1 Ошибки вычислений или плохо обусловленные вычислительные задачи Один из путей использования микрокомпьютера – непосредственное его подключение к измерительным приборам, фиксирующим различные аспекты внешнего мира. Потому в компьютерную эпоху тем более необходимо вдумчивое, сознательное отношение к процессу вычислений.

2 При решении вычислительной задачи есть ошибки, которые трудно обнаружить. Эти ошибки могут быть обусловлены: ограничениями, накладываемыми компьютером или языком программирования, ошибки, связанные с потерей точности при работе с приближенными числами. Ошибки вычислений

3 Природа ошибок вычислений Ячейка памяти для хранения числовых переменных может вместить только определенное количество цифровых разрядов. Все остальные цифры теряются. Ошибки вычислений могут быть вызваны проведением вычислительного эксперимента именно из-за использования ЭВМ. Погрешности, связанные с точностью измерений величин могут дать частичную или полную потерю точности. Если при «ручных» вычислениях промежуточные результаты могут быть «оценены» и скорректированы последующие действия, то ЭВМ работает по определенной программе и после ввода исходных данных выдает окончательный результат

4 Полная или частичная или потеря точности Задача 1. ЭВМ входит в состав комплекса для автоматической обработки результатов эксперимента. Числа а, b, с получаются как результат измерений. Все измерения возможны с одинаковой относительной погрешностью. Требуется составить программу вычисления величины: При с 0, Р определяется для любых a и b. В чем проблемы? Проблем нет! а – b с Р =

В условии задачи нет лишних слов, даже наоборот, некоторые обстоятельства требуют уточнения: будем считать, что значение величины Р есть окончательный результат, интересующий исследователя; будем считать, что ЭВМ выдает 14 десятичных знаков в мантиссе числа, представленного в форме с плавающей запятой; относительную погрешность измерений величин а, b, c оценим числом верных значащих цифр (допустим 3 цифры). Каким должен быть ответ ЭВМ в случае 1. a = 2,34; b = 2,34; c = 1, Ответ: Р = 0 а – b с Р =

Каким должен быть ответ ЭВМ в случае: 2. a = 2,87; b = 1,53; c = 3, Ответ: Р = 446, После округления: Р a = 2,87; b = 2,35; c = 3, a = 2,87; b = 2,83; c = 3, Ответ: Р = 173, После округления: Р 173 Ответ: Р = 13, После округления: Р 13,3 а – b с Р =

Проведем анализ промежуточных результатов: Ответ: Р = 173, После округления: Р a = 2,87; b = 2,35; c = 3, ,87 - 2,35 = 0,52 После вычитания в числителе: Этот результат содержит только две верные цифры (при вычитании из-за совпадения уничтожилась одна верная значащая цифра). Следовательно, и ответ должен содержать не более двух значащих цифр. Так что правильный ответ в этом случае: Р = 170

8 2,87 - 2,83 = 0,05 После вычитания в числителе: Уничтожилась уже две верные значащие цифры. Значит и ответ должен содержать не более одной верной значащей цифры. Так что правильный ответ в этом случае: 4. a = 2,87; b = 2,83; c = 3, Ответ: Р = 13, После округления: Р 13,3 Р = 10

9 Но здесь совпали все верные значащие цифры и, следовательно, Значит и в окончательном ответе нет ни одной верной значащей цифры! Произошла полная потеря точности. Ответ Р = 0 совершенно недостоверен. Это легко понять, если предположить, что параллельно в этом же эксперименте проводятся те же, но более точные измерения, допустим, до 5 верных значащих цифр: 2,34 - 2,34 = 0 1. a = 2,34; b = 2,34; c = 1, Случай 1. a = 2,3442; b = 2,3421; c = 1, ,3442 – 2, Р == 210

10 В условии задачи сказано, что данные эксперимента обрабатываются автоматически, значит исследователь не может следить за промежуточными результатами. Если программист заранее не увидит опасности потери точности, то ЭВМ может выдать совершенно недостоверный ответ при том, что математическая модель явления составлена верно и никаких формальных ошибок в алгоритме вычислений нет. Природа ошибки – приближенный характер исходных данных и уничтожение верных значащих цифр.

