элементов, которые можно перечислить, представить в виде списка. Отказ от этих жестких постулатов приводит к появлению неклассических (нестандартных) теорий множеств..

НЕСТАНДАРТНЫЕ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Известными примерами нестандартных теорий множеств служат мереология (теория частей и границ) Ст.Лесьневского и ее современные расширения (в частности, мереотопология); мереология (теория частей и границ) Ст.Лесьневского и ее современные расширения (в частности, мереотопология); альтернативная теория множеств (АТМ) П.Вопенки. альтернативная теория множеств (АТМ) П.Вопенки. В обеих этих теориях не используется отношение принадлежности. В АТМ класс рассматривается как более общая категория, чем множество, вводится понятие «полумножество», а также принимается интерпретация бесконечности как нечеткости, свойственной «необозримому конечному». Пусть имеется свойство объекта (x), которое определяет класс {x, (x)}. Полумножеством A называется собственный класс, являющийся подклассом некоторого множества A = {x, (x)} X В русле идей релятивизма в альтернативной теории множеств вводится понятие «горизонта», вблизи которого возникают феномены неразличимости и нечеткости. Вопенка П. Альтернативная теория множеств: Новый взгляд на бесконечность: Пер. со словац. – Новосибирск: Изд-во Института математики, 2004.

МЕРЕОЛОГИЯ Ст. ЛЕСЬНЕВСКОГО: ОСНОВНЫЕ ИДЕИ Мереологией (партономией) называется учение о частях целого (теория частей и границ). Как известно, в классической теории множеств активно используются постулат различимости элементов, а также понятие пустого множества. В отличие от этого мереология: 1) делает акцент на целостности множества как «коллективного класса», что позволяет считать ее прямой предшественницей теории грануляции Л.Заде; 2) основана на единственном отношении «быть частью»; 3) обходится без пустого множества. Мереология Лесьневского являет собой прототип «весомой» онтологии, которая опирается на следующие аксиомы (эти аксиомы положены в основу ряда моделей пространства). 1. Любой предмет есть часть самого себя (аксиома рефлексивности). 2. Две различные вещи не могут быть частями друг друга: если P – часть предмета Q, то Q не есть часть предмета P (аксиома антисимметричности). 3. Если P есть часть предмета Q, а Q – часть предмета R, то P есть часть предмета R (аксиома транзитивности). Таким образом, отношение «часть–целое» является отношением нестрогого порядка. Станислав Лесьневский ( ), Серпухов-Варшава

ПРИМЕРЫ НЕСТАНДАРТНЫХ МНОЖЕСТВ: МУЛЬТИМНОЖЕСТВО Мультимножеством А называется множество, которое может включать повторяющиеся элементы. Пусть X = {x 1, …, x m } – обычное множество, все элементы которого различны. Мультимножеством А, порожденным множеством X, называется совокупность наборов одинаковых элементов вида А = {n A1 x 1, n A2 x 2,…, n Am x m }. В общем случае мультимножество можно задать с помощью двух базовых функций: характеристической функции f : X {0, 1} и функции кратности n. Функция кратности мультимножества выражается как n: X N 0, где N 0 = {0,1,2,…} – множество неотрицательных целых чисел. По сути, формализация мультимножества сводится к определению его функции кратности.

ИНТЕРПРЕТАЦИИ МУЛЬТИМНОЖЕСТВА 1. Множество с различной частотой встречаемости элементов 2. Множество, состоящее из n экземпляров («точных копий») каждого типа xX (X – множество типов). 3. Взвешенное множество, когда кратность отождествляется с весом n=w. А={w 1x 1, w 2x 2,…, w nx n }, где w i = w A (x), а выражение w ix i можно понимать как алгебраическое произведение элемента x i и его веса w i, i=1,…,n. n x Векторы и матрицы также могут использоваться для наглядного представления мультимножеств Петровский А.Б. Пространства множеств и мультимножеств. – М.: Едиториал УРСС, 2003.

Д.А.ПОСПЕЛОВ: ТРЕХЗНАЧНЫЕ И МНОГОЗНАЧНЫЕ СЕМАНТИКИ, КРИТИКА ПРИНЦИПА РАЗЛИЧИМОСТИ, НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ МНОЖЕСТВА Поспелов Д.А. Логические методы анализа и синтеза схем. М.: Энергия, 1974 (Раздел «Применение многозначных логик при анализе и синтезе схем»). Захаров В.Н., Поспелов Д.А. Деонтическая логика и ее использование в моделях коллективного поведения// Дискретные системы. Международный симпозиум. – Рига: Зинатне, – Т.4. – С Трехзначная семантика Поспелов Д.А., Осипов Г.С. Прикладная семиотика// Новости искусственного интеллекта. – – 1. – С.9-35 (О неразличимости денотатов, с.14) Поспелов Д.А. Ситуационное управление: теория и практика. – М.: Наука, (Неопределенное множество на с.186) Неразличимость как следствие отсутствия информации Объекты могут быть различимыми в одной шкале и неразличимыми, т.е. тождественными, в другой – более укрупненной или размытой....

НЕСТАНДАРТНЫЕ МНОЖЕСТВА: ИНФОРМАЦИОННЫЙ ПОДХОД X0X0 CВЯЗЬ МЕЖДУ ИЕРАРХИЕЙ И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ H = (X +,X 0 ), X+ X, X 0 = X \ X + X+X+ Областьопределенности Областьнеопределенности Нестандартные множества с областью недоопределенности или переопределенности выражаются тройками вида X= X +, X, X 0, где X + = {x x X }, X = {x x X }, X 0 = {x x ? X } Их можно представить трехзначной характеристической функцией f (x) {+1, 0.5, 0} Близкий подход: Shadowed Sets: Pedrycz W., Gomide F. Fuzzy Systems Engineering: Towards Human-Centric Computing. – Hoboken N.J.: Wiley and Sons, X

НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ НЕСТАНДАРТНЫХ МНОЖЕСТВ Обозначим X + через A. Тогда: 1. Переопределенное множество – это множество с избыточной и противоречивой информацией избыточной и противоречивой информацией относительно принадлежности его элементов относительно принадлежности его элементов +1, если xX + ; +1, если xX + ; А od f(x) = 0.5, если xX + и xX ; А od f(x) = 0.5, если xX + и xX ; 0, если xX. 0, если xX. 2. Недоопределенное множество – это множество с неполной информацией относительно принадлежности неполной информацией относительно принадлежности его элементов его элементов +1, если xX + ; +1, если xX + ; А ud f(x) = 0.5, если xX + и xX ; А ud f(x) = 0.5, если xX + и xX ; 0, если xX. 0, если xX. По А.С.Нариньяни, А ud = X +, X, l, u, где l – нижняя оценка u – верхняя оценка мощности множества X 0

ПРИБЛИЖЕННОЕ МНОЖЕСТВО Пусть Х – множество, а R XX – отношение неразличимости (эквивалентности). Тогда пара=(Х, R) образует пространство приближений. Классы эквивалентности по отношению R называются элементарными множествами в пространстве приближений, а любая совокупность элементарных множеств образует, а любая совокупность элементарных множеств образует составное множество в. Произвольное подмножество A X можно точно определить на основе имеющейся информации, т.е. классов эквивалентности. Вместо этого каждое множество заменяется двумя множествами, которые называются нижним приближением RХ = {x x R X} (наибольшее составное множество, содержащееся в Х) и верхним приближением RХ = {x x RX} (наименьшее составное множество, содержащее X) соответственно. Pawlak Z. Rough Sets // International Journal of Computer and Information Sciences. – – Vol.11. – P

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО МНОЖЕСТВА Нижнее приближение есть множество всех объектов, которые определенно принадлежат Х, а верхнее приближение – множество всех объектов, которые возможно принадлежат Х. Приближенное (аппроксимируемое) множество расположено между этими двумя приближениями RХ Х RХ Для каждой пары приближений различаются три различных области: 1) POS R (Х) = RХ (R – положительная область X, в которой все объекты определенно принадлежат множеству X); 2) NEG R (Х) = U \ Х (R – отрицательная область X, в которой все объекты определенно принадлежат дополнению X' к множеству X); 3) BND R (Х) = Х \ RХ (R-пограничная область X, где содержатся все объекты, которые не могут быть с определенностью отнесены ни к X, ни к его дополнению X'. Павляк З. Приближенные множества – основные понятия// Логические исследования. Вып.1. – М.: Наука, – С.6-19.

СЛУЧАЙНОЕ МНОЖЕСТВО Случайное множество A задается отображением A: 2 Y пространства элементарных событий в множество всех подмножеств конечного множества Y, если прообраз любого подмножества X множества Y является измеримым, т.е. А –1 (X) B, где B – поле борелевских множеств. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. – М.: Наука, 1979.

МЯГКОЕ МНОЖЕСТВО Пусть U – универсальное множество, а P – множество параметров, которое может иметь произвольную природу. Пара (S, P) называется мягким множеством над U, если S является отображением из множества P в множество всех подмножеств множества U, т.е. S: P2 U. Таким образом, мягкое множество, тесно связанное с представлением нечеткости семейством обычных множеств уровня, по сути, задает параметризованное семейство подмножеств универсума U. Молодцов Д.А. Теория мягких множеств. – М. Едиториал УРСС, Molodtsov D.A. Soft Set Theory – First Results// Computers and Mathematics with Applications. – – Vol.37, 4-5. – P

НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА Zadeh L.A. Fuzzy Sets// Information and Control. – – Vol.8. – P Дано понятие нечеткого множества, изложены различные варианты определения бинарных операций их пересечения и объединения. Введены унарные операции дополнения, растяжения, концентрирования, отношение включения. Рассмотрены множества уровня нечетких множеств. Введены нечеткие отношения и их проекции. Предложен принцип обобщения и рассмотрены отображения нечетких множеств. Введены нечеткие множества типа 2. Определены эластичные ограничения и правила трансляции нечетких предложений

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ 1. Всем подмножествам универсального множества X cтавится в соответствие упорядоченная структура: cтавится в соответствие упорядоченная структура: x F y x есть в большей степени F, чем y x F y x есть в большей степени F, чем y 2. Упорядочение по принадлежности производится на шкале принадлежности M: x F y F (x) F (y) шкале принадлежности M: x F y F (x) F (y) 3. Шкала принадлежности может быть как числовой: интервалы [0, 1], [1, +1], [0,), подинтервалы интервалы [0, 1], [1, +1], [0,), подинтервалы этих интервалов, так и нечисловой: линейно этих интервалов, так и нечисловой: линейно упорядоченное множество, решетка L и пр. упорядоченное множество, решетка L и пр.

25 ЛЕТ НАЗАД ВЫШЛА В СВЕТ КНИГА «НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА В МОДЕЛЯХ УПРАВЛЕНИЯ И ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА» / ПОД РЕД. Д.А.ПОСПЕЛОВА Рассматривается применение аппарата теории нечетких множеств к таким областям математики, как теория матриц и отношений, логика, теория автоматов и алгоритмов, модели принятия решений и др. Рассматривается применение аппарата теории нечетких множеств к таким областям математики, как теория матриц и отношений, логика, теория автоматов и алгоритмов, модели принятия решений и др. Описывается применение полученных формальных методов к кластерному анализу, распознаванию образов, задачам рационального выбора, экспертным оценкам, экономическим прогнозам, описанию биологических и социальных процессов, моделированию поведения человека-оператора, к системам планирования и представления знаний в системах искусственного интеллекта, алгоритмам управления роботами и технологическими процессами, допускающим нечеткие инструкции. Описывается применение полученных формальных методов к кластерному анализу, распознаванию образов, задачам рационального выбора, экспертным оценкам, экономическим прогнозам, описанию биологических и социальных процессов, моделированию поведения человека-оператора, к системам планирования и представления знаний в системах искусственного интеллекта, алгоритмам управления роботами и технологическими процессами, допускающим нечеткие инструкции.

ВАЖНЕЙШИЕ ИДЕИ И РЕЗУЛЬТАТЫ Л.Заде в 1970-е – 1990-е годы Формальная модель лингвистической переменной Формальная модель лингвистической переменной Zadeh L.A. The Concept of a Linguistic Variable and its Application to Approximate Reasoning. Parts 1 and 2//Information Sciences. –1975. – Vol.8. – P , Идеи плюрализма и локальности в логике Идеи плюрализма и локальности в логике Bellman R., Zadeh L.A. Local and Fuzzy Logics// Modern Uses of Multiple-Valued Logics/ Ed. by J.M.Dunn and G.Epstein. – Dordrecht: D.Reidel, – P Теория возможности Теория возможности Zadeh L.A. Fuzzy Sets as a Basis for a Theory of Possibility// Fuzzy Sets and Systems. – – Vol.1. – P Теория приближенных рассуждений Теория приближенных рассуждений Zadeh L.A. A Theory of Approximate Reasoning// Machine Intelligence/ Ed. by J. Hayes, D. Michie and L.I. Mikulich. – New York: Halstead Press, – P Концепция мягких вычислений Концепция мягких вычислений Zadeh L.A. Fuzzy Logic, Neural Network and Soft Computing// Communications of the ACM. – – Vol.37, 3. – P – – Vol.37, 3. – P Концепция вычислений со словами Концепция вычислений со словами Zadeh L.A. Fuzzy Logic = Computing With Words// IEEE Transactions on Fuzzy Systems. – – Vol. 4. – P Теория нечетких информационных гранул Теория нечетких информационных гранул Zadeh L.A. Toward a Theory of Fuzzy Information Granulation and its Centrality in Human Reasoning and Fuzzy Logic// Fuzzy Sets and Systems. – – Vol. 90. – P

ВАЖНЕЙШИЕ ИДЕИ И РЕЗУЛЬТАТЫ Л.Заде в 2000-е годы Общая теория неопределенности Общая теория неопределенности Zadeh L.A. Toward a Generalized Theory of Uncertainty (GTU): an Outline// Information Sciences – Informatics and Computer Science. – – Vol.172, 1-2. – P Zadeh L.A. Generalized Theory of Uncertainty (GTU) – Principal Concepts and Ideas// Computational Statistics and Data Analysis. – – Vol. 51. – P \ Теория неточных и гранулярных вероятностей Теория неточных и гранулярных вероятностей Zadeh L.A. Toward a Perception-Based Theory of Probabilistic Reasoning with Imprecise Probabilities// Journal of Statistical Planning and Inference. – – Vol.105. – P. 233–264. Zadeh L.A From imprecise to granular probabilities// Fuzzy Sets and Systems. – – Vol.154, 3. – P Программа развития гранулярной математики, Программа развития гранулярной математики, в частности, реализация гранулярных вычислений на основе обобщенных ограничений Создание в 1997 г. специальной рабочей группы по гранулярным вычислениям в рамках ранее организованной Л.Заде лаборатории BISC в университете Беркли (штат Калифорния)

Для того, чтобы перейти от нестандартных множеств к гранулярным вычислениям следует дать ответы на ряд ключевых вопросов. Зачем и для кого нужны информационных гранулы? Какие области и типы задач искусственного интеллекта затронуты этой проблематикой? Как формировать информационные гранулы? Какие инструментальные средства нужны для разработки и поддержки гранулярной онтологии? ОБЛАСТИ ИИ Теория и приложения интеллектуальных агентов и многоагентных систем; Теория и приложения интеллектуальных агентов и многоагентных систем; Системы онтологий и, в частности, метаонтологии; Системы онтологий и, в частности, метаонтологии; Задачи интеллектуального анализа данных и обнаружения знаний, в частности, интеграции Задачи интеллектуального анализа данных и обнаружения знаний, в частности, интеграции данных, поступающий от сенсоров ИНФОРМАЦИОННЫЕ ГРАНУЛЫ И ГРАНУЛЯЦИЯ В ИСКУССТВЕННОМ ИНТЕЛЛЕКТЕ

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АГЕНТА Обычно определение искусственного агента сводится к выделению некоторого минимального набора его базовых характеристик, в число которых входят: 1) активность; 1) активность; 2) реактивность; 2) реактивность; 3) автономность; 3) автономность; 4) коммуникативность; 4) коммуникативность; 5) интенциональность. 5) интенциональность. Для интеллектуальных агентов в этот перечень добавляются такие качества как Для интеллектуальных агентов в этот перечень добавляются такие качества как формирование мнений и представление знаний, прогнозирование ситуации, принятие решений и планирование действий. Важным свойством человека как естественного интеллектуального агента является способность к грануляции информации. как основной подход к работе с НЕ-факторами. Этой способностью следует наделять и искусственных интеллектуальных агентов - как физических агентов, например, интеллектуальных роботов, так и программных агентов, в частности, инфоботов.

ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ И ВИДЫ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ АГЕНТОВ КАК ОТКРЫТЫХ АКТИВНЫХ СИСТЕМ КОГНИТИВНАЯ ФУНКЦИЯ СРЕДА АГЕНТ РЕГУЛЯТИВНАЯ ФУНКЦИЯ РЕСУРСНАЯ ФУНКЦИЯ

АРХИТЕКТУРА КОГНИТИВНОГО АГЕНТА Главная особенность когнитивного агента, отличающая его от других интеллектуальных систем, заключается в том, что он получает информацию из трех источников: 1) от датчиков сенсорной системы; 2) от собственной базы знаний; 3) от человека-оператора на ограниченном ЕЯ в виде целеуказаний и инструкций. Интеграция этих информационных процессов является необходимым условием диалогового управления.

ПОНЯТИЕ ГРАНУЛЫ Термин «гранула» происходит от латинского слова granum, что означает «зерно» и описывает мелкую частицу реального мира. Грануляция информации основана на неклассическом представлении множества. Классическое понятие множества опирается на два основных принципа: принцип принадлежности и принцип различимости его элементов. В то же время, гранула есть совокупность неразличимых объектов, определяемая только их типом и количеством. Онтология гранул – это онтология представления сложных единиц информации и выявления знаний из данных. Под гранулой понимается группа объектов, объединяемых неразличимостью, сходством, близостью (т.е. отношениями, обладающими, по крайней мере, свойствами симметричности и рефлексивности). По сути, термин «гранула» означает динамическую целостную информационную структуру, организованную для достижения некоторой цели. Понятие «гранула» и термин «грануляция информации ввел Л.Заде в 1979 г., однако прямым предшественником теории грануляции может по праву считаться польский ученый ученый Ст.Лесьневский – автор Мереологии.

ГРАНУЛЯЦИЯ ИНФОРМАЦИИ В ИИ: ГРАНУЛЯЦИЯ КАК КЛЮЧЕВАЯ СПОСОБНОСТЬ КОГНИТИВНЫХ АГЕНТОВ 1. Информационные гранулы играют ведущую роль в представлении и обработке знаний когнитивными агентами. 2. Уровень грануляции (размер гранул) имеет существенное значение для описания агентом проблемы и выбора стратегии ее решения. 3. Не существует универсального уровня информационной грануляции; размер гранулы является проблемно- ориентированным и зависящим от агента.

ИНТЕРПРЕТАЦИИ И КЛАССИФИКАЦИИ ГРАНУЛ Типичные интерпретации гранул есть: часть целого, подзадача задачи, кластер, переменное ограничение (в смысле Л. Заде), единица знания. Имеются различные классификации гранул: физические и концептуальные гранулы, четкие и нечеткие гранулы, одномерные и многомерные гранулы, гранулы данных и гранулы знаний, временные и пространственные (псевдофизические) гранулы и пр. Гранулы отличаются друг от друга по своей природе, сложности, размеру, уровню абстрактности-детализации. Уровень грануляции можно задать как число объектов в грануле, поделенное на общее число гранул. Термин «Грануляция» охватывает процессы композиции (формирование более крупных гранул) и декомпозиции (формирование более мелких гранул)

ИЛЛЮСТРАЦИЯ ВРЕМЕННЫХ ГРАНУЛ: ИЕРАРХИЯ ПЛАНОВ (В СООТВЕТСТВИИ СО СТАНДАРТОМ MRPII) Уровень планирования ОбъектГоризонт ИнтервалОценка выполнения План продаж и операций Товарно- номенклатурная группа 1-2 годаКвартал или месяц Ежеквартальная Главный календарный план производства Изделия независимого спроса и график конечной сборки Квартал - Год Месяц или неделя Ежемесячная План потребностей в материалах Изделия зависимого спроса 1-6 месяцев Неделя, день Еженедельная Оперативное планирование и управление производством Технологические операции, детале- операции, изделия, заказы 1-4 недели День, час, минута Ежедневная или ежесменная Громов С.А. Разработка моделей, методов и программного обеспечение для оперативного планирования производства на основе теории адаптации и технологии программных агентов. Диссертация…к.т.н. – Москва: МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2011.

ПРИМЕРЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРАНУЛ Название Обозна- чения Формальная запись Графическая Иллюстрация НесвязностьDC ЧастьP Собственная часть PP РавенствоEQ ПерекрытиеO Частичное перекрытие PO Внешняя связность EC

ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ Язык описания сложной системы должен соответствовать характеру располагаемой о ней информации (уровню неопределенности). Грануляция информации – это ее представление согласно принципу соответствия на определенном уровне обобщенности – детализации. Например, теория пространственных гранул – это теория «бесточечных» пространственных областей. ПРИНЦИП ГРАНУЛЯЦИИ Л.ЗАДЕ Для эффективной работы с неточной информации следует выбрать наибольший уровень грануляции, соответствующий допустимому уровню неточности [Zadeh, 2000]

ГРАНУЛЯРНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ Гранулярные вычисления – это новая концептуальная и вычислительная парадигма обработки информации. Этот термин служит для обозначения различных методологий, теорий, методов и инструментальных средств, использующих гранулы при решении сложных задач. Согласно Ю.Яо, гранулярные вычисления можно рассматривать с трех сторон: как философию человеческого мышления, методологию решения задач и набор методов анализа информации. По мнению Л.Заде, гранулярные вычисления обеспечивают подходящее основание для вычислений со словами, т.е. вычислений на основе информации, описываемой средствами ограниченного естественного языка. Он связывает гранулярные вычисления с формированием, агрегированием и распространением обобщенных ограничений. Фундаментальными проблемами гранулярных вычислений являются построение, представление, интерпретация и использование гранул в соответствии с имеющимися знаниями. Близкие концепции: Сomputational Intelligence, Natural Computations, Human-Centric Computing.

ГРАНУЛЯРНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ: НЕКОТОРЫЕ ПЕРСОНАЛИИ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ ИСТОЧНИКИ Основоположниками теории грануляции информации и гранулярных вычислений являются L.Zadeh, Yiyu Yao, W.Pedrycz, T.-Y. Lin, R.Yager, A.Skowron, И.З.Батыршин, В.Крейнович. Базовые литературные источники: Монография Bargiela A., Pedrycz W. Granular Computing: an Introduction. – Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, Капитальное руководство Handbook of Granular Computing/ Ed.by W.Pedrycz, A.Skowron and V.Kreinovich. – New York: Wiley InterScience, – 1116 c. Proceedings of International Conferences «Rough Sets, Fuzzy Sets, Data Mining and Granular Computing» - недавно в июне 2011 г. в Москве прошла уже 13 -я конференция с таким названием. Международный журнал Международный журнал International Journal of Granular Computing, Rough Sets and Intelligent Systems (издается с 2010 г.)

ТИПИЧНЫЕ МОДЕЛИ ГРАНУЛ Интервалы Интервалы Кластеры Кластеры Вложенные множества Вложенные множества Недоопределенные множества Недоопределенные множества Переопределенные множества Переопределенные множества Приближенные множества Приближенные множества Мультимножества Мультимножества Нечеткие множества Нечеткие множества Лингвистические переменные Лингвистические переменные Примитивы языка гранулярных вычислений – покрытия, разбиения, окрестности R

СТРУКТУРА ГРАНУЛЯЦИИ ИНФОРМАЦИИ СТРУКТУРА ГРАНУЛЯЦИИ ИНФОРМАЦИИ Будем описывать общую схему грануляции информации когнитивным агентом пятеркой G = X, GR, M, R, T, где X – проблемная область; GR – семейство информационных гранул; M – множество формальных методов грануляции; R – множество отношений между гранулами; T – множество переходов между уровнями грануляции (преобразований гранул). Грануляцию информации можно осуществлять разными методами: 1) на основе методов классификации и кластерного анализа; 2) на базе мереологического подхода с помощью отношений вложенности и нестандартных множеств

ПРИМЕРЫ КЛАСТЕРОВ О СООТНОШЕНИИ МЕЖДУ ГРАНУЛОЙ И КЛАСТЕРОМ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КЛАСТЕРА Под кластером понимается такой набор объектов, где любой объект расположен ближе к центру, средней точке своего набора, чем к центру любого другого набора. Можно также определить кластер его как участок повышенной плотности в пространстве, отделенный от других участками низкой плотности. Аксиома различимости объектов не ставится под сомнение. В кластерном анализе объединение объектов в группы производится, исходя из их сходства или различия, которое оценивается степенью близости объектов в метрических пространствах признаков.

ИЛЛЮСТРАЦИЯ УРОВНЕЙ ГРАНУЛЯЦИИ И ОТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ГРАНУЛАМИ

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЧЕТКИХ ГРАНУЛ: РАЗБИЕНИЕ НА ОСНОВЕ ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ Простейший вариант грануляции информации есть разбиение универсального множества, т.е. его разделение на n непустых и неперекрывающихся подмножеств: Простейший вариант грануляции информации есть разбиение универсального множества, т.е. его разделение на n непустых и неперекрывающихся подмножеств: X = A 1... A n (покрытие), X = A 1... A n (покрытие), где A 1... A n =. где A 1... A n =. Пример четкой гранулы Разбиение можно определить как фактор-множество, индуцируемое отношением эквивалентности. Разбиение можно определить как фактор-множество, индуцируемое отношением эквивалентности. Бинарное отношение R X X называется отношением эквивалентности E, если оно удовлетворяет условиям рефлексивности, симметричности и транзитивности. Отношение эквивалентности E разбивает исходное множество X на непересекающиеся подмножества. Это разбиение множества X называется фактор-множеством, индуцированным отношением эквивалентности E и обозначается в виде X/E ={[x] E x X}, где [x] E = {y y X; xEy} – класс эквивалентности, содержащий x. Примером функциональной грануляции служит антропоморфная грануляция автономного робота на базовые мехатронные компоненты: А 1 – «тело» (двигательная система, обеспечивающая перемещение робота); А 2 – «голова» или «мозг» – системы управления; А 3 – «органы чувств» (сенсорные системы); А 4 – «языки» (система коммуникации).

МЕТОДЫ ГРАНУЛЯЦИИ ИНФОРМАЦИИ НА ОСНОВЕ ПОНЯТИЯ ОКРЕСТНОСТИ Понятие гранулы можно задать как окрестность элемента (точки) x. Так на числовой оси окрестность точки – любой интервал (открытый промежуток), содержащий данную точку. Пусть X, – метрическое пространство. В этом случае окрестностью с центром в точке y называют множество А ε = { xX ρ (x, y) ε }. Таким образом, каждой точке xX можно поставить в соответствие некоторое подмножество, называемое окрестностью точки, а семейство таких подмножеств образует систему окрестностей. В частности ε-окрестность можно описывать как расстояние. Бинарное отношение R называется расстоянием (метрикой), если оно удовлетворяет следующим условиям: 1) R(x, x) = 0, (x, x) X X (антирефлексивность); 2) R(x, y) = R(y, x), (x, y), ( y, x) X X (симметричность); 3) R(x, z) R(x, y) R(y, z)}, (x, z),(x, y),(y, z) X X (транзитивность). По сути, понятия разбиения и окрестности являются примитивами языка гранулярных вычислений, где им соответствует термин «гранула»

ГРАНУЛЯРНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА Определение. Гранулярная алгебраическая система есть тройка GAS= X G, R G, G, где X G есть непустое базовое гранулярное множество, понимаемое как основа грануляции (его можно задать семейством вложенных множеств, приближенных множеств, мультимножеств, нечетких множеств и пр.), R G есть множество гранулярных отношений на X G (например, семейства бинарных, тернарных, …, n-арных отношений, выражаемых с помощью гиперграфов), G есть множество гранулярных операций на X G (в частности, G есть множество гранулярных операций на X G (в частности, семейства обобщенные операции пересечения и объединения, задаваемые треугольными нормами и конормами) Как задать X G ? Гранулярное множество можно рассматривать как универсум вместе с семейством его подмножеств.

ГРАНУЛЯРНОЕ МНОЖЕСТВО: НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ 1. Гранулярное множество – универсум вместе с фактор-множеством X G = (X, X/E ), где фактор-множество X/E ={[x] E x X} индуцируется отношением эквивалентности, [x] E ={y y X; xEy} – класс эквивалентности, содержащий x. Итак, в простейшем случае гранулярное множество формируется путем разбиения универсального множества X, а именно X =(A 1,…, A n ), где X = A 1... A n (покрытие) и A i A j =, i, j = 1,…,n 2. Гранулярное множество как универсум вместе с семейством вложенных множеств (ensemble flou) X G = (X, F ). F = {A 0, …, A n }, гдe A i X, i=0,…, n, A 0 = X, A 0 A 1 … A n или в более общем случае как множество четких -сечений, определенных на решетке L A : L 2 X, L.

МЕРЫ ГРАНУЛЯРНОСТИ (НЕТОЧНОСТИ) НА МНОЖЕСТВАХ Меры неточности (неспецифичности) на множествах тесно связаны с понятием гранулярности и показывают степень детализации используемой информации. Пусть X – базовое множество, а 2 X –множество всех подмножеств, определенных на X. Тогда мера гранулярности (неточности) есть функция множества. gr: 2 X gr: 2 X R +, R + = [0,), такая что 1) gr (A) = 0 тогда и только тогда, когда A есть одноточечное множество, A={x} (cлучай сингулярной оценки) 2) A,B2 X, AB gr (A) gr (B). B A

ИЛЛЮСТРАЦИЯ СПОСОБОВ ПОРОЖДЕНИЯ ГРАНУЛ Классические формальные подходы к построению четких гранул опираются на понятия: множества, интервала, разбиения, иерархии, окрестности, аппроксимации (теория приближенных множеств), распределения (теория вероятности, теория Демпстера-Шейфера) и пр. Хорошим примером гранулярной структуры является семейство подмножеств универсального множества. Разбиение Вложенные множества: Приближенное множества множество: гранулярная модель гранулярная гранулярная модель гранулярная неопределенности модель неточности неточности неопределенности модель неточности неточности

