Лекция 5. Принятие решений в условиях конфликта и неопределённости Содержание лекции: 1. Матричные игры с нулевой суммой и их экономическая интерпретация Матричные игры с нулевой суммой и их экономическая интерпретация Матричные игры с нулевой суммой и их экономическая интерпретация 2. Применение моделей теории игр в условиях конкуренции Применение моделей теории игр в условиях конкуренции Применение моделей теории игр в условиях конкуренции 3. Управление рисками – область приложения теории игр Управление рисками – область приложения теории игр Управление рисками – область приложения теории игр Принятие решений в условиях конфликта и неопределённости (с) Н.М. Светлов, 2007

Литература Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В. Федосеева. 2-е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, Раздел 8.4. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. 2 е изд. М.: Финансы и статистика, Разделы 3.1…3.4. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математические методы и модели для магистрантов экономики: Учеб. пособие. СПб.: Питер, Глава 4. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. СПб.: Питер, Управление фирмой / Под ред. Л.Л. Разумновой. М.: МАКС Пресс, Часть 2, с / 15 Принятие решений в условиях конфликта и неопределённости (с) Н.М. Светлов, 2007

5.1. Экономическая интерпретация матричных игр Бизнес зачастую связан с экстерналиями Экстерналии порождают конфликты между участниками бизнеса В крайних случаях экстерналии порождают антагонистические противоречия между участниками бизнеса Теория игр изучает правила принятия решений в условиях антагонизмов 3/ 15 Принятие решений в условиях конфликта и неопределённости (с) Н.М. Светлов, 2007

Постановка задачи Дано: Дано: два лица, принимающих решения из конечных дискретных множеств решений X = {x 1, x 2, …, x m } и Y = {y 1, y 2, …, y n }; два лица, принимающих решения из конечных дискретных множеств решений X = {x 1, x 2, …, x m } и Y = {y 1, y 2, …, y n }; экономический эффект для первого ЛПР, возникающий при каждом сочетании (x i, y j ); экономический эффект для первого ЛПР, возникающий при каждом сочетании (x i, y j ); экономический эффект для второго ЛПР равен эффекту для первого ЛПР, взятому с противоположным знаком экономический эффект для второго ЛПР равен эффекту для первого ЛПР, взятому с противоположным знаком каждое ЛПР стремится максимизировать экономический эффект каждое ЛПР стремится максимизировать экономический эффект Найти Найти правило принятия решений, приводящее к равновесию правило принятия решений, приводящее к равновесию Равновесие – состояние, характеризующееся тем, что любое отклонение от него по инициативе одной стороны даёт возможность другой стороне принять решение, увеличивающее её выгоду Равновесие – состояние, характеризующееся тем, что любое отклонение от него по инициативе одной стороны даёт возможность другой стороне принять решение, увеличивающее её выгоду Как следствие, если равновесие существует и достигнуто, то ни одной стороне не выгодно его нарушение Как следствие, если равновесие существует и достигнуто, то ни одной стороне не выгодно его нарушение 5.1 4/ 15 Принятие решений в условиях конфликта и неопределённости (с) Н.М. Светлов, 2007

Терминология матричных игр Математическое представление вышеописанной задачи называется матричной игрой с нулевой суммой, или антагонистической матричной игрой Математическое представление вышеописанной задачи называется матричной игрой с нулевой суммой, или антагонистической матричной игрой Правило принятия решений называется стратегией Правило принятия решений называется стратегией Чистой стратегией называется правило, состоящее в следовании одному из возможных решений Чистой стратегией называется правило, состоящее в следовании одному из возможных решений Смешанной стратегией называется правило, состоящее в случайном выборе возможных решений с заданными вероятностями Смешанной стратегией называется правило, состоящее в случайном выборе возможных решений с заданными вероятностями Экономический эффект называется выигрышем Экономический эффект называется выигрышем Максимальный гарантированный выигрыш называется ценой игры Максимальный гарантированный выигрыш называется ценой игры 5.1 5/ 15 Принятие решений в условиях конфликта и неопределённости (с) Н.М. Светлов, 2007

Отыскание равновесной стратегии Пусть выигрыши a ij для ЛПР 1 при сочетании (x i, y j ) заданы в таблице Пусть выигрыши a ij для ЛПР 1 при сочетании (x i, y j ) заданы в таблице Пусть ЛПР 1 следует смешанной стратегии (p x1, p x2, p x3 ) 0, причём p x1 +p x2 +p x3 =1 Пусть ЛПР 1 следует смешанной стратегии (p x1, p x2, p x3 ) 0, причём p x1 +p x2 +p x3 =1 Определим максимальный выигрыш, гарантированный при любом решении, принятом соперником Определим максимальный выигрыш, гарантированный при любом решении, принятом соперником x1x1 x2x2 x3x3 y1y y2y y3y y4y a 11 p x1 +a 12 p x2 +a 13 p x3 w a 11 p x1 +a 12 p x2 +a 13 p x3 w a 21 p x1 +a 22 p x2 +a 23 p x3 w a 21 p x1 +a 22 p x2 +a 23 p x3 w a 31 p x1 +a 32 p x2 +a 33 p x3 w a 31 p x1 +a 32 p x2 +a 33 p x3 w a 41 p x1 +a 42 p x2 +a 43 p x3 w a 41 p x1 +a 42 p x2 +a 43 p x3 w max w max w w может быть отрицательной 6/ 15 Принятие решений в условиях конфликта и неопределённости (с) Н.М. Светлов, 2007

Экономическая интерпретация задачи определения оптимальной смешанной стратегии w = –0,11 при p x = (0,46; 0,29; 0,25) Выбирая решения случайным образом с указанными вероятностями, ЛПР 1 не потерпит убытка, превышающего 0,11 у.е. Выбирая решения случайным образом с указанными вероятностями, ЛПР 1 не потерпит убытка, превышающего 0,11 у.е. Убыток будет в точности равен этой величине, если ЛПР 2 придерживается p y = (0; 0,33; 0,44; 0,22) Убыток будет в точности равен этой величине, если ЛПР 2 придерживается p y = (0; 0,33; 0,44; 0,22) Можно проверить, что задачи для ЛПР 1 и 2 взаимно двойственны Можно проверить, что задачи для ЛПР 1 и 2 взаимно двойственны Поэтому они приводят к одинаковому значению целевой функции: в равновесии одна сторона теряет ровно столько, сколько приобретает другая Поэтому они приводят к одинаковому значению целевой функции: в равновесии одна сторона теряет ровно столько, сколько приобретает другая Если ЛПР 2 ничего не знает о равновесии и о том, как его найти, у ЛПР 1 может найтись более выгодная стратегия, чем равновесная Если ЛПР 2 ничего не знает о равновесии и о том, как его найти, у ЛПР 1 может найтись более выгодная стратегия, чем равновесная Но для этого надо установить, какой стратегии следует ЛПР 2 и как оно реагирует на изменение стратегии ЛПР 1 Но для этого надо установить, какой стратегии следует ЛПР 2 и как оно реагирует на изменение стратегии ЛПР 1 Например, если ЛПР 2 следует одной и той же смешанной стратегии независимо от поведения ЛПР 1, то ЛПР 1 должно выбрать чистую стратегию, при которой математическое ожидание его выигрыша при данной стратегии ЛПР 2 максимально Например, если ЛПР 2 следует одной и той же смешанной стратегии независимо от поведения ЛПР 1, то ЛПР 1 должно выбрать чистую стратегию, при которой математическое ожидание его выигрыша при данной стратегии ЛПР 2 максимально 5.1 7/ 15 Принятие решений в условиях конфликта и неопределённости (с) Н.М. Светлов, 2007

5.2. Применение моделей теории игр в условиях конкуренции Дано: Дано: Периодически проводится тендер на финансирование двух инвестиционных проектов Периодически проводится тендер на финансирование двух инвестиционных проектов Общая сумма финансирования неизвестна, но безусловно привлекательна для конкурсантов Общая сумма финансирования неизвестна, но безусловно привлекательна для конкурсантов Помимо «нашей» фирмы (A), в конкурсе намерены участвовать ещё две (B и C), состоящие, по имеющимся сведениям, в сговоре Помимо «нашей» фирмы (A), в конкурсе намерены участвовать ещё две (B и C), состоящие, по имеющимся сведениям, в сговоре Каждый конкурсант может подать заявку на выполнение любого из двух проектов или обоих проектов сразу Каждый конкурсант может подать заявку на выполнение любого из двух проектов или обоих проектов сразу Предполагается, что ни одна из трёх фирм не откажется от участия в конкурсе Предполагается, что ни одна из трёх фирм не откажется от участия в конкурсе Имеется инсайдерская информация Имеется инсайдерская информация Если есть заявки на оба проекта, финансирование будет распределено между ними поровну; в противном случае весь финансовый ресурс выделяется на один проект Если есть заявки на оба проекта, финансирование будет распределено между ними поровну; в противном случае весь финансовый ресурс выделяется на один проект Если фирма B изъявляет желание участвовать в первом проекте, заявки от других фирм на этот проект отклоняются Если фирма B изъявляет желание участвовать в первом проекте, заявки от других фирм на этот проект отклоняются Если фирма C изъявляет желание участвовать во втором проекте, ей выделяется не менее половины финансирования второго проекта Если фирма C изъявляет желание участвовать во втором проекте, ей выделяется не менее половины финансирования второго проекта В остальных случаях, если имеются заявки на один и тот же проект от разных конкурсантов, финансирование, оставшееся после применения предыдущих правил, будет распределено между ними поровну В остальных случаях, если имеются заявки на один и тот же проект от разных конкурсантов, финансирование, оставшееся после применения предыдущих правил, будет распределено между ними поровну Найти: Найти: Оптимальную стратегию участия в конкурсе для фирмы A Оптимальную стратегию участия в конкурсе для фирмы A 8/ 15

Составление платёжной матрицы Объём финансирования принимаем равным единице Объём финансирования принимаем равным единице Игра антагонистическая: Игра антагонистическая: выигрыш фирмы A равен потерям коалиции фирм B и C, которая в отсутствие фирмы A получила бы весь объём финансирования выигрыш фирмы A равен потерям коалиции фирм B и C, которая в отсутствие фирмы A получила бы весь объём финансирования Решения фирмы A: Решения фирмы A: подать заявку на первый проект подать заявку на первый проект подать заявку на второй проект подать заявку на второй проект подать заявку на оба проекта подать заявку на оба проекта 5.2 9/ 15 Принятие решений в условиях конфликта и неопределённости (с) Н.М. Светлов, 2007

Решения коалиции: Фирма C Проект 1Проект 2Оба проекта Фирма B Проект 11;11;21;(1;2) Проект 22;12;22;(1;2) Оба проекта(1;2);1(1;2);2(1;2);(1;2) / 15 Принятие решений в условиях конфликта и неопределённости (с) Н.М. Светлов, 2007

Платёжная матрица 5.2 Стратегии конкурентов Стратегии фирмы A Проект 1Проект 2Оба проекта 1;1 00,5 1;2 00,25 1;(1;2) 00,25 2;1 0,25 0,5 2;2 0,50,250,625 2;(1;2) 0,250,1250,375 (1;2);1 00,25 (1;2);2 00,25 (1;2);(1;2) 00,25 11/ 15 Принятие решений в условиях конфликта и неопределённости (с) Н.М. Светлов, 2007

Решение 5.2 Оптимальная смешанная стратегия фирмы A: (0; 0,5; 0,5) Оптимальная смешанная стратегия фирмы A: (0; 0,5; 0,5) Никогда не подавать заявку только на первый проект Никогда не подавать заявку только на первый проект Заявки на второй проект и на оба подавать с равной вероятностью Заявки на второй проект и на оба подавать с равной вероятностью Данная стратегия позволит гарантированно выиграть ¼ часть всего финансирования Данная стратегия позволит гарантированно выиграть ¼ часть всего финансирования У конкурирующей коалиции имеется пять оптимальных чистых стратегий У конкурирующей коалиции имеется пять оптимальных чистых стратегий 1;2 1;(1;2) (1;2);1 (1;2);2 (1;2);(1;2) 1;2 1;(1;2) (1;2);1 (1;2);2 (1;2);(1;2) и бесконечно много смешанных составленных из вышеприведённых чистых, скомбинированных с произвольными вероятностями составленных из вышеприведённых чистых, скомбинированных с произвольными вероятностями Эти стратегии гарантируют коалиции возможность получения ¾ всего финансирования Эти стратегии гарантируют коалиции возможность получения ¾ всего финансирования Домашнее задание: выяснить, есть ли у фирмы A оптимальная чистая стратегия 12/ 15 Принятие решений в условиях конфликта и неопределённости (с) Н.М. Светлов, 2007