11 Что делать? а, b близки? Точность измерений можно повысить? Постановка эксперимента и ф-ла вычислений Р единственные? Нет проблем Предложить повысить точность вычислений Предложить поискать другую постановку эксперимента и найти Р из других соображений Предупредить исследователя о возможности частичной или полной потери точности Да Нет Что должен делать программист, понимающий суть проблемы?

12

13

14 При вычислении значений Р выводить результат с указанием числа верных значащих цифр. Можно особым образом отмечать случаи значительной или полной потери точности. Для этого придется проводить программными средствами анализ значений исходных данных на степень их близости. Возможные при этом ошибки При поразрядном сравнении числовых значений a, b и c числа совпадающих верных значащих цифр возможен ошибочный алгоритм. Например, а = 200,1; b = 199,9. Здесь формально все цифры разные, а по существу совпадают первые три, т. к. разность a – b = 200,1 – 199,9 = 0,2 содержит только одну верную цифру.

15 Хотим купить шкаф. Измеряем ширину предполагаемого для него места – 156 см с точностью 1см. Измеряя в магазине шкаф получаем тот же результат – 156 см. вычитание дает 0. Но ясно, что на самом деле нет точного равенства и вопрос остается нерешенным. Надо еще раз провести измерение и, возможно, отказаться от покупки.

16 Ограниченный размер ячеек для хранения чисел Задача 2 Составить программу вычисления значения выражения: P = a * x + b – c : y + d Прогнать несколько самостоятельно составленных контрольных примеров и убедиться, что ошибок нет.

17 a = 1,2·10 6 ; b = 3; c = 3,78·10 7 ; d=2; x = 1,26·10 8 ; y = 2,5· P = a * x + b – c : y + d Ответ: - на ПК: P = 2; - вручную: P = 5.

18 Установим природу ошибки: Ручные вычисления дают результат: 1) 1,2 · 10 6 · 1,26 · 10 8 = 1,512 · ) 1,512 · = ) 3,78 · 10 7 : 2.5 · = · ) – = 3 5) = 5 ( P = a * x + b – c : y + d )

19 При вычислениях на ЭВМ пошаговым прохождением программы с распечаткой результатов, после выполнения второго действия: 1,512 · результат равен первому слагаемому и в четвертом действии получаем 0. Причина ошибки – конечность разрядной сетки ЭВМ и вычитание близких чисел. Можно ли составить программу, дающую правильный результат для предложенных исходных данных?

20 Надо поменять местами слагаемое b и – c : y Да! Будет ли такая программа давать верный результат при любых допустимых значениях переменных? Достаточно сделать близкими числа a * x – c : y и b Нет! ( P = a * x + b – c : y + d )

21 Т. о. нарушается математический закон, незыблемость и очевидность которого вошла в поговорку: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется» Нетрудно понять, что возможность ошибки при вычислениях многократно возрастает, когда приходится выполнять не 3-5 простейших арифметических действий, а большое число самых разнообразных вычислений, которые совершенно невозможно прокрутить вручную. Можно ли в таких случаях использовать ЭВМ для вычислений? Можно! Мало того, ЭВМ – лучший вычислитель из всех существующих. Дело в том, что программист не должен уподобляться машине формально вычисляющей предписанные действия.

22 Устранение причины возможной ошибки Задача 3. Составить программу решения квадратного уравнения a 2 + bx + c = 0 Формулы корней квадратного уравнения достаточно сложны по числу и набору действий: Поэтому естественно предположить, что при решении поставленной задачи возможна ситуация, при которой произойдет потеря точности.

23 Из анализа формул корней, видно, что в одной из формул в числителе обязательно будет разность чисел. Пусть b>0, тогда при ac

24 Если b

25 ??? Мы убедились, что в компьютерную эпоху тем более необходимо вдумчивое, сознательное отношение к процессу вычислений. ! ! !

26 Это проблема глобальная и решить ее частным методическим приемом в ходе изучения отдельной темы информатики, очевидно, нельзя. В связи с внедрением ВТ в учебный процесс может быть стоит дополнить школьный курс математики изучением таких разделов прикладной математики как приближенные числа, арифметические операции над приближенными числами, оформлением вычислений и прочее. При изучении отдельных разделов физики, организовывать вычислительный эксперимент, проводить его с помощью ЭВМ, тщательно анализируя полученные результаты. То есть пересмотреть идейную направленность преподавания предметов естественнонаучного цикла.