III Международный конкурс «Математика и проектирование» Номинация проекта «Математика и искусство» Тема проекта «Когда красота привлекает, а исследование увлекает, или Математика в архитектуре и живописи»

Автор проекта Ефимова Марина, ученица 9 класса МОУ «Новошимкусская СОШ Яльчикского района Чувашской Республики» Руководитель проекта Кириллова Светлана Михайловна, учитель математики МОУ «Новошимкусская СОШ Яльчикского района Чувашской Республики» Почтовый адрес творческого коллектива , Чувашская Республика, Яльчикский район, село Новые Шимкусы, улица Центральная, дом 125 Год выполнения проекта 2008

Цель проекта исследование закономерностей проявления удивительной области человеческой деятельности Задачи проекта: изучить удивительную область человеческой деятельности; изучить искусственную среду, воздвигнутую человеческими руками.

«Архитектурные пропорции – это математика зодчества. А математика – это универсальный язык науки, поэтому мы можем сказать, что пропорции – это универсальный язык науки, язык всеобъемлющий и всесильный, как всесильна и всеобъемлюща сама математика» А.В. Волошинов «Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.» Г. Вейль Г. Вейль

Симметрия, движение прямой в пространстве и пропорция широко используются в архитектуре и живописи

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ. Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка А А1. Точка О считается симметричной самой себе. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ. Преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая ее точка переходит в точку, симметричную относительно данной прямой, называется преобразованием симметрии относительно прямой а. Прямая а называется осью симметрии. а FF1

Симметрия в чувашских узорах

Симметрия в символиках

Пропорция Слово «пропорция» ввел в употребление Цицерон в I веке до н.э., переводя им на латынь платоновский термин «аналогия», который буквально означал «вновь-отношение», или, как мы говорим, «соотношение». С тех пор пропорцией называют равенство между соотношениями четырех величин a, b, c, d:

Церковь Покрова на Нерли «Пожалуй, самым трудным и вместе с тем обязательным в архитектурном творчестве является простота. Простота форм обязывает придавать прекрасные пропорции и соотношения, которые сообщили бы им необходимую гармонию» А.В.Щусев

Деление отрезка в золотом сечении означает, что длина всего отрезка относится к длине большей части так же, как длина большей части относится к длине меньшей части. Золотое сечение A D В φ0,62 Ф=1/φ 1,618 Ряд золотого сечения является геометрической прогрессией Свойство ряда золотого сечения

Пирамида Хеопса Отношение наклонной образующей, или гипотенузы прямоугольного треугольника, образующего поперечный разрез пирамиды к малому катету, или половине стороны квадратного основания, равно отношению золотого сечения. Пирамида Хеопса имеет стороны основания: 230,41, 230,51, 230,60 и 230,54м. Высота равна 146,70 м.

Собор Парижской Богоматери Один из величайших памятников архитектуры ранней готики. Огюст Шуази показал, что в основе пропорций фасада собора лежит квадрат, а высота башен равна радиусу окружности, вписанной в этот квадрат Огюст Шуази показал, что в основе пропорций фасада собора лежит квадрат, а высота башен равна радиусу окружности, вписанной в этот квадрат Также на главном фасаде присутствует золотое сечение. Также на главном фасаде присутствует золотое сечение.

Витрувианский человек Дэн Браун в книге «Код да Винчи» писал, что картина Леонардо да Винчи построена на золотом сечении. AC:AB=Ф DF:DE=Ф E DF C B A

Храм Василия Блаженного Храм Василия Блаженного – один из жемчужин древнерусской архитектуры.

Пропорции храма определяются восемью членами ряда золотого сечения:

Золотое сечение на картине Боттичелли «Рождение Венеры» Отношение длины картины к её ширине равно φ. Расстояние от левого края картины до головы богини ветра и расстояние от её головы до правого края картины находятся в золотом соотношении, как и расстояние от левого края до руки нимфы и от руки до правого края. На рисунке показано, что колени делят тело, пупок – туловище, брови – лицо в золотом сечении.