5.3. Управление рисками – область приложения теории игр Пусть экономический эффект известен и определяется: Пусть экономический эффект известен и определяется: выбором одного из решений {x 1, x 2, …, x m } выбором одного из решений {x 1, x 2, …, x m } действием одного из случайных факторов {s 1, s 2, …, s n } действием одного из случайных факторов {s 1, s 2, …, s n } Если вероятности p s известны, то Если вероятности p s известны, то разумно выбрать такой x i, при котором математическое ожидание э.э. максимально разумно выбрать такой x i, при котором математическое ожидание э.э. максимально В противном случае В противном случае разумно предположить, что p s могут случайно оказаться соответствующими оптимальной смешанной стратегии разумно действующего соперника разумно предположить, что p s могут случайно оказаться соответствующими оптимальной смешанной стратегии разумно действующего соперника наилучшей стратегией для нас также окажется оптимальная смешанная стратегия наилучшей стратегией для нас также окажется оптимальная смешанная стратегия если p s действительно самая неблагоприятная для нас, мы получим как минимум w; при других обстоятельствах – ещё больше если p s действительно самая неблагоприятная для нас, мы получим как минимум w; при других обстоятельствах – ещё больше с течением времени, возможно, мы узнаем настоящие p s и сможем перейти к предыдущему правилу (максимум мат.ожидания э.э.) с течением времени, возможно, мы узнаем настоящие p s и сможем перейти к предыдущему правилу (максимум мат.ожидания э.э.) 13/ 15 Принятие решений в условиях конфликта и неопределённости (с) Н.М. Светлов, 2007

Пример: стратегии управления проектными рисками Решение 1: запас времени выполнения работ 10%, надбавка на непредвиденные расходы 5%, страхование проекта на сумму до $ Решение 1: запас времени выполнения работ 10%, надбавка на непредвиденные расходы 5%, страхование проекта на сумму до $ Решение 2: запас времени выполнения работ 5%, надбавка на непредвиденные расходы 10%, избыточность штатов 5%, страхование проекта на сумму до $ Решение 2: запас времени выполнения работ 5%, надбавка на непредвиденные расходы 10%, избыточность штатов 5%, страхование проекта на сумму до $ Решение 3: обмен 50% акций ОАО «Коммерческая тайна» на краткосрочные облигации банка «Н.А.Ветер & C°», запас времени выполнения работ 10%, избыточность штатов 3%, страхование ответственности на сумму до $ Решение 3: обмен 50% акций ОАО «Коммерческая тайна» на краткосрочные облигации банка «Н.А.Ветер & C°», запас времени выполнения работ 10%, избыточность штатов 3%, страхование ответственности на сумму до $ / 15 Принятие решений в условиях конфликта и неопределённости (с) Н.М. Светлов, 2007

Платёжная матрица для обоснования стратегии управления проектными рисками 5.3 Выигрыш Рисковая ситуация 1 Рисковая ситуация 2 Рисковая ситуация 3 Отсутствие риска Стратегия Стратегия Стратегия Если вероятности рисковых ситуаций неизвестны и проект выполняется многократно: min x 0 –10p 1 –0p 2 –4p 3 x 0 –0p 1 –5p 2 –10p 3 x 0 –5p 1 –8p 2 –5p 3 x 0 Если проект выполняется один раз и вероятности рисковых ситуаций неизвестны: выбираем стратегию, при которой потери по наибольшему риску наименьшие (3). Если вероятности рисковых ситуаций известны: выбираем стратегию, при которой математическое ожидание потерь наименьшее (при равновероятных рисковых ситуациях - 1). 15/ 15 Принятие решений в условиях конфликта и неопределённости (с) Н.М. Светлов, 2007