НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА «РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ» Выполнили: Ученицы 9 класса Б МОУ лицея 1 Ким Елена Алексеевна Пшегорская Наталья Александровна Научный руководитель: Будлянская Наталья Леонидовна Учитель математики МОУ лицея 1 ул.Пирогова 21 г. Комсомольска-на-Амуре Решение нелинейных уравнений в целых числах

СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ: 1.Делимость целых чисел 2.Простые и составные числа 3.НОК и НОД чисел 4.Взаимно-простые числа 5.Линейные диофантовые уравнения ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ: 1.Разложение на множители 2. Использование свойств простых чисел. 3.Выражение одной переменной через другую с последующим выделением целой части. 4.Использование свойств чётности и нечётности чисел. 5.Учёт ограниченности выражений. 6.Учёт остатков от деления на число. 7.Представление левой части уравнения в виде суммы неотрицательных слагаемых. 8.Учёт свойств делимости. 9.Введение новой переменной. 10.Другой метод решения уравнений

ДЕЛИМОСТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Если существует такое с, что а=b*с, то а b (или b а). При этом с-частное от деления а на b. ОБОЗНАЧЕНИЕ: а b (а делится на b) ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ ЕСЛИ а N, b N,с N 1)а b, с-частное от деления с - единственное 2)а а, b b, с с…и.т.д. 3)а b, b c a c 4)a b, b а a=b a=-b 5)a b, b > a a=0 6)a b, a 0 a b 7)чтобы а b, необходимо и достаточно, чтобы а b 1ъ1ъ

ДЕЛИМОСТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ : ЕСЛИ а N, b N,с N 8) а 1 b, a 2 b… a n b (a 1 ±a 2 … ±a n ) b 9) (a 1 +a 2 +…+a n ) b и a 1 b, a 2 b…a n-1 b a n b 10)a b и a>0 a b 11)a b, b c, m N 0, n N 0, ma>nb, mo(ma-nb) c (ma+nb) c 12)a b, k 0 ak bk 13)ak bk, k 0 a b 14)a bc (a b) c 15)(a b) c a bc

ПРОСТЫЕ и СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Целое положительное число р>1 называется простым, если оно имеет ровно два положительных делителя: 1 и р. ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Целое положительное число m>1 называется составным, если оно имеет, по крайней мере, один положительный делитель, отличный от 1 и m. СВОЙСТВА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ: 1)2 – единственное четное простое число 2)a и b – простые и ab a b*х b a*у (х, у - некоторые числа) 3) а,b,c,d Z и аbcd е, причем е-простое а е или b е или c е или d е 4)a N о, а >1 наименьший положительный делитель -простое число

ПРОСТЫЕ и СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТКИ a N о, а 1, р 1, р 2, р 3,……,р k – простые а = р 1 *р 2 *р 3 *……*р k Если среди чисел р 1, р 2, р 3,……,р k есть одинаковые а = р 1 а 1 *р 2 а 2 *р 3 а 3 *……*р k а k

НОК и НОД чисел ОПРЕДЕЛЕНИЕ:НОД чисел а 1, а 2 …а n называется положительный общий делитель, делящийся на любой другой общий делитель этих чисел. ОБОЗНАЧЕНИЕ: (a 1, a 2 …a n )=d, d-НОД чисел а 1, а 2 …а n a) d>0 b) d a 1, d a 2 … d a n Теорема 1: 1)Для любых чисел а 1, а 2 …а n, из которых хотя бы одно отлично от нуля, существует НОД 2)p 1,…,p s –различные простые числа a 1 =р 1 α 1 *…*р s α s,…,a n =p 1 γ 1 *…*p s γ s (а 1, а 2 …а n )=p 1 min(α 1,…,γ 1 ) *…*p s min(α 1,…,γ s ) Замечание: способ нахождения НОД: 1)Разложить каждое число на простые множители, записав разложение в каноническом виде 2)Найти произведение минимальных степеней простых множителей

НОК и НОД чисел ПРИМЕР 1: Найти НОД чисел 10080, 2646, 56. РЕШЕНИЕ: 1) )d= 2 1 *3 0 *5 0 *7 1 = 2*7=14 (10080,2646,56)= =2 5 *3 2 *5*7 =2 5 *3 2 *5 1 * =2*3 3 *7 2 =2 1 *3 3 *5 0 *7 2 56=2 3 *7 =2 3 *3 0 *5 0 *7 1