Золотые фигуры Золотые фигуры Золотыми фигурами называются такие фигуры, стороны которых находятся в золотом соотношении N M P Q Золотой прямоугольник A BC Золотой треугольник MN:NP=φ BC:AB=φ

Золотой прямоугольник Леонардо да Винчи «Тайная вечеря»

Золотое сечение на Моне Лизе Построение на золотых треугольнках Построение на золотых прямоугольниках

Парфенон Парфенон – одно из самых великих сооружений мира. Храм был возведён при Перикле в Vв. до н.э. Иктином и Калликратом. Он был построен в дорическом ордере. Снаружи его украсили сценами жестоких битв. На западном фронтоне Парфенона был изображён миф о споре Афины и Посейдона. На главном (восточном) – рождение Афины Он был построен в дорическом ордере. Снаружи его украсили сценами жестоких битв. На западном фронтоне Парфенона был изображён миф о споре Афины и Посейдона. На главном (восточном) – рождение Афины

Золотая пропорция на фасаде Парфенона Современные архитекторы утверждают, что в основе Парфенона лежит золотое сечение. Хэмбидж разбил фасад Парфенона на квадраты и прямоугольники, стороны которых относятся, как 1 к 5. Легко видеть, что главные вертикальные размеры храма соотносятся в золотой пропорции

Поверхности, образованные движением прямой в пространстве Поверхности, образованные движением прямой в пространстве, называются линейчатыми. К ним относятся конус и цилиндр. Цилиндрические своды сооружали в Древнем Риме. Позже математики открыли ещё 2 вида линейчатых поверхностей: гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид. Они образованы двумя семействами прямых в пространстве

Гиперболический параболоид Возможности гиперболических параболоидов открыл испанский архитектор Феликс Кандела. Он показал их свойства на самых разных сооружениях – от промышленных зданий до ресторанов и клубов. На фото изображён вечерний зал в Акапулько.

Однополостный гиперболоид На основе однополостных гиперболоидов была построена Шаболовская радиобашня

Математическая живопись Наиболее распространенными темами в математической живописи являются: фракталы,тесселляции, невозможные фигуры и искажённые перспективы.

Невозможные фигуры Иштван Орос «Перекрёстки»

Искажённые перспективы Дик Термес «Клетка для человека»

Фракталы Роберт Фатауэр «Композиция кругов»

Тесселляции Роберт Фатауэр "Фрактальные рыбы " "Фрактальные рыбы " Если присмотреться, то можно увидеть, что волна является фрактальной тесселяцией, которая состоит из рыб разных размеров

Заключение Математика для творческого труда архитектора издавна признается чем-то очень важным, необходимым и плодотворным. И все же архитектурная наука так до сих пор и не разработала должным образом этот, можно сказать, кардинальный вопрос теории. Речь идет не только о ремесленном или техническом вооружении зодчего, о реализации идеи в проекте и сооружении, но и о творческом процессе поиска, о "формах" самой идеи, о "формах" художественного мышления. На языке архитектуры, можно сказать, что математика – это грандиозное мысленное сооружение, которое в свернутом, понятийном, символьном виде моделирует окружающий нас мир и происходящие в нем явления.

Заключение Мы пронаблюдали, как математика помогает добиться прочности, удобства, красоты архитектурных сооружений, как значимо и ценно отношение золотого сечения, как немело важную роль играет в построении такие понятия как симметрия и асимметрия. Также было совершенно доказано, что геометрия является основой и «оформлением» строительной деятельности и т.д. И в завершении нашей исследовательской работы можно смело выделить: «Интуиция, ассоциативное и образное мышление на своей начальной фазе обходится без математики, но оформление итогов творческого процесса без опоры на математику просто невозможно, по крайней мере, если речь идет о созидательной архитектурной деятельности».

Используемая литература Архитектура математики. -М.: Знание,1972 Гликин Я.Д.Методы архитектурной гармонии. – Л.;М.:ОНТИ, 1935 Иконников А.В. Художественный язык архитектуры. – М.: Искусство, 1982 Ле Корбюзье. Архитектура ХХ века. – М.: Прогресс,1970 Цирес А. Искусство архитектуры. –М.: ИАА, 1946 Волошинов А.В. Математика и искусство. – М.: Просвещение, 1992