.:Делимость и Остатки:. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики. Взаимно простые числа. НОД. НОК. Алгоритм Евклида. Сумма двух натуральных. - презентация

1 .:Делимость и Остатки:. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики. Взаимно простые числа. НОД. НОК. Алгоритм Евклида. Сумма двух натуральных чисел и сумма их остатков. Произведение двух натуральных чисел и произведение их остатков.

2 Простые и составные числа –Число является составным, если оно равно произведению двух меньших натуральных чисел. В противном случае число называется простым. Единица не является ни простым, ни составным числом!

3 Основная теорема арифметики Каждое натуральное число, за исключением единицы, раскладывается в произведение простых сомножителей, причем единственным образом. Свойства делимости полностью определяются разложением числа на простые множители

4 Упражнение В о п р о сО т в е т 1). Число А не делится на 3. Может ли на 3 делится число 2А? нет 2). Верно ли, что если натуральное число делится на 4 и 3, то оно делится на 12? да 3). Число А-чётно. Верно ли, что 3А делится на 6? да 4). Дано выражение: 2(в 9 степени), умноженное на 3. Делится ли оно на 2? да 5). Дано выражение: 2(в 9 степени), умноженное на 3. Делится ли оно на 9? нет А теперь расчертим данную таблицу и рассмотрим примеры:

5 О т в е т ы 1). Нет, поскольку тройка не входит в разложение на простые множители числа А 2). Да, поскольку в разложении на простые множители числа, делящегося на 4, двойка входит по крайней мере 2 раза; а т.к. число делится и на 3, то в его разложение входит и тройка. Поэтому оно делится на 12. 3). Верно, т.к. 2 и 3 входят в разложение числа 3А на простые множители. 4). Да, т.к. 2 входит в разложение этого числа на простые множители. 5). Нет, т.к. в разложение данного числа на простые множители тройка входит лишь один раз, а в разложение 9 – дважды.

6 Примечания: 1. Два простых числа являются взаимно простыми. 2. Если некоторое число делится на два взаимно простых числа n и m, то оно делится и на их произведение mn. 3. Если число p*A делится на q, где p и q взаимно просты, то и A делится на q. Взаимно простые числа Два числа наз. взаимно простыми, если у них нет общих делителей Н О Д двух чисел- наибольший из общих делителей этих чисел Н О К двух чисел- наименьшее число, делящееся на каждое из них

7 Теоремы Число, имеющее нечётное число делителей – точный квадрат. Для любых натуральных чисел А и В верно равенство: НОД(А,В) * НОК(А,В)=АВ

8 Алгоритм Евклида Алгоритм Евклида основан на: Любой общий делитель чисел А и В(А>В) делит также число А-В; кроме того, любой общий делитель чисел В и А-В делит число А. Тем самым, НОД(А,В)=НОД(В,А – В)

9 О с т а т к и Определение Утверждение Свойство Разделить натуральное число N на натуральное число m с остатком – означает предста- вить N в виде N=km+ r. r-остаток от деления. 1. Сумма любых двух натуральных чисел и сумма их остатков имеют одинаковый ос- татки при деле- нии на натураль- ное n. Квадрат любого натурального числа при делении на 3 и 4 будет давать в остатке 0 или единицу. 2. Произведение любых двух нат. чисел и произве- дение их остатков имеют одинако- вые остатки при делении на нату- ральное n.

10 З а д а н и я 1. Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из данных чисел делится на 5. 2.Докажите, что существует бесконечное множество простых чисел.

11 О Т В Е Т Ы 1. При решении задачи необходимо док-ть, что любые два числа из этих семи дают одинаковый остаток при делении на 5. Для этого нужно рассмотреть две шестёрки: одну – не содержащую первое из них, вторую – не содерж. второе. 2. Предположим противное. Пусть p 1, p 2,…p n – все простые числа. Рассмотрим число p 1 * p n +1. Это число не делится ни на одно из чисел p 1, p 2,…,p n и, следовательно, не может быть разложено в произведение простых. Противоречие.

12 Надеюсь, что вы все усвоили данную тему. Применяйте свои знания при решении олимпиадных задач!