МЕТОДЫ ГРАНУЛЯЦИИ ИНФОРМАЦИИ: РАЗБИЕНИЕ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКОГО ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ Построение нечеткой гранулы на базе нечеткого отношения эквивалентности. Пусть R – нечеткое бинарное отношение с функцией принадлежности R : X X [0,1]. R : X X [0,1]. Будем называть его нечетким отношением эквивалентности E, если выполняются следующие условия: 1) μ R (x, x)=1, (x, x) X X (рефлексивность); 2) μ R (x, y)= μ R (y, x), (x, y), (y, x) X X (симметричность); 3) μ R (x, z) max {min (μ R (x,y), μ R (y, z)}, (x, z), (x, y), (y, z) X X (транзитивность). Пара APR= X, E называется нечетким пространством приближений. Определим множество -уровня (сечение) нечеткого отношения R в виде R ={(x,y) R (x,y) }, (x,y) X X, 0 1. Нечеткое разбиение множества можно произвести путем разложения нечеткого отношения эквивалентности на -уровни. 50

ВЕРТИКАЛЬНАЯ ГРАНУЛЯЦИЯ ИНФОРМАЦИИ С ПОМОЩЬЮ МНОЖЕСТВА УРОВНЯ Отношение полиморфизма: Грануляция вида «уровень решения – когнитивный интервал» Обычное множество -уровня (-сечение) нечеткого множества А с функцией принадлежности А (x) определяется в виде А с функцией принадлежности А (x) определяется в виде A ={x А (x)}, xX, [0,1]. Здесь (A B) = A B, (A B) = A B, [0,1]. В то же время, A есть прообраз [,1] при отображении -1, т.е. A = -1 ([,1]). Имеем два специфических множества уровня Supp A={x А (x) 0} (наименьший, самый мелкозернистый уровень) Kernel A= {x А (x) =1} (наибольший уровень)

ТЕОРЕМА ИЗОМОРФИЗМА КАК ОСНОВА ПЕРЕХОДА ОТ НЕЧЕТКИХ К ЧЕТКИМ ГРАНУЛАМ Обозначим класс всех нечетких множеств (X) = { А А : X [0,1]}.(X) = { А А : X [0,1]}. В то же время, введем класс отображений вида Ф([0, 1]) = {AA : [0, 1] 2 X }. Любой элемент этого класса A ставит в соответствие каждому Числу [0,1] некоторое подмножество множества X. Если к тому же выполняются условия: а) A 0 = X; б) 1, 2 [0, 1], 1 2 A1A2, то тогда справедлива следующая теорема изоморфизма. Теорема 1 [Негойцэ и Ралеску, 1975] Классы (X) и Ф([0, 1]) изоморфны относительно операций пересечения и объединения. Следствие 1. Любое нечеткое множество можно представить с помощью семейства его четких множеств уровня.

ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ГРАНУЛЯЦИЯ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ГРУППОВОМ ПОСТРОЕНИИ ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ Рассмотрим частотный метод определения функции принадлежности в ситуации бинарного опроса экспертов. Пусть имеется n экспертов, которые могут отвечать «да» или «нет» на вопросы, касающиеся наличия у субъекта некоторого свойства. Тогда метод сводится к подсчету числа m ответов «да» и определению отношения m/n, которое понимается как степень принадлежности данного свойства субъекту. Когда все эксперты отвечают «да», то степень принадлежности свойства субъекту равна 1. Однако, несовпадение оценок экспертов приводит к частичной, градуальной принадлежности. Пусть имеется биномиальное распределение. Тогда стандартное отклонение оценки числа ответов «да», обозначаемое σ, задается в виде σ = m (1– m)/ n а доверительный интервал определяется формулой [m – σ, m + σ].

МЕТОДЫ ГРАНУЛЯЦИИ ИНФОРМАЦИИ: РАЗБИЕНИЕ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКОГО ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ Построение нечеткой гранулы на базе нечеткого отношения эквивалентности. Пусть R – нечеткое бинарное отношение с функцией принадлежности R : X X [0,1]. R : X X [0,1]. Будем называть его нечетким отношением эквивалентности E, если выполняются следующие условия: 1) μ R (x, x)=1, (x, x) X X (рефлексивность); 2) μ R (x, y)= μ R (y, x), (x, y), (y, x) X X (симметричность); 3) μ R (x, z) max {min (μ R (x,y), μ R (y, z)}, (x, z), (x, y), (y, z) X X (транзитивность). Пара APR= X, E называется нечетким пространством приближений. Определим множество -уровня (сечение) нечеткого отношения R в виде R ={(x,y) R (x,y) }, (x,y) X X, 0 1. Нечеткое разбиение множества можно произвести путем разложения нечеткого отношения эквивалентности на -уровни. 54

НЕЧЕТКАЯ ГРАНУЛЯЦИЯ ИНФОРМАЦИИ: ТЕРМ-МНОЖЕСТВО ЛИНГВИСТИЧЕСКОЙ ПЕРЕМЕННОЙ КАК КОГНИТИВНЫЙ ФРЕЙМ В качестве примера нечеткой грануляции можно взять совокупность лингвистических значений лингвистической переменной «Ошибка навигации». Здесь 7 термов образуют покрытие терм-множества, но не его разбиение, поскольку соседние термы пересекаются. Гранулированные значения ЛП: 0 – нулевая ошибка; +1 – малая положительная ошибка; +2 – средняя положительная ошибка; +3 – большая положительная ошибка; –1 – малая отрицательная ошибка; –2 – средняя отрицательная ошибка; – 3 – большая отрицательная ошибка.

