§ 2.4. Математические модели

Математическая модель это математическое представление реальности.

Моделирование Моделирование это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель): 1. находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом; 2. способная замещать его в определенных отношениях; 3. дающая при её исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте.

Формальная классификация моделей Линейные или нелинейные модели Сосредоточенные или распределённые системы Детерминированные или стохастические Статические или динамические Дискретные или непрерывные

Функциональные модели не используют таких представлений и отражают только внешне воспринимаемое поведение (функционирование) объекта. В их предельном выражении они называются также моделями «чёрного ящика». Структурные моделиФункциональные модели Структурные модели представляют объект как систему со своим устройством и механизмом функционирования.

Сначала строится особая идеальная конструкция, содержательная модель. При этом финальная математическая конструкция называется формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели (предмодели). Построение содержательной модели может производиться с помощью набора готовых идеализаций, как в механике, где идеальные пружины, твёрдые тела, идеальные маятники, упругие среды и т. п. дают готовые структурные элементы для содержательного моделирования. Однако в областях знания, где не существует полностью завершенных формализованных теорий (передний край физики, биологии, экономики, социологии, психологии, и большинства других областей), создание содержательных моделей резко усложняется. Рис.1 Формальная модель

Эта классификация сфокусирована, в первую очередь, на этапе построения содержательной модели. Тип 1: Гипотеза (такое могло бы быть) Эти модели «представляют собой пробное описание явления. По Р.Пайерлсу это, например,модель Солнечной системы по Птолемею и модель Коперника(усовершенст вованная Кеплером), модель атома Резерфорда и модель Большого Взрыва. Тип 2: Феноменологическая модель (ведем себя так, как если бы…) Тип 3: Приближение (что-то считаем очень большим или очень малым) Феноменологическая модель содержит механизм для описания явления. Они имеют статус временных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц. Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае использование приближений. Среди них модели линейного отклика. Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример закон Ома.

Тип 4: Упрощение (опустим для ясности некоторые детали) Тип 5: Эвристическая модель (более глубокое проникновению в суть дела) Тип 6: Аналогия (учтём только некоторые особенности) Тип 7: Мысленный эксперимент (главное состоит в опровержении возможности) Тип 8: Демонстрация возможности (главное показать внутреннюю непротиворечивость возможности) Примеры: применение модели идеального газа к неидеальному, уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, большинство моделей физики твердого тела, жидкостей и ядерной физики. Типичный пример приближение средней длины свободного пробега в кинетической теории. Оно даёт простые формулы для коэффициентов вязкости, диффуз ии, теплопроводности, согласующиеся с реальностью по порядку величины. Должны существовать Обменные силы взаимодействия между нейтроном и протоном, которые аналогичны обменным силам в системе, обусловленным переходом электрона между двумя протонами. Это был эксперимент Эйнштейна, Он заключался: скорость света не зависит от системы отсчета. Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво.

Важнейшие математические модели обычно обладают важным свойством универсальности: принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью. Гармонический осциллятор (пример так называемой «жёсткой» модели) описывает не только поведение груза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие совершенно иную природу: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в - образном сосуде или изменение силы тока в колебательном контуре. Таким образом, изучая одну математическую модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений. Именно этот изоморфизм законов, выражаемых математическими моделями в различных сегментах научного знания, подвиг Людвига фон Берталанфи на создание «Общей теории систем».

Традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные. Прямая задача: Прямая задача: структура модели и все её параметры считаются известными, главная задача провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Обратная задача: Обратная задача: известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего, структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!