Павел Гусев ВыходО работе

Сравнение характеристик фрактальных структур Содержание

I. «Введение» II. «Фракталы» III. «Фрактальный треугольник» IV. «Салфетка Серпинского» V. «Пирамида Серпинского» VI. «Правильный фрактальный треугольник» VII. «Заключение» VIII. «Список использованной литературы»

Вступление Важным свойством фракталов является их самоподобие. Это буквально означает, что структура фрактала в одном масштабе подобна его структуре в другом, большем масштабе. Иными словами, если увеличить в какое-то число раз любой элемент фрактальной структуры, то можно получить элемент структуры того же фрактала. Это свойство очевидно для точных фракталов, по одному классу которых и проведено исследование. «Все формы похожи И ни одна не одинакова с другой; И так весь хор их Указывает на тайный закон» И. В. Гете Содержание

Обычно, изучение свойств фрактальных объектов осуществляется методами высшей математики(теория чисел, теория катастроф и др.). Авторами настоящего исследования удалось изучить свойства фрактальных объектов методами элементарной математики. В данной работе авторы проводят исследование с целью сравнения характеристик фрактальных структур и нахождения формул для вычисления этих характеристик (объема и площади поверхности правильной фрактальной пирамиды n-ого порядка, объема, площади поверхности и суммы ребер пирамиды Серпинского; площади и периметра правильного фрактального треугольника и салфетки Серпинского), а также приводят результаты соответствующих численных экспериментов с использованием найденных формул. Содержание

Шаги достижения цели 1.Нахождение формул для вычисления значений некоторых свойств фрактальных объектов 2.Проведение численных экспериментов. 3.Физическое моделирование фрактальных структур. Содержание

Определение фрактала:Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Б. Мандельброт Содержание

«Снежинка Коха» 4 порядок Содержание

«Фрактальное моделирование природного объекта» Содержание

«Салфетка Серпинского» Содержание

«Пирамида Серпинского» Содержание

Определение фрактального треугольника: «Фрактальным треугольником называется равносторонний треугольник, на сторонах которого рекурсивным повторением образуются равносторонние треугольники, длины сторон которых относятся к длине стороны предыдущего треугольника как 1/3.» Содержание

«Вычисление площади и периметра правильного фрактального треугольника» Площадь и периметр правильного фрактального треугольника нулевого порядка

Площадь и периметр треугольника первого порядка Содержание

Площадь и периметр треугольника второго порядка Содержание

Площадь и периметр треугольника третьего порядка Содержание

Площадь и периметр треугольника четвертого порядка Содержание

Площадь и периметр фрактального треугольника n- ой степени: Содержание

Авторы построили контуры фрактальных треугольников от 1-го до 4-го порядка, вывели аналитическую зависимость площади и периметра фрактального треугольника от его порядка, произвели расчеты по вышеприведенным формулам на языке программирования Паскаль и в среде электронных таблиц. Получили графическую зависимость площади и периметра фрактального треугольника от его порядка. Вывод: площадь фрактального треугольника есть сумма убывающей геометрической прогрессии (со знаменателем q=4/9), и она конечна, что видно на графике. Периметр фрактального треугольника – сумма возрастающей геометрической прогрессии (со знаменателем q=4/3), и с возрастанием номера порядка она также возрастает. Содержание

Результаты вычислений, полученные с помощью программы написанной на языке Pascal и расчета, выполненного с применением электронной таблицы Содержание Результаты вычислений, полученные с помощью программы, написанной на языке Pascal Площадь Периметр Результаты вычислений в электронных таблицах Площадь Периметр

« График, иллюстрирующий зависимость площади фрактального треугольника от его порядка» Содержание

« График, иллюстрирующий зависимость периметра фрактального треугольника от его порядка» Содержание

порядокS(площадь) фрактального треугольника S окружности порядокP(периметр) фрактального треугольника Длина окружности

