Раздел 3. Основные законы движения жидкости

Установившееся движение жидкости – такое движение, при котором все характеристики движения являются постоянными и не меняются во времени. В гидравлике вводятся некоторые идеальные схемы и модели, заменяющие реальный поток жидкости. Принято считать струйчатую структуру течения жидкости, в соответствии с которой поток представляется как совокупность элементарных струек, вплотную прилегающих друг к другу и образующих сплошную массу движущейся жидкости.

Линией тока называется линия, проходящая через последовательно движущиеся одна за другой частицы жидкости, векторы скоростей v которых направлены по касательным к этой линии М – М (рис. 1). Две различные линии тока не пересекаются между собой. Рис. 1. Линии тока в жидкости.

Элементарной струйкой называется струйка, боковая поверхность которой образована линиями тока, проходящими через точки очень малого (в пределе – бесконечно малого) замкнутого контура. Струйка оказывается изолированной от окружающей ее массы жидкости и имеет малую площадь поперечного сечения Δω (в пределе – dω), которая может меняться по длине. Длина этой струйки неограничена. Боковая поверхность струйки непроницаема для жидкости, т.е. ее можно представить в виде трубки, внутри которой течет жидкость.

Расход и средняя скорость жидкости Пусть в некотором поперечном сечении элементарной струйки скорость равна v. За время dt частицы жидкости переместятся на расстояние ds = vdt. Следующие за ними частицы жидкости заполнят все освобождаемое пространство, и поэтому за указанное время dt через поперечное сечение пройдет объем жидкости dW = ds · dω = v · dω · dt

Объем жидкости, протекающей через сечение за единицу времени, называют объемным расходом жидкости. Обозначая расход элементарной струйки через dQ, получим для него выражение dQ = v · dω Так как поток жидкости представляют состоящим из элементарных струек, то расход потока жидкости равен алгебраической сумме расходов элементарных струек, составляющих данный поток. При достаточно большом количестве элементарных струек в потоке жидкости от алгебраической суммы переходят к интегралу

Скорость жидкости в различных точках поперечного сечения потока, так называемая местная скорость, очевидно, может быть неодинаковой, поэтому для характеристики движения всего потока вводится средняя по всему сечению скорость потока. Средняя скорость определяется выражением из которого следует, что расход потока жидкости равен средней скорости, умноженной на площадь его поперечного сечения:

В связи с этим условие сплошности потока (или неразрывности течения) для несжимаемой жидкости можно записать в виде Для газообразной жидкости, обозначая через Q p массовый и через Q γ весовой расходы, имеем и тогда условие сплошности приобретает следующий вид:

Понятие живого сечения жидкости Живым сечением потока называют часть поперечного сечения канала (трубы), заполненную жидкостью. Так, в круглой трубе диаметром d (рис. 2, a) живое сечение потока меньше площади круга, если не все сечение трубы заполнено жидкостью. Тогда как для случая, когда все поперечное сечение занято жидкостью, живым сечением потока является площадь круга (рис. 2, б).

Смоченным периметром называют ту часть периметра живого сечения потока, по которой жидкость соприкасается со стенками канала (трубы). Смоченный периметр обозначают обычно греческой буквой χ (хи). Если, например, все сечение трубы занято жидкостью (т.е. живое сечение ), то смоченный периметр равен длине окружности: Гидравлическим радиусом называют отношение живого сечения потока к смоченному периметру, т.е. величину В частности, для круглых труб, заполненных жидкостью, гидравлический радиус равен четверти диаметра. Действительно В отопительной и вентиляционной практике широко пользуются понятием «эквивалентный диаметр», который определяют по формуле

Рис. 2. К понятию «живое сечение» трубы

Уравнение Бернулли для элементарной струйки несжимаемой жидкости и его геометрическое и энергетическое истолкование Применим известную теорему об изменении кинетической энергии механической системы к элементарной струйке несжимаемой жидкости (ρ = const). Согласно этой теореме изменение кинетической энергии рассматриваемой массы жидкости на некотором ее перемещении равно работе всех действующих внешних сил на том же перемещении. Выделим в элементарной струйке (рис. 3) сечениями I и II некоторую массу жидкости и применим теорему об изменении кинетической энергии для этой массы.

Рис. 3. К выводу уравнения Бернулли

За время dt выделенная масса, переместившись, займет положение, ограниченное сечениями I' – II'. Область между этими сечениями можно разделить на три объема: а, в и с; при этом по условию сплошности масса объема а равняется массе объема в. Приращение кинетической энергии при перемещении выделенной массы жидкости из положения I – II в положение I' – II = [К.э(с) + К.э(в)]t+dt – [К.э(а) + К.э(с)]t. где обозначено: К.э(а), К.э(в), К.э(с) – кинетические энергии объемов а, в, с соответственно. Так как движение установившееся, то кинетическая энергия жидкости объема с в моменты t и t + dt будет неизменной. Поэтому для всей выделенной массы = К.э(в) – К.э(а).