НОК и НОД чисел Теорема 2: (a 1, a 2 …a n )=d, d b, b>0 (,…, )= Теорема 3: (а 1,…,a n-1,a n )=((a 1,…,a n-1 ),a n ) n3 НОД n-чисел: 1)НОД (n-1) 2)НОД (d, a n ), d= (a 1, a 2 …a n ), a n -последнее число ОПРЕДЕЛЕНИЕ: НОК чисел a 1, a 2,…,a n называют наименьшее положительное число, делящееся на все эти числа. ОБОЗНАЧЕНИЕ: [a 1, a 2 …a n ]=m, m-НОК чисел a 1, a 2 …a n а)m>0 b)a 1 m,…,a n m

НОК и НОД чисел Теорема 5: a 1 =р 1 α 1 *…*р s α s *,…,*a n =p 1 γ 1 *…*p s γ s - каноническое разложение m=[a 1, a 2 …a n ]=p 1 max(α1,…,γ1) *…*p s max(α1,…,γs) Теорема 6: а>0, b>0, a N, b N, (a,b)=d, [a,b]=m m= Замечание: способ нахождения НОД: 1)Разложить число на простые множители, записав разложение в каноническом виде 2)Найти произведение максимальных степе- ней простых множителей, входящих в разложение

НОК и НОД чисел ПРИМЕР 1: Найти НОК чисел 96,64,33,22. РЕШЕНИЕ: 1) )m=2 6 *3 1 *11 1 =2112 [96,64,33,22]= =2 5 *3 =2 5 *3 1 * =2 6 =2 6 *3 0 * =11*3=2 0 *3 1 * =11*2=2 1 *3 0 *11 1

ВЗАИМНО-ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ОПРЕДЕЛЕНИЕ: а и b взаимно-простые числа, если (a,b)=1 Теорема 1: а Z, р Z, причем р - простое или а р или а и р – взаимно-простые Теорема 2: а,b – взаимно-простые [а,b]=ab Теорема 3: Чтобы а:b или а:с достаточно и необходимо а: bс Теорема 4: Если (а* b) с, причем (а,с)=1 b с

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ Общий вид диофантовых уравнений: ax+by=c 1.Найдем d(а, b) 2.Определим частное решение, выразив переменную х из данного уравнения, а переменную у находим, используя метод перебора (х 0 ; у 0 )-частное решение. 3.Все остальные решения находим по формулам: х=-bk+x 0, y=ak+y 0, k Z

ПРИМЕР 1: Решить уравнение в целых числах х-3у=15 РЕШЕНИЕ: a)НОД(1;3)=1 b)Определим частное решение: х=(15+3у):1 Используя метод перебора находим значения у=0, тогда х=(15+0). Следовательно, (15;0) - частное решение c)Остальные решения находим по формулам: х=3k+15, k Z y=k+0=k, k Z ОТВЕТ: (3k+15; k), k Z РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ

ПРИМЕР 2: Решить уравнение в целых числах 15х+11у=14 РЕШЕНИЕ: а)НОД(15;11)=1 b)Определим частное решение: х=(14-11у):15 Используя метод перебора, находим значение у [0;14], т.к. при остальных значениях (х;у), не входящих в этот промежуток, выражение (14-11у):15 не будет являться целым числом (противоречит условию). (-2;4) – частное решение c)Остальные решения находятся по формулам: х=-11k-2, k Z y=15k+4, k Z ОТВЕТ: (-11k-2; 15k+4), k Z РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ

ПРИМЕР 3: Купили 390 цветных карандашей в коробке по 7 и 12 карандашей. Сколько тех и других коробок купили? РЕШЕНИЕ: а)Пусть х – количество коробок по 7 карандашей, у - по 12. Всего было куплено (7х+12у) карандашей, что по условию задачи равно 390. Составим и решим уравнение. 7х+12у=390 b)НОД(7;12)=1 c)Определим частное решение: х=(390-12у):7 Используя метод перебора, находим значение у [1;6] (54;1) – частное решение d)Остальные решения находим по формулам: х=-12k+54, y=7k+1 k Z РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ

k01234 х у

Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители Суть метода: сначала первоначальное уравнение путём группировки слагаемых и вынесения общих множителей приводится к виду, когда в левой части уравнения стоит произведение сомножителей, содержащих неизвестные, а справа стоит некоторое число. ПРИМЕР 1: Решить в натуральных числах уравнение: m 2 - n 2 =2001. РЕШЕНИЕ: (m-n)(m+n)= =3*23*29*1 ОТВЕТ: (1001;1000), (335; 332), (49; 20), (55;32) m=1001 n=1000 m=335 n=332 m=49 n=20 m=55 n=32 m-n=1 m+n=2001 m-n=3 m+n=667 m-n=23 m+n=87 m-n=29 m+n=69