Площадь и периметр «Салфетки Серпинсокого» Содержание

Площадь и периметр «Салфетки Серпинсокого» нулевого порядка Содержание

Площадь и периметр «Салфетки Серпинсокого» первого порядка Содержание

Площадь и периметр «Салфетки Серпинсокого» второго порядка Содержание

Площадь и периметр «Салфетки Серпинсокого» третьего порядка Содержание

Площадь и периметр «Салфетки Серпинсокого» четвертого порядка Содержание

Площадь и периметр «Салфетки Серпинсокого» n-ого порядка Содержание

Результаты вычислений, полученные с помощью программы написанной на языке Pascal и расчета, выполненного с применением электронной таблицы Содержание Результаты вычислений, полученные с помощью программы, написанной на языке Pascal Площадь Периметр Расчеты, выполненные с применением электронных таблиц Площадь Периметр

«График, иллюстрирующий зависимость площади «Салфетки Серпинского» от ее порядка » Содержание

«График, иллюстрирующий зависимость периметра «Салфетки Серпинского» от ее порядка» Содержание

Авторы построили контуры «Салфетки Серпинского» от 1-го до 4-го порядка, вывели аналитическую зависимость площади и периметра «Салфетки Серпинского» от ее порядка, произвели расчеты по вышеприведенным формулам на языке программирования Паскаль и в среде электронных таблиц. Авторы получили зависимость площади и периметра «Салфетки Серпинского» от его порядка. Вывод: площадь «Салфетки Серпинского» – есть убывающая геометрическая прогрессия (со знаменателем q=3/4), и она стремится к нулю при неограниченном увеличении порядка, что видно на графике. Периметр «Салфетки Серпинского» – возрастающая геометрическая прогрессия (со знаменателем q=3/2), и с возрастанием номера порядка она также возрастает. Содержание

Площадь поверхности, объем и длина ребер «Пирамида Серпинского» Содержание

Площадь поверхности, объем и длина ребер «Пирамиды Серпинского» нулевого порядка Содержание

Объем и длина ребер «Пирамиды Серпинского» первого порядка Содержание

Объем и длина ребер «Пирамиды Серпинского» второго порядка Содержание

Объем и длина ребер «Пирамиды Серпинского» третьего порядка Содержание

Объем и длина ребер «Пирамиды Серпинского» четвертого порядка Содержание

Объем и длина ребер «Пирамиды Серпинского» n-ого порядка Содержание

Результаты вычислений, полученные с помощью программы написанной на языке Pascal и расчета, выполненного с применением электронной таблицы Содержание Результаты вычислений, полученные с помощью программы, написанной на языке Pascal Сумма ребер Объем Расчеты, выполненные с применением электронных таблиц Сумма ребер Объем

График, иллюстрирующий зависимость объема «пирамиды Серпинского» от её порядка Содержание

График, иллюстрирующий зависимость длины ребер «пирамиды Серпинского» от её порядка Содержание

Авторы построили контуры «Пирамиды Серпинского» от 1- го до 4-го порядка, вывели аналитическую зависимость объема и суммы длин ребер «Пирамиды Серпинского» от ее порядка, произвели расчеты по вышеприведенным формулам на языке программирования Паскаль и в среде электронных таблиц. Авторы получили зависимость объема и суммы длин ребер « Пирамиды Серпинского» от его порядка. Вывод: объем «Пирамиды Серпинского» есть сумма убывающей геометрической прогрессии (со знаменателем q=1/2), и она конечна, что видно на графике. Периметр «Пирамиды Серпинского» – сумма возрастающей геометрической прогрессии (со знаменателем q=2), и с возрастанием номера порядка она также возрастает. Содержание

Определение правильной фрактальной пирамиды Правильной фрактальной пирамидой мы будем считать правильную пирамиду (тетраэдр), на внешних поверхностях которой создаются также правильные пирамиды (тетраэдры), длины ребра которой относятся к длине ребра предыдущей пирамиды как 1/2.. Содержание