Определим величину кинетической энергии жидкости в объеме в: К.э(в) = Но откуда К.э(в) = К.э(а)= Приращение кинетической энергии рассматриваемой массы жидкости где dQ – массовый расход, одинаковый независимо от рассматриваемого сечения.

Рассмотрим все действующие внешние силы, приложенные к выделенному объему жидкости. В случае невязкой жидкости к выделенному объему приложены силы тяжести, сила давления жидкости на боковую поверхность и силы давления на торцовые площадки объема. Поскольку жидкость несжимаема, внутренняя энергия рассматриваемого объема не меняется при его перемещении, и в уравнение кинетической энергии входит только работа внешних сил. При перемещении выделенной массы жидкости из положения I – II в положение I' – II' вес жидкости в объеме с работу не совершает, и, следовательно, работа сил тяжести может быть вычислена как работа при перемещении жидкости, заключенной в объеме а, в положение жидкости, заключенной в объеме в : где z 1 и z 2 – расстояния до центров тяжести объема а и в от некоторой горизонтальной плоскости или, иначе, ордината этих центров тяжести. Или ординаты центров сечений I и II.

Работа сил давления на боковую поверхность выделенного объема равняется нулю, так как эти силы нормальны к этой поверхности. Работа сил давления на торцы равна разности Теорема об изменении кинетической энергии имеет следующий вид: После преобразований где рg = γ. Это и есть уравнение Бернулли, написанное для участка элементарной струйки между сечениями I и II.

Так как сечения I и II взяты произвольно, то для любого сечения уравнение Бернулли можно записать в виде

Геометрическое и энергетическое истолкование уравнения Бернулли Рис. 4. К геометрическому и энергетическому истолкованию уравнения Бернулли

Отнесем струйку к системе координат хуz (рис. 4) и напишем уравнением Бернулли для трех произвольных сечений струйки: где z – геометрическая высота центра тяжести сечения над плоскостью x0y; p/ γ – пьезометрическая высота; – скоростная высота или скоростной напор. Все эти величины имеют линейную размерность, следовательно, их сумма, обозначаемая через Н, имеет также размерность длины. Величину H называют полным напором в данном сечении струйки.

Для каждого поперечного сечения элементарной струйки величина Н может быть представлена совокупностью отрезков z, p/γ и, как это изображено на рис. 4. Соединив между собой концы отрезков Н, получим кривую, расположенную в горизонтальной плоскости; эту плоскость и кривую на ней называют плоскостью и линией полного напора. Соединив кривой концы отрезков p/ γ, получим линию, которую называют пьезометрической линией или пьезометрической кривой. Рис. 4 дает геометрическое истолкование уравнения Бернулли. Можно видеть, как по длине струйки меняются слагаемые этого уравнения. Если сечение расширяется и, следовательно, скорость уменьшается, то уменьшается скоростной напор, но возрастает сумма (z + p/ γ).

Если рассматривать уравнение Бернулли как уравнение энергии, то каждое слагаемое этого уравнения надо расценивать как некоторую составляющую полной энергии (потенциальную или кинетическую), и каждое из этих слагаемых должно измеряться в единицах работы. Уравнение (3.7) представлено в линейных единицах, поэтому, чтобы перевести его в уравнение работы, надо помножить его на единицу силы; если помножить его, например, на 1 Н, то уравнение не изменится, но размерность каждого слагаемого будет выражена в Н·м (Дж) и, следовательно, представит собой некоторую энергию, отнесенную к 1 Н жидкости, проходящей через данное сечение в 1 с. Такую энергию называют удельной. В соответствии с этим z будет удельной потенциальной энергией, обусловленной тем, что данный 1 Н жидкости находится на высоте z (относительно плоскости у0х) и может совершать работу, равную z, Дж. Аналогично p/ γ будет удельной потенциальной энергией, зависящей от давления р. Таким образом, тот же 1 Н жидкости, находящейся на высоте z, обладает еще энергией давления, равной p/ γ Дж. Итак, p/ γ потенциальная удельная энергия давления. Величина V 2 /2g зависит от скорости, следовательно, это будет удельная кинетическая энергия. Пьезометрическая линия отделяет область изменения потенциальной энергии от области изменения кинетической энергии.

C энергетической точки зрения уравнение Бернулли показывает, что сумма потенциальной энергии (положения и давления) и кинетической энергии есть величина постоянная, т.е. одинаковая по пути данной элементарной струйки невязкой жидкости. Полная удельная энергия остается неизменной. Таким образом, уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения механической энергии при движении идеальной жидкости.

Уравнение Бернулли для потока с поперечным сечением конечных размеров В случае плавно изменяющегося течения уравнение Бернулли, составленное для элементарной струйки, можно распространить на поток с поперечным сечением конечных размеров (в таком потоке скорости в различных точках поперечного сечения различны). Течение называют плавно изменяющимся, если угол расхождения между соседними элементарными струйками настолько мал, что составляющими скорости в поперечном сечении можно пренебречь. В этих условиях распределение давления по поперечному сечению следует закону гидростатики, т.е. величина p/ γ + z одинакова для всех точек сечения.

Рассмотрим поток как совокупность элементарных струек. Энергия каждой отдельной элементарной струйки. