Золотое сечение и числа Фибоначчи

Золотое сечение Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - теорема Пифагора, другое – золотое сечение отрезка. Иоган Кеплер

Золотое сечение Определение Золотое сечение – это такое деление отрезка на две части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как большая к меньшей C- золотое сечение отрезка АВ

Золотое сечение Свойства. Число Фидия Ф не зависит от длины отрезка и называется числом Фидия φ не зависит от длины отрезка

Золотое сечение Построение золотого сечения А ВС D E ED=BD R = AE C – Золотое сечение АВ

Золотое сечение Последовательность золотых сечений

Золотое сечение Золотой прямоугольник Прямоугольник, в котором отношение длинны к ширине даёт число Ф, называется золотым прямоугольником. A BC D

Золотое сечение Золотая спираль A B C D E F G HK L M N O P AEBF, HFGC, DGLK, LEMN, MPHO, OPNK - квадраты

Золотое сечение Золотое сечение в истории искусства АПОЛЛОН БЕЛЬВЕДЕРСКИЙ ПАРФЕНОН С делит АЕ в золотом соотношении. B делит AC в золотом соотношении

Золотое сечение Золотое сечение в природе

Золотое сечение Золотой треугольник ABC –золотой тогда, когда он равнобедренный и отношение его боковой стороны к основанию равно Ф 1. Равнобедренный треугольник золотой угол при основании в два раза больше угла при вершине 2. Углы в золотом треугольнике равны 3. В золотом треугольнике биссектриса угла при основании отсекает тоже золотой треугольник A B C

Золотое сечение Лотарингский крест Прямая, которая проходит через точку А и делит площадь лотарингского креста на две равные части, делит отрезок ВС в золотом отношении.

Золотое сечение Пентаграмма Пентаграмма – правильный пятиугольник, на сторонах которого построены равнобедренные треугольники одинаковой высоты. В частности, они могут быть образованными продолжением сторон пятиугольника, взятых через одну. В этом случае пентаграмма оказывается звёздчатым многоугольником, который может быть образован также диагоналями правильного пятиугольника.

Золотое сечение Пентаграмма в истории Первые упоминания о пентаграмме относятся к Древней Греции. В переводе с Греческого пентаграмма означает дословно пять линий (penta - пять, gramma - черта, линия). В эллинском мире наука и искусство развивались в так называемых философских школах. Одной из самых известных среди них была школа Пифагора ( гг.до н.э.), а отличительным знаком ее членов была пентаграмма. Пифагорейцы отличались исключительной верностью своему братству. Сохранилась легенда, согласно которой один из пифагорейцев, тяжело заболев на чужбине и оставшись без средств, попросил хозяина дома, приютившего его, нарисовать на воротах пентаграмму. Проходивший мимо дома другой пифагореец ее увидел и щедро расплатился с хозяином.

Золотое сечение Построение Пентаграммы O A B C D E E1E1 E2E2 E3E3 О – центр окружности А – точка на окружности С – середина ОВ R 1 =AC R 2 =AD AE – сторона правильного пятиугольника A E E 1 E 2 E 3 – правильный пятиугольник A E 1, AE 2,EE 2, EE 3,E 1 E 3 – диагонали правильного пятиугольника

Золотое сечение Золотое сечение в пентаграмме A5A5 A4A4 A3A3 A2A2 A1A1 B1B1 B2B2 B3B3 B5B5 B4B4 C1C1 C2C2 C3C3 C4C4 C5C5 А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 – правильный пятиугольник В 1 В 2 В 3 В 4 В 5 – правильный пятиугольник С 1 С 2 С 3 С 4 С 5 - правильный пятиугольник A 1 B 3 B 4 – золотой треугольник

Числа Фибоначчи

Фибоначчи Фибоначчи родился в Италии в 1175г., был воспитан на Севере Африки, где его отец занимал пост дипломата. Вернувшись в Италию, в 1202г. публикует математический трактат под названием "Liber abacci". Этот трактат, содержавший почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, сыграл главную роль в течении последующих столетий в развитии математики в Европе.

Числа Фибоначчи Задача о кроликах (условие) Пусть имеется пара кроликов. Известно, что от каждой пары кроликов каждый месяц рождается новая пара кроликов, которая в свою очередь становится способной производить потомство в возрасте одного месяца. Требуется определить, сколько пар кроликов будет через n месяцев.

Числа Фибоначчи Формальное определение Числа Фибоначчи – это такая последовательность чисел, где каждое число равно сумме двух предыдущих 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Числа Фибоначчи и золотое сечение Отношение двух соседних чисел Фибоначчи даёт число приближенное к числу Фидия, причём чем больше числа Фибоначчи, тем больше их отношение приближено к числу Фидия 5/3=1,666689/55=1,61818

Приложения

Ф не зависит от длинны отрезка и называется числом Фидия x a-x a Умножу обе части уравнения на ax a(a-x)=x 2 ; a 2 -ax=x 2 ; a 2 -x 2 -ax=0; x 2 -a 2 +ax=0; x 2 +ax-a 2 =0; D=a 2 -4*a 2 -1=a 2 -4a 2 =a 2 (1+4)=a 2 *5=5a 2 ; не подходит. ч.т.д

Построение ABD – прямоугольный по построению. Тогда по теореме Пифагора: AD 2 =AB 2 +BD 2; (AE+ED) 2 =AB 2 +1/2AB 2 ; (AC+1/2AB) 2 =AB 2 +1/2AB 2 ; AC 2 +2*1/2AC*AB+1/4AB 2 ; AC 2 +AC*AB=AB 2 ; AC 2 =AB 2 -AC*AB; AC 2 =(AB-AC)*AB AC2=CB*AB ч.т.д А В С D E

Равнобедренный треугольник золотой, когда угол при основании в два раза больше угла при вершине AB C ч.т.д D

Если в треугольнике угол при основании в два раза больше угла при вершине, то такой треугольник золотой AB C Проведём отрезок AD так, что AD=AC D Пусть AB=BC=1, тогда AC=,DС=, тогда BD=BC-CD=1- значит BD=AC= BD=AD - равнобедоенный = ч.т.д

Спасибо за внимание