Правильная фрактальная пирамида нулевого порядка (тетраэдр) Тетраэдр многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой вершин которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. У правильного тетраэдра все грани являются равносторонними треугольниками, все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны. равносторонними треугольниками Содержание

Правильная фрактальная пирамида первого порядка (звездчатый октаэдр) Звездчатый октаэдр или «продолженный октаэдр» был открыт Леонардо да Винчи и переоткрыт через 100 лет И.Кеплером и назван им «Stella octangula» - звезда восьмиугольная. Этот многогранник встречается в природе в виде двойного сросшегося кристалла, можно представить себе как объединение двух пересекающихся правильных тетраэдра. Содержание

Правильная фрактальная пирамида второго порядка Содержание

Правильная фрактальная пирамида третьего порядка Содержание

Правильная фрактальная пирамида четвертого порядка Содержание

Площадь поверхности и объем правильной фрактальной пирамиды нулевого порядка(тетраэдр) Содержание

Площадь поверхности и объем правильной фрактальной пирамиды первого порядка(октаэдр) Содержание

Площадь поверхности и объем правильной фрактальной пирамиды второго порядка Содержание

Площадь поверхности и объем правильной фрактальной пирамиды третьего порядка Содержание

Площадь поверхности и объем правильной фрактальной пирамиды четвертого порядка Содержание

Площадь поверхности и объем правильной фрактальной пирамиды n-ого порядка Содержание

Результаты вычислений, полученные с помощью программы написанной на языке Pascal и расчета, выполненного с применением электронной таблицы Содержание Результаты вычислений, полученные с помощью программы, написанной на языке Pascal Объем Площадь поверхности Расчеты, выполненные с применением электронных таблиц Объем Площадь поверхности

График, иллюстрирующий зависимость объема правильной фрактальной пирамиды от её порядка Содержание

График, иллюстрирующий зависимость площади поверхности правильной фрактальной пирамиды от её порядка: Содержание

порядка S (площадь поверхности) фрактальной пирамиды S(площадь поверхности) сферы Содержание

порядка V(объем) фрактальной пирамиды V сферы Содержание

Сравнение объемов куба и фрактальной пирамиды, вписанной в него.

порядка V(объем) фрактальной пирамиды V куба Содержание

порядка S (площадь поверхности) фрактальной пирамиды S(площадь поверхности) куба Содержание

Вывод: Объем правильной фрактальной пирамиды есть сумма элементов убывающей геометрической прогрессии и эта сумма конечна, что видно на графике. Площадь поверхности правильной фрактальной пирамиды есть возрастающая геометрическая прогрессия, и с возрастанием номера порядка пирамиды она тоже возрастает, что также продемонстрировано на графике. Содержание

Заключение Авторами проанализированы некоторые свойства двумерных и трехмерных фрактальных объектов, для чего ими были выведены аналитические зависимости некоторых свойств фрактальных объектов значений до некоторого порядка. Расчеты и графики, выполненные авторами на основе выведенных аналитических зависимостей, показывают сходимость и расходимость значений некоторых свойств фрактальных объектов. Результаты, полученные авторами, представляют несомненный теоретический и практический интерес. Содержание

1. Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко., Колебания, волны, структуры, МОСКВА: Физмалит, Пайтген Х.О.,Рихтер П.Х.,Красота фракталов, МОСКВА, МИР, Федер Е., Фракталы, Москва, МИР, А. Дмитриев. Хаос. Фракталы и информация. Наука и жизнь. 5, 2001, стр Жиков. В.В. Фракталы, «Соросовский Образовательный журнал». 12, 1996, стр Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы, Минск, Вышэйшая школа, Колмогоров А.Н., Новиков С.П. Теория систем. Математические методы и моделирование, М., Мир, Шредер М, «Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечности рая. Ижевск: НИЦ «Регулярная хаотическая динамика », 2005, 528 стр 9. И. Н. Смирнова, «В мире многогранников» 1992, Просвещение Список использованной литературы: Содержание