ПАРАМЕТРИЗОВАННЫЕ НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА – ХОРОШЕЕ СРЕДСТВО ГРАНУЛЯЦИИ ИНФОРМАЦИИ Будем рассматривать параметризованные нечеткие множества как формальную основу для различных моделей грануляции. Параметризованное нечеткое множество было введено нами в работе [Tарасов, 1987] для формализации лингвистических оценок принадлежности и более гибкого представления нечетких отношений в задачах принятия решений. Затем в [Taрасов, 2008] оно было расширено на случай, когда нечеткие множества и их параметры принимают значения в решетках. Определение 1 [Taрасов, 2008]. Параметризованное нечеткое множество (ПНМ) есть функция A : X [0, 1], (1) A : X [0, 1], (1) где есть множество значений параметра. В частности, можно рассматривать как уровень грануляции. Множество можно легко нормализовать; при = [0, 1] имеем функцию принадлежности А : X [0, 1] [0, 1]. (2) А : X [0, 1] [0, 1]. (2)

СЕЧЕНИЕ ПАРАМЕТРИЗОВАННОГО НЕЧЕТКОГО МНОЖЕСТВА Пусть А (x,) – функция принадлежности параметризованного нечеткого множества. Tогда -сечение (множество -уровня) ПНМ задается в виде обычного множества A ={(x,) А (x,)}, xX, [0,1], [0,1]. Здесь (A B) = A B, (A B) = A B, [0,1]. В то же время, A есть прообраз [,1] для отображения -1, т.е. A = -1 ([,1]). Параметризованные нечеткие множества представляют собой частный случай нечетких множеств типа 2. Мицумото и Танака [1975], а также Ниеминен [1977] показали, что алгебра нечетких множеств типа 2 есть квазирешетка (не выполняются законы поглощения).

ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ПНМ 1. Пересечение C =AB АB (x,) = sup { А (x, ), B (x,)}, =min{,}=min{,} (x,)X [0, 1],, [0,1](x,)X [0, 1],, [0,1] 2. Объединение D =AB АB (x, ) = sup { А (x, ), B (x,)}, =max{,} =max{,} (x,)X [0, 1],, [0,1](x,)X [0, 1],, [0,1] 3. Дополнение A А (x, ) = А (x, 1 – ), (x,)X [0, 1].(x,)X [0, 1].

ГРАНУЛЯЦИЯ С ПОМОЩЬЮ НЕЧЕТКИХ -СЕЧЕНИЙ Нечеткую грануляцию информации можно провести с помощью нечетких -сечений [Radecki, 1977]. Построение такого сечения является удобной -сечений [Radecki, 1977]. Построение такого сечения является удобной процедурой преобразования нечеткой гранулы. Для многих практических приложений целесообразно определять частичные нечеткие множества, определенные на подмножествах универсума X. Этот подход легко формализовать на базе нечетких -сечений (нечетких множеств уровня). Вначале рассмотрим два способа формирования -сечений: обычное верхнее -cечение A ={x А (x)}, и нижнее -cечение A ={x А (x)}, гдн [0,1]. Теперь определим два типа нечетких гранул как нечетких -сечений (нечетких множеств уровня), т.е. нечетких множеств с уровнем грануляции. Следуя Т.Радецки, введем понятия нечетких множеств уровня как нечетких множеств, зависящих от параметра. Определение 2. Нечетким множеством уровня называется параметризованная функция вида А (x, ), определяемая как А : X [0, 1] [0, 1] или (в обозначениях Заде – Кофмана) как совокупность упорядоченных пар А() = {xА, А() (x) = А (x)}. Определение 3. Нечетким множеством уровня называется параметризованная функция вида А (x, ), определяемая как А : X [0, 1] [0, 1] или (в обозначениях Заде – Кофмана) как совокупность упорядоченных пар А() = {xА, А() (x) = А (x)}.

ПРИМЕРЫ НЕЧЕТКИХ - СЕЧЕНИЙ Пример 1. Пусть имеется универсальное множество X = {x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 } и его нечеткое подмножество А={(x 1, 0.7),(x 2, 0.4),(x 3, 0.2),(x 4,1),(x 5, 0.9)}. Тогда нечеткое множество уровня =0.6 записывается в виде А(0.6)={(x 1, 0.7), (x 4, 1), (x 5, 0.9)}, а нечеткое множество уровня =0.9 – в виде А(0.9) ={(x 4, 1), (x 5, 0.9)}. Аналогично вводится нижнее -сечение, т.е. нечеткое множество уровня = 0.6 определяется какА(0.6) = {(x 2, 0.4),(x 3, 0.2)}, а нечеткое множество уровня =0.9 определяется в виде А(0.9)={(x 1, 0.7), (x 2, 0.4), (x 3, 0.2)}. А(0.9)={(x 1, 0.7), (x 2, 0.4), (x 3, 0.2)}.

ВЕКТОРНОЗНАЧНЫЕ НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА Подобно параметризованным нечетким множеством, расширяющим область определения нечеткого множества (функции принадлежности) путем введения специального параметрического пространства, можно задать обобщенное представление области значений нечеткого множества с помощью произведения решеток. Определение 4. Векторнозначное нечеткое множество есть функция A: X L 1… L m, где L i – полная решетка, i=1, …, m. Пример 3. Пусть L i = [0, 1]. Тогда A : X [0, 1] m. Здесь функция принадлежности Ai нечеткого множества A i может рассматриваться как степень удовлетворения i-го свойства рассматриваемого объекта.

ГРАНУЛЯЦИЯ ИНФОРМАЦИИ С ПОМОЩЬЮ ОБОБЩЁННЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Понятие обобщенного ограничения является ключевым для общей теории неопределенности Л.Заде. Речь идет о переводе предложений, естественного языка на язык обобщенных ограничений (ЯОО) X isr R, где X – переменная, R – гибкое, эластичное ограничение на эту переменную, а isr – переменная связка, в которой r является переменной, а ее значение определяет способ, которым R ограничивает X.

ВИДЫ ОБОБЩЕННЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ ОбозначениеТип ограниченияФормальная запись r: =РавенствоX = R r: НеравенствоX R r:Возможностное ограничение X is R возможностное распределение Х r: vИстинностное ограничение X isv R r: pВероятностное ограничение X isp R вероятностное распределение X r: fgОграничение нечетким графиком X isfg R Х – функция, R – ее нечеткий график r: uОбычностное ограничение X isu R означает, что обычно X is R

ОСНОВНЫЕ ВАРИАНТЫ ОБОБЩЁННЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ Среди основных типов ограничений выделяются возможностные [Zadeh, 1978], истинностные, вероятностные ограничения, нечеткие графики функций. Широкое разнообразие ограничений в языке обобщенных ограничений делает его намного более выразительным языком, чем язык логики предикатов.