ПРИМЕР 2: Решить в целых числах х 2 -3ху+2у 2 =3 РЕШЕНИЕ: Группировка: х 2 -2ху-ху+2у 2 =3; (х 2 -ху)-(2ху-2у 2 )=3 Вынесение общего множителя за скобки: х(х-у)-2у(х-у)=3; (х-у)(х-2у)=3 Возможны 4 варианта: 1) 2) 3) 4) (остальные 2 системы решаются подобным образом) ОТВЕТ:(5:2); (1:2); (-5:-2); (-2:-1); х-у=3 х-2у=1 х-у=-1 х-2у=-3 х-у=-3 х-2у=-1 х-у=1 х-2у=3 х=у+3 у+3-2у=1 х=5 у=2 х=1 у=2 х=у-1 у-1-2у=-3 Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители

Использование свойств простых чисел ПРИМЕР 1: Решить в натуральных целых числах 19х+89у=1989 РЕШЕНИЕ: 19х+89у= х-1900=89-89у 19(х-100)=89(1-у) (*) (19;89) взаимно-простые равенство (*) возможно в 3 случаях а) х-100=89 b) х-100=-89 c) х-100=0 1-у=19 1-у=-19 1-у=0 а) х = нет b) х=11 c) х=100 решений у=20 у=1 ОТВЕТ: (11;20), (100;1)

Использование свойств простых чисел ПРИМЕР 2: Решить в простых числах х 2 -2у 2 =1 РЕШЕНИЕ: 2у 2 -четное х-нечетное 2у 2 =х 2 -1= (х-1)(х+1) (х-1) : 2(т.к. четное) (х+1): 2(т.к. четное) у-четное х,у-простые ОТВЕТ: (3;2) у=2 х=3 (х-1)(х+1):4

ПРИМЕР 1: Решить уравнение в целых числах х 2 -ху+5х-9=0 РЕШЕНИЕ: а) У, b) Z, если х= ±1, ±3, ±9 х=-1, у=13 х=3, у=5 х=1, у=-3, х=-9, у=-3 х=-3, у=5 х=9, у=13 Ответ(-1;13);(1;-3);(-3;5);(3;5);(-9;-3);(9;13). Уравнения, решаемые выражением одной переменной через другую с последующим выделением целой части 9 x х 2 +5х-9 = = х x у Z x

Уравнения, решаемые выражением одной переменной через другую с последующим выделением целой части ПРИМЕР 2: Решить уравнение в целых числах у-х-ху=2 РЕШЕНИЕ: а)Выразим у через х: (у-ху)=2+х у(1-х)=2+х у= =-1- b)Т.к. х Z;у Z, то (х-1) может равняться ±1; ±3, откуда х=2, у=-4, х=0, у=2, х=4, у=-2, х=-2, у=0. ОТВЕТ: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2) х+2 1-х 3 х-1

Учет четности, нечетности чисел ПРИМЕР 1: Доказать, что не существует целых решений уравнения х 2 +х+1 + у 2 +у+1 = 13 РЕШЕНИЕ:а)х 2 +х+1=х(х+1)+1 х(х+1)-четное х 2 +х+1 - нечетное b)аналогично у 2 +у+1 - нечетное с) Противоречие: нечет.+нечет.=чет. нечет.+нечет.=нечет.(по условию) х(х+1)+1 - нечетное

Учет четности, нечетности чисел ПРИМЕР 2: Решить в целых числах уравнение х 3 +у 3 -3ху=2 РЕШЕНИЕ: 1)Если х, у нечетны х 3 -нечетное число у 3 -нечетное число 3ху-нечетное число Получаем: нечет+нечет-нечет чет 2)Если х-четное, у-нечетное х 3 -четное число у 3 -нечетное число 3ху-четное число Получаем: чет+нечет-чет чет (аналогично, если х-нечетное, у-четное) 3)Если х-четное, у-четное, тогда пусть х=2m, y=2n 8m 3 +8n 3 -12mn=2 или 2(2m 3 +2n 3 -3mn)=1 невозможно ни при каких целых m и n ОТВЕТ: решений нет

