Логические операции

Логическое отрицание (инверсия) Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы "не" к сказуемому или использования оборота речи "неверно, что …". Операция унарная. Обозначается - Ā (или знаком ). Читается "не А". Например: Таблица истинности: Вывод: инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно. А A А = «мы пойдем в кино» Ā = «мы не пойдем в кино» ¬A

Васильев Дмитрий Логическое отрицание (инверсия) Мнемоническое правило: слово инверсия (от лат. inversio - переворачивание) означает, что белое меняется на черное, добро на зло, красивое на безобразное, истина на ложь, ложь на истину, ноль на один, один на ноль. Операцию инверсии можно графически проиллюстрировать с помощью теории множеств и диаграмм Эйлера-Венна. В теории множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения к множеству. Примечание 1. Логики предпочитают иметь дело с выраженияминеверно, что, поскольку тем самым подчеркивается отрицание всего высказывания. Примечание 2. Дважды или четырежды отрицавшееся высказывание имеет то же самое значение истинности, что и соответствующие не отрицавшееся высказывание, трижды отрицавшееся – что и отрицавшееся один раз. А A Ā А

Логическое сложение (дизъюнкция) Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза "или". Операция бинарная. Обозначается A v B (плюсом) Читается "А или В" Например: Таблица истинности: Вывод: дизъюнкция двух высказываний истинна тогда, когда хотя бы одно высказывание истинно. АBA V B А = «мы пойдем в кино» В = «мы пойдем в театр» A v B = «мы пойдем в кино или театр»

Логическое сложение (дизъюнкция) Мнемоническое правило: дизъюнкция - это логическое сложение, и мы не сомневаемся, что Вы заметили: = 0, 0 + 1= 1, = 1, но в логике: 1 V 1 = 1. Операцию дизъюнкции можно графически проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера-Венна. В теории множеств соответствует операции ОБЪЕДИНЕНИЯ множеств.. В диаграмме заштрихуем те множества, которые одновременно соответствует значениям исходных множеств и А, и В. АBA V B

Логическое умножение (конъюнкция) Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза "и". Операция бинарная. Обозначается A & B (А В) (.) Читается "А и В" Например: Таблица истинности: Вывод: конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно. АB A B А = «идет дождь» В = «асфальт мокрый» A /\ B = «идет дождь и асфальт мокрый»

Логическое умножение (конъюнкция) Мнемоническое правило: конъюнкция - это логическое умножение, и мы не сомневаемся, что 0 х 0 = 0, 0 х 1= 0, 1 х 0 = 0, 1 х 1 = 1. Операцию конъюнкции можно графически проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера-Венна. В теории множеств соответствует операции ПЕРЕСЕЧЕНИЯ множеств. АB A B

Логическое следование (импликация) Следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью слов «если…то". Операция бинарная. Обозначается A B (А=>В) Читается если А то В" Например: Таблица истинности: Вывод: Импликация ложна тогда и только тогда, когда А истинно и В ложно, т.е из истины следует ложь. АB A B А = «каждое слагаемое делится на 3» В = «сумма делится на 3» A B = «если каждое слагаемое делится на 3, то и сумма делится на 3»

Логическое следование (импликация) АB A B В теории множеств соответствующей операции нет. Тем не менее попробуем отобразить ее с помощью диаграммы Эйлера-Венна. Выберем из таблицы истинности те строки, значение которых 1. Таких строк три. В диаграмме заштрихуем следующие области: (А=0) (В=0)(А=0) (В=1) (А=1) (В=1)

Равносильность (эквиваленция) Равносильность (эквиваленция) двух высказываний в одно образуется с помощью слова «тогда и только тогда". Операция бинарная. Обозначается A B Читается "А тогда и только тогда В" Например: Таблица истинности: Вывод: Высказывания эквивалентны, когда их значения истинности одинаковы АB A B А = «число делится на 2 без остатка» В = «число четное» A B = «число делится на 2 без остатка тогда и только тогда, когда число четное»

Равносильность (эквиваленция) АB A B В теории множеств соответствующей операции нет. Тем не менее попробуем отобразить ее с помощью диаграммы Эйлера-Венна. Выберем из таблицы истинности те строки, значение которых 1. Таких строк две. В диаграмме заштрихуем следующие области:

Васильев Дмитрий Запомни! СВОЙСТВА ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Инверсия истинна ТОГДАТОГДА высказывание ложно Дизъюнкция ложна Конъюнкция истинна И Т О Л Ь К О Т О Г Д А, ложные оба высказывания истинные Дизъюнкция истинна Конъюнкция ложна Истинно хотя бы одно высказывание -- ложно Импликация ложна из истинного следует ложное высказывание Эквивалентность истинна КОГДАКОГДА оба высказывания ложны или оба высказывания истинны