ПРИМЕРЫ СИНГУЛЯРНЫХ И ГРАНУЛЯРНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

ПРИКЛАДНАЯ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЛОГИКА. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ОБЪЕКТОВ Взаимное положение объектов можно представить конъюнкцией обобщенных ограничений на расстояние и ориентацию: Взаимное положение объектов можно представить конъюнкцией обобщенных ограничений на расстояние и ориентацию: Например, отношение «агент а находится далеко и справа от объекта b» можно записать как Например, отношение «агент а находится далеко и справа от объекта b» можно записать как (X ab is далеко) (X ab is справа) = (X ab is далеко) is справа или (X ab is d 4 ) (X ab is f 7 ) = (X ab is d 4 ) is f 7. или (X ab is d 4 ) (X ab is f 7 ) = (X ab is d 4 ) is f 7. Более тонкая градация ограничений получается как путем обобщения логического условия И благодаря применению треугольных норм, так и с помощью модификаторов «слегка», «немного», «сильно» и пр. Например, «впереди и немного правее», «чуть впереди и сильно левее» и т.п. Более тонкая градация ограничений получается как путем обобщения логического условия И благодаря применению треугольных норм, так и с помощью модификаторов «слегка», «немного», «сильно» и пр. Например, «впереди и немного правее», «чуть впереди и сильно левее» и т.п. 66

ОТ СИНГУЛЯРНЫХ К ГРАНУЛЯРНЫМ МЕТАОНТОЛОГИЯМ Будем проводить строгое различие между сингулярными и гранулярными метаонтологиями. Под термином «сингулярная метаонтология» можно естественным образом понимать использование единственного формального языка при задании онтологической системы. В более общем смысле сингулярная метаонтология охватывает семейство однотипных языков представления, ориентированных на обработку точной числовой информации, т.е. опирающихся на точечные объекты и взаимно-однозначные соответствия. Напротив, в основе гранулярной метаонтологии лежат не точки, а области; она включает семейство интервальных, вероятностных, нечетких или лингвистических моделей представления информации, работоспособных в условиях неопределенности, неточности, неполноты, противоречивости, нечеткости индивидуальных или коллективных концептуализаций.

ОНТОЛОГИЯ С ПРИМИТИВАМИ ВИДА ОБЛАСТЕЙ ПРОСТРАНСТВА Для онтологий, в которых примитивами являются области, можно выделить три главных типа отношений – геометрическое («конгруэнтность»), мереологическое («быть частью») и топологическое («связность»). Конгруэнтность позволяет определить отношение сходства между областями. В геометрии две фигуры называются конгруэнтными, если одну из них можно перевести в другую с помощью движения. В свою очередь, понятие связности есть математическое выражение интуитивного представления о целостности разных геометрических фигур. Топологическое отношение связности рефлексивно, симметрично и монотонно. В настоящее время построение общей онтологии пространства идет по линии интеграции подходов мереологии и топологии: Мереология + Топология = Мереотопология. При этом система мереотопологии строится на основе одного- единственного отношения связности.

ЛИТЕРАТУРА Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта/ А.Н.Аверкин, И.З.Батыршин, А.Ф.Блишун, В.Б.Силов, В.Б.Тарасов. – М.: Наука, Тарасов В.Б. Моделирование предпочтений в задачах принятия решений параметризованными нечеткими отношениями// Нечеткие системы: моделирование структуры и оптимизация. Межвузовский тематический сборник научных трудов. – Калинин: КГУ, – С Тарасов В.Б. От многоагентных систем к интеллектуальным организациям. – М.: Эдиториал УРСС, Тарасов В.Б. От параметризованных нечетких множеств к нечетким мультимножествам уровня// Нечеткие системы и мягкие вычисления. Сборник научных трудов Второй Всероссийской научной конференции (НСМВ-2008, Ульяновск, октября 2008 г). – Ульяновск: УлГТУ, – С Тарасов В.Б. Грануляция информации, нестандартные и гибридные нечеткие множества// Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте. Сборник трудов VI-й Международной научно-практической конференции (Коломна, мая 2011 г.). – М.: Физматлит, – Т.1. – С Калуцкая А.П., Тарасов В.Б. Теория лингвистических переменных, нечеткая логика, гранулированные и мягкие вычисления: шаги на пути к психологической математике// Математическая психология: Школа В.Ю.Крылова. Коллективная монография. – М.: Изд-во ИПРАН, С

ЛИТЕРАТУРА (продолжение) Калуцкая А.П., Тарасов В.Б. Моделирование взаимодействия искусственного агента с внешней средой на основе пространственных логик и обобщенных ограничений// Интеллектуальные системы. Коллективная монография/ Под ред. В.М. Курейчика. М.: Физматлит, C Калуцкая А.П., Тарасов В.Б. Гранулярная онтология пространства для когнитивных мобильных роботов// Труды XII-й национальной конференции по искусственному интеллекту (КИИ-2010, Тверь, сентября 2010 г.). – М.: Физматлит, – Т.3. – С Калуцкая А.П., Тарасов В.Б. Информационные гранулы и методы их построения: применение при разработке интеллектуальных агентов// Интеллектуальный анализ информации ИАИ Сборник трудов X-й международной научной информации им. Т.А.Таран (Киев, мая 2010 г.). – Киев: Просвiта, – С Калуцкая А.П., Тарасов В.Б. Гранулярные метаонтологии и онтологии пространства// Реинжиниринг бизнес-процессов на основе современных информационных технологий. Системы управления знаниями. Сборник научных трудов XIV-й научно- практической конференции (РБП-СУЗ-2011, Москва, МЭСИ, апреля 2011 г.). – М.: МЭСИ, – С Тарасов В.Б., Калуцкая А.П. Построение онтологии пространства для автономных мобильных роботов// Сборник докладов XIII-й международной конференции по мягким вычислениям и измерениям (SCM2010, Санкт-Петербург, СПбГЭТУ «ЛЭТИ», июня 2010 г.). – СПб: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», – Т.1. – С