Учёт ограниченности выражений ПРИМЕР 1: Решить уравнение в целых числах: 2(х 4 -2х 2 +3)(у 4 -3у 2 +4)=7 (1) РЕШЕНИЕ: х 4 -2х 2 +3=х 4 -2х =(х 2 -1) у 4 -3у 2 +4=(у ) Л.Ч. 7, П.Ч.=7,значит, уравнение (1) равносильно системе : (х 2 -1) 2 +2=2 х 2 -1 =0 (у ) + 7 = 7 у 2 - =0 Откуда х =±1,у =± Z ОТВЕТ: уравнение не имеет решений в целых числах. (Возможен второй способ решения – использование свойств простых чисел)

Учет остатков от деления на число ПРИМЕР 1 : Решить в натуральных числах уравнение n!+4n-9=k 2 РЕШЕНИЕ: Заметим, что n!+4n-9=n!+4n-12+3 а)Если n 4, то (n!) 4, 4n 4, 12 4 (Ост 4 (n!+4n-9)=3) В правой части уравнения стоит квадрат натурального числа k, который при делении на 4 не может давать в остатке 3. при n 4 уравнение не имеет корней. b)Рассмотрим случаи, когда n=1,2,3 : 1.n=1 2.n=2 3.n= =k 2 2!+8-9=k 2 3!+12-9=k 2 -4=k 2 1=k 2 9=k 2 k= k=1 k=3 ОТВЕТ: n=2, k=1 n=3,k=3

Учет остатков от деления на число ПРИМЕР 2 : Решить в целых числах уравнение х 2 +1=3у РЕШЕНИЕ: а) 3у 3, при любом целом у b) (х 2 +1)/3: (Ост 3 (х 2 +1)=0), (Ост 3 (х 2 +1)=1), (Ост 3 (х 2 +1)=2) 1.х=3k (Ост 3 (9k 2 +1)=1) 2.x=3k+1 (Ост 3 (9k 2 +6k+1+1)=2) 3.x=3k+2 (Ост 3 (9k 2 +12k+4+1)=2) Получаем: ни при каких значениях х выражение (х 2 +1) не делится на 3 при любом значении у выражение 3у кратно 3 Уравнение не имеет решений в целых числах ОТВЕТ: решений нет

Уравнения, решаемые с помощью представления левой части уравнения в виде суммы неотрицательных слагаемых ПРИМЕР 1: Решить уравнение в целых числах 5х 4 +10х 2 +2у 6 +4у 3 =6 РЕШЕНИЕ: 5х 4 +10х 2 +2у 6 +4у 3 = 5(х 4 +2х 2 )+2(у 6 +2у 3 ) = 5(х 2 +1) 2 +2(у 3 +1) 2 -7 Уравнения приводится к виду: 5(х 2 +1) 2 +2(у 3 +1) 2 =13 Отсюда имеем 5(х 2 +1) 2 13 так как (х 2 +1) 2 – целое число, то (х 2 +1) может быть только равен 0,1,-1 Можно увидеть, что только х=0 возможен 5*1+2(у 3 +1) 2 =13 Тогда (у 3 +1) 2 =4, у 3 +1=±2, но если у 3 +1=-2, то у=-3 ( не удовлетворяет условию) у 3 +1=2;у=1 ОТВЕТ:(0;1) Пример 1: Решить уравнение в целых числа 5х 4 +10х 2 +2у 6 +4у 3 =6. РЕШЕНИЕ: 5х 4 +10х 2 +2у 6 +4у 3 = 5(х 4 +2х 2 )+2(у 6 +2у 3 ) = 5(х 2 +1) 2 +2(у 3 +1) 2 -7 Уравнения приводится к виду: 5(х 2 +1) 2 +2(у 3 +1) 2 =13 Отсюда имеем 5(х 2 +1) 2 13 так как (х 2 +1) 2 – целое число, то (х 2 +1) может быть только равен 0,1,-1 Можно увидеть, что только х=0 возможен 5*1+2(у 3 +1) 2 =13 Тогда (у 3 +1) 2 =4, у 3 +1=±2, но если у 3 +1=-2, то у=-3 ( не удовлетворяет условию) у 3 +1=2;у=1 Ответ:(0:1)

