Математика 21- радикальная смена парадигмы: Модель, а не Алгоритм А.С. Нариньяни, ЗАО «ИнтеллиТек»

Содержание доклада относится прежде всего к математике вычислительной (ВМ), хотя высказанные соображения можно связать и с некоторыми другими ее разделами.

Текущее положение дел Относительно положения в ВМ можно противопоставить две точки зрения: «традиционная»: ВМ – успешная, быстро развивающаяся область, предельно востребованная практикой и в основном отвечающая ее потребностям. «традиционная»: ВМ – успешная, быстро развивающаяся область, предельно востребованная практикой и в основном отвечающая ее потребностям. далеко не такая оптимистическая: ВМ оказывается все более неадекватной в контексте растущих требований практики. В данный момент у ВМ нет концептуальных идей выхода из этого тупика. далеко не такая оптимистическая: ВМ оказывается все более неадекватной в контексте растущих требований практики. В данный момент у ВМ нет концептуальных идей выхода из этого тупика.

Основная метафора Пространство реальных вычислительных задач сегодня можно сравнить с необозримым океаном проблем, на карте которого разбросаны несколько сотен островов, представляющих отдельные классы задач, для которых в современной ВМ существуют достаточно разработанные методы решения.

Для всякой же задачи, не совпадающей с координатами этих клочков обитаемой суши, готовых методов нет и решения получить, как правило, невозможно. С точки зрения «островитян» она является некорректной и поэтому как бы и не существует.

Другими словами, ВМ решает те задачи, которые может, а не те, решение которых от нее требуются. Эта картина меняется в худшую сторону: пространство реальных задач быстро растет по содержанию, по сложности, по разнообразию. Конечно, растут и острова решаемых проблем, растет и их число. Но гораздо медленнее.

Важно, что разработанные вычислительные методы определяются не единой концепцией, а спецификой каждого класса задач. И поэтому у каждого острова своя школа, т.е. свой взгляд на мир, своя островная «цивилизация». Даже если представить, что заселение нашей карты через рост числа островов будет идти не медленнее расширения самого океана, то число школ при этом будет расти экспоненциально.

Эта привычная и как бы естественная ситуация совершенно абсурдна: даже если представить, что заселение нашей карты через рост числа островов будет идти не медленнее расширения самого океана, а это пока совершенно не так, то число школ при этом будет расти экспоненциально. Что, конечно, абсолютно нереально, поскольку число необходимых для этого академиков-математиков и их учеников скоро превысит население планеты.

Другими словами, ВМ решает те задачи, которые может, а не те, решение которых от нее требуются. Таким образом, кризис современной ВМ быстро углубляется, что вызвано ее неспособностью быть адекватной по крайней мере в двух основных аспектах: решать основной объем текущих реальных задач, и решать основной объем текущих реальных задач, и иметь потенциал развития, соответствующий темпу расширения пространства приложений. иметь потенциал развития, соответствующий темпу расширения пространства приложений.

Возможна ли революция? Очевидно только, что в данном случае кризис требует радикального изменения самой базовой концепции ВМ, а, следовательно, и ее методологической парадигмы. Вопрос в том, а возможна ли такая революция в принципе? Ведь ВМ (согласно «оптимистической» точке зрения) – это в определенном смысле, успешная, и, если не слишком быстро развивающаяся, то, по крайней мере, активно эволюционирующая область, безусловно востребованная практикой и, как принято считать, в основном отвечающая ее потребностям.

Да и вообще, возможны ли революции в такой области, как математика, для которой по распространенному мнению, характерно только поступательное движение вперед, не меняющее основ, а лишь неуклонно расширяющееся и углубляющееся.

Конечно, это мнение более чем наивно: если присмотреться к истории математики, то она представляет собой цепь концептуальных потрясений и качественных скачков, бывших именно революциями, без которых в принципе невозможно развитие никакой подлинной науки.

Наверное, тем, кто когда-то пользовались римской системой счисления, казалось, что известная им арифметика - это те устои, которые не изменятся никогда. Хотя в то время даже сложить два больших числа было непростой задачей, а владение умножением вполне можно было приравнять к кандидатской диссертации. Однако в начале второго тысячелетия в Европу пришла современная «арабская» позиционная система, предложившая совершенно новое видение числа, при котором и умножение и деление стали настолько простыми, что ими владеют уже в начальной школе.