Учет свойств делимости ПРИМЕР 1 : Решить в целых числах уравнение х =225у РЕШЕНИЕ: Очевидно, что х 3 должен быть кратен 5 Пусть х= 5z, z Z, тогда 125z =225y 5z 3 -4=9y (1) Очевидно,что левая часть уравнения должна быть кратна 9,т.е a) z=3t b) z=3t+1 c) z=3t-1 5(3t) 3 -4=9y 5(3t+1) 3 -4=9y 5(3t-1) 3 -4=9y 135t 3 -4=9y 5(27t 3 +27t 2 +9t+1)-4=9 5(27t 3 -27t 2 +9t-1)-4=9y 135t t 2 +45t+1=9y 135t t 2 +45t-9=9y т.е. z=3t-1, тогда х=15t-5, y=15t 3 -15t 2 +5t-1 ОТВЕТ: (15t-5; 15t 3 -15t 2 +5t-1), t Z

Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной ПРИМЕР 1: Решить уравнение в целых числах: 7(х+у)=3(х 2 -ху+у 2 ) РЕШЕНИЕ: Пусть х+у=р, х-у=q. Тогда, выразив х и у, получим: х= p+q, у= p-q. Подставим в исходное уравнение: 7р= - - 7р= т.к.28p=3(p 2 +3q), то p–неотрицательное и p 3, т.е p=3k, k Z Подставив p=3k, получим 28*3k=3((3k) 2 +3q 2 ); 28k=3(3k 2 +q 2 ). Отсюда следует, что k 3, поэтому k=3m, m Z; Подставив k=3m, получим 28*3m=3(3(3m) 2 + q 2 ; 28m=27m 2 +q 2 ; m(28-27m)=q 2 ; так как q 2 0, то m=0, или m=1 (решаем неравенство m(28-27m) 0 c помощью метода интервалов) а)Если m=0, k=0 (т.к. k=3m), p=0 (т.к. p=3k), q=0(т.к. 28p=3(p 2 +3q)), значит, х=0, у=0 (т.к. x= p+q, у= p-q b)Если m=1, k=3, p=9, q 2 =1(т.к. m(28-27m)=q 2 ) а)q= 1, получаем х=5; у=4; b) q= -1, получаем х=4; у=5; ОТВЕТ:(5:4);(4:5);(0:0) Второй способ решения – использование свойств взаимно - простых чисел 22 (р+q) 2 (p+q)(p-q) (p-q) (p 2 +2pq+q 2 -p 2 +q 2 +p 2 -2pq+q 2 ) 4 22 ( ( 3

Другие методы решения уравнений ПРИМЕР 1 : Решить уравнение в целых числах 10х+у=х 2 +у РЕШЕНИЕ: 10х+у=х 2 +у х 2 -10х+у 2 -у+13=0 D/4=25-y 2 +y-13 Уравнение имеет корни при D/40, т.е. 25-у 2 +у у 2 +у+12 0 *(-1) у 2 -у-120 D=1-4*(-12)=49=7 2 y 1 =-3 y 2 = У т.е. -3 у 4, т.о. переберем все возможные случаи: у=4, 3, 2, 1,0,-1,-2,-3 ОТВЕТ: (-5;-3), (5;4)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК - Балк М.Б., Балк Г.Д.. Математика после уроков. Москва, издательство «Просвещение», 1971, с.. - Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И.. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие. Москва, издательство «Наука», 1960, с.. - Власов А.П., Евсеев Н.В.. Полный комплект пособий для подготовки к ЕГЭ. «50 типовых экзаменационных работ». Москва, издательство АСТ «Астрель», 2009, с.. - Гельфонд А.О.. Решение уравнений в целых числах. Москва, издательство «Наука», 1978, - 63 с.. - Горбачев Н.В.. Сборник олимпиадных задач по математике. Москва, издательство МЦНМО, 2004, с.. - Кушнир И.. Шедевры школьной математики. Киев, издательство «Астарта», 1995, с.. - Шарыгин И.Ф.. Решение задач. Москва, издательство «Просвещение», 1994, с.. - Будлянская Н.Л.. Решение уравнений в целых числах. Методическое пособие. Комсомольск – на – Амуре, 2010, -53 с..