Причины кризиса Чтобы иметь право говорить о радикальной смене, надо определить те недостатки текущей парадигмы, которые являются причинами рассматриваемого кризиса. Таких причин, по крайней мере, три:

Умозрительность математики, унаследованная ею от предшествующих этапов «эмбрионального» развития, осваивших все более сложные уровни формализации. 1. Умозрительность математики, унаследованная ею от предшествующих этапов «эмбрионального» развития, осваивших все более сложные уровни формализации. Для определения сути объекта рассмотрения он и его элементы должны были быть теоретически «чистыми», оттуда и привычные для нас требования полноты, определенности, точности, непротиворечивости, и т.п. Однако, данные умозрительные требования не являются естественными для реальных задач, поскольку этим задачам свойственна неполнота, неточность, недоопределенность, противоречивость и многие другие свойства, аппаратами современной ВМ в основном игнорируемые.

Роль алгоритма в реализации прикладной функции ВМ, которая при решении задач требовала четко определенной последовательности расчетных операций, позволявшей получить из исходных данных задачи требуемый результат. 2. Роль алгоритма в реализации прикладной функции ВМ, которая при решении задач требовала четко определенной последовательности расчетных операций, позволявшей получить из исходных данных задачи требуемый результат. Это было естественно в до-компьютерную эпоху и на начальных этапах развития компьютерной математики. Но за это время на порядки выросли объемы данных, их сложность и число операций, но алгоритмический принцип оставался прежним. Это было естественно в до-компьютерную эпоху и на начальных этапах развития компьютерной математики. Но за это время на порядки выросли объемы данных, их сложность и число операций, но алгоритмический принцип оставался прежним. Он и определил тот факт, что каждый тип задачи требовал своего метода, поскольку в данном случае разрабатывая алгоритм для очередного класса проблем, за деревьями лес проблемы в целом разглядеть не удавалось. Оттуда же и картина островов на практически необозримом пространстве океана вычислительных задач.

3. Гегемония алгоритма над моделью в ВМ. Очевидно, что модель должна занимать в решении реальных задач ключевую роль, поскольку без модели объекта расчетов любые вычисления не могут быть объективизированы. При этом сама адекватная модель может и должна быть основой решения всех задач, связанных с данным объектом. Пока же положение дел в ВМ скорее обратное: модель в подавляющем числе случаев не продуктивна для расчетов и может быть использована только в качестве иллюстративного материала. Для решения же каждой реальной задачи в данном случае используется свой алгоритм, связь которого с самим объектом и с его моделью чаще всего никак не обоснована.

Алгоритм и Модель В отличие от алгоритмических методов модели реализуют прямую связь с объектом расчетов

Рассмотрим основные принципиальные различия этих двух понятий. Они становятся ясными даже на простейшем примере: x = F(y, z). Как операция, определяющая значение переменной x через значения переменных y и z, данное выражение может рассматриваться как простейший алгоритм. А как уравнение, связывающее значения x, y и z, это – элементарная модель.

В этом примере уравнение – всего лишь один из вариантов зависимости или отношения между параметрами x, y и z. В общем же случае, x, y и z совсем не обязательно числа, к ним могут относиться переменные самого разного типа, - логические, символьные, массивы, множества и т.п. При этом отношениями могут быть неравенства, логические отношения, и все остальные, вплоть до табличных зависимостей.

Модель декларативна, поскольку представляет собой множество N параметров, связанных совокупностью M отношений. При этом каждое из ее отношений в той или иной степени в явной форме демонстрирует зависимости между всеми связанным им параметрами. Соответственно модель симметрична ко всем своим параметрам, поскольку представляет собой суммарное гиперотношение между ними.

Операция же определяет зависимость между x, y и z только в направлении от y и z к x. В определенном смысле, это причинно – следственная связь, утверждающая, что значение переменной x есть функция F от значений переменных y и z. Соответственно, процедура (алгоритм) из k операций, задающая порядок выполнения этих операций для вычисления значений выходных параметров процедуры на основании заданных значений ее входных параметров, реализует цепочку причинно – следственного вывода первого из второго.

Алгоритм как «наше всё» ВМ Построение Алгоритма возможно только тогда, когда такой вывод может быть прослежен и формально организован. И хотя он определяет только зависимость выходных параметров от входных, но их взаимосвязь для объекта расчета при этом заведомо сложнее, поскольку, как минимум, существует и обратная зависимость, обычно далеко не однозначная. При расчетах нам эта обратная связь часто нужна: например, при расчете объекта А требуется не только определение выходных параметров, но и попадание их значений в заданные ограничения. Т.е., по сути, роль и тех и других, а, следовательно, прямой и обратной связи в прикладном смысле уравнивается.

Все сказанное относительно Алгоритма отражает ту специфику общепринятой, воспринимаемой как естественная и единственно возможная, парадигмы ВМ, при которой процесс разработки метода и сам алгоритм становится своего рода прокрустовым ложем, а решение задачи – в отсечение всего того, что в это ложе не укладывается.

Поскольку для сегодняшней ВМ любая реальная прикладная проблема некая точка в океане, то для ее решения современная парадигма предлагает лишь один способ: ориентируйся на ближайший остров. Там умеют справляться только с своей постановкой, которую могут внешне связать и с вашей задачей. А какое отношение имеет полученное решение к тому, которое требуется для дела, - возможно, и никакого. Но это, так сказать, уже проблемы, находящиеся вне сферы ВМ.

При этом, вычисляя результат выбранным методом с максимальной (много порядков) точностью, его надо в случае вашей задачи умножить на воображаемый достаточно грубый коэффициент «для большей надежности результата». Одновременно стоит помнить и о том, что суммарная ошибка самого метода, связанная как с его выбором для данной задачи, так и накопленная в процессе вычислений, часто может привести к полной потере качества результата.

Здесь мы постоянно имеем дело с тесной связью технологии ВМ с доброй старой традицией: искать ключ под уличным фонарем не потому, что он потерян на этом месте, а потому что здесь сейчас намного светлее.

Модель в роли Золушки В отличие от Алгоритма Модель суммарно фиксирует (хотя и не так явно) связи всех параметров со всеми. Она является как бы портретом объекта моделирования, представляющим все доступные для формализации знания автора модели о предмете. Конечно, при этом возможно, что: Знания неполны, плохо формализуемы, противоречивы и т.п., Модель по разным причинам отражает не все знания автора, «Портрет» в той или иной степени далек от сходства, вплоть до полного искажения оригинала. Но аналогичные недостатки присущи и алгоритму. Так что, если ориентироваться на более или менее адекватную модель, то она должна в неявной форме определять решение всех (или значительного числа) задач, связанных с объектом модели.

Модель, заданная N параметрами и M отношениями, определяет в соответствующем N-мерном пространстве множество точек, удовлетворяющих всем M отношениям. Таким образом, она задает все пространство решений, которое является базой для того, чтобы: Исследовать его, проверяя на адекватность саму модель, а также Исследовать его, проверяя на адекватность саму модель, а также Искать в нем решения любых, связываемых с моделью задач, либо оптимизируя решения по тем или иным условиям, либо уточняя постановку соответствующими дополнительными ограничениями на те или иные параметры. Искать в нем решения любых, связываемых с моделью задач, либо оптимизируя решения по тем или иным условиям, либо уточняя постановку соответствующими дополнительными ограничениями на те или иные параметры. Таким образом, Модель – это совсем не Алгоритм, который (а) не достаточно ясно связан с объектом расчетов и (б) решает отдельную частную задачу расчетов от входа к выходу.

И, наконец, одно из ключевых преимуществ Модели – это то, что каждое ее отношение работает как независимая составляющая. Это позволяет строить реальную модель коллективными усилиями многих экспертов, причем даже без прямой кооперации авторов модели, т.е. без знания каждого о вкладе остальных. При этом их знания далеко не всегда должны являться истиной в последней инстанции и могут быть противоречивы, это не мешает всей модели функционально быть произведением этих знаний (конъюнкцией ограничений), а не их простой суммой. Что и способно обеспечивать результат, при котором адекватность модели, т.е. ее возможности в решении прикладных задач, может многократно превосходить компетенцию каждого из ее создателей.

Достаточно сложная модель - например, модель экономики - слишком многомерна и функционально необозрима для выделения в ней отдельных причинно-следственных связей. Она может быть только либо достаточно качественной, демонстрируя свою способность быть похожей на объект моделирования, либо оказаться в этом отношении неадекватной. «Объяснить» почему курс доллара сегодня именно таков невозможно, поскольку это результат взаимодействия многих факторов. Это может предсказать достаточно адекватная модель, но никак не очередной гуру, поскольку (а) в его голове вся модель уместиться не может и (б) даже если бы она там оказалась, то перевести соответствующую многомерную взаимосвязь в наглядные пояснения невозможно.

МОДЕЛЬАЛГОРИТМ Представляет все знания об Объекте Моделирования. В неявной форме определяет решение всех связанных с ним задач. Определяет в явной форме процедуру решения только одной задачи, отношение которой к реальному Объекту не всегда очевидно. Представляет собой сумму знаний об Объекте и может создаваться коллективно, причем даже без кооперации авторов модели, т.е.без знания каждого о вкладе остальных. Является суперпозицией методов, что требует от разработчика четкого представления о методах и процедурах, используемых им в качестве вложенных составляющих алгоритма. В общем случае определяет все пространство решений Традиционный (не интервальный) алгоритм позволяет получать только отдельные точечные решения. Симметрична по отношению к параметрам, поскольку отражает все взаимосвязи между ними, косвенно определяя их друг через друга. Р азделяет параметры на входные и выходные, явным образом определяя вторые через первые Может быть недоопределенной. Алгоритм и недоопределенность - несовместимые понятия. Принципиально декларативна.В определенном смысле, антидекларативна.

Точка бифуркации Если эти недостатки текущей парадигмы ВМ не были преодолимы до появления мощной вычислительной техники, то теперь ситуация изменилась принципиально: Сложность и многообразие задач стремительно растет, Сложность и многообразие задач стремительно растет, Возможности их решения качественно расширяются, Возможности их решения качественно расширяются, Недостатки текущей ВМ становятся все более очевидными и мешающими. Недостатки текущей ВМ становятся все более очевидными и мешающими.

Таким образом, для преодоления кризиса в ВМ необходима новая парадигма, в которой: A. Спецификация задачи должна определяться ее моделью, а процесс решения стать достаточно универсальным, что позволит перейти от «островной» карты ВМ к «материковой», охватывающей большие пространства прикладных задач. B.Аппарат определения задачи должен стать более адекватным для реальных проблем с учетом их естественных свойств. C. Метод и специализированный алгоритм должны быть ВМ. C. Метод и специализированный алгоритм должны быть исключены из технологической палитры разработчика и пользователя ВМ.

Очередной раз возникает вопрос о том, насколько реальны эти благие пожелания, сколько времени и сил должно уйти на их реализацию?

Новая парадигма Ответ в данном случае очевиден. 1. Обозначенные выше в п.1 свойства реальных задач, такие как неполнота, неточность, недоопределенность, противоречивость и многие другие, активно изучаются и частично используются в приложениях. Автор назвал их в свое время НЕ-факторами [1,2,3].

2. Наиболее важное из них и достаточно разработанное к настоящему времени, Недоопределенность, является основой действующей вычислительной технологии, обеспечивающей свойства А, В и С. 3. Она базируется именно на концепции Модели и уже доказала свою эффективность на широком спектре реальных задач. В частности, она обладает естественной параллельностью, снимающей проблему распараллеливания, которая сегодня является камнем преткновения применения многопроцессорных систем.

Изменение карты СМ со сменой парадигмы можно проиллюстрировать на примере решения задачи системы линейных уравнений. Известные методы требуют «чистоты» формулировки задачи, - полноты системы, т.е. совпадения числа вещественных переменных и связывающих их линейных зависимостей. Любое отклонение от этой «чистоты»: Неполнота системы, Неполнота системы, Нелинейность части уравнений, Нелинейность части уравнений, Недоопределенность коэффициентов, и т.п.Недоопределенность коэффициентов, и т.п. и задача либо требует особых усилий, либо – гораздо чаще – попадает в океан.

В рамках Н-моделей все эти вариации не влияют на процесс решения: любая модель, представляющая собой множество N любых переменных (целые, вещественные, логические, символьные, и т.п.) и связывающих их M любых зависимостей (линейных и нелинейных уравнений, неравенств, и т.д.) решается одним универсальным методом. Суть которого в том, что N-мерное пространство задачи сжимается, выделяя ядро решений. Поскольку это относится к большинству алгебраических задач, то на карте ВМ появляется достаточно крупный материк, покрывающий не только часть островов, но и значительную площадь океана.

Многое из изложенного выше относится не только к ВМ. Та же Недоопределенность связана не только с числовым параметрам. Например, множество до сих пор представляло собой в основном элемент Теории множеств, прикладное значение которой оставалось до сих пор «на заднем плане». Однако использование типа данных Недоопределенное множество позволяет сопоставить частичной информации о любом числе конкретных множеств (например, в исторических или криминальных исследованиях) мощную модель, автоматически уточняющей все, что содержится в ней в неявной форме.

С п а с и б о !

Часто приходится слышать, что электронные таблицы (например, Excel) чуть ли не универсальное средство, которое не требует определения порядка вычислений, поскольку для него задание переменных и зависимостей между ними само определяет частичный порядок расчетов. Наивность такой оценки очевидна, поскольку задание для электронных таблиц – это чисто внешняя имитация модели. В первую очередь потому, что в данном случае зависимости – отнюдь не отношения, а функции (операции). Т.е. такое задание представляет собой некоторый класс алгоритмов, настолько простой, что порядок операций может определяться автоматически.

МОДЕЛЬАЛГОРИТМ а. Принципиально декларативна.а. В определенном смысле, антидекларативна. b. Симметрична по отношению к параметрам, поскольку все они неявным образом определяются друг через друга. b. Разделяет параметры на входные и выходные, явным образом определяя вторые через первые c. В неявной форме определяет решение всех задач, связанных с Объектом Модели. c. Определяет в явной форме решение только одной Задачи, отношение которой к реальному Объекту не всегда очевидно (см. ниже). d. Может быть недоопределенной. d. Алгоритм и недоопределенность - несовместимые понятия. е. В общем случае определяет пространство решений е. Традиционный (не интервальный) Алгоритм позволяет получать только отдельные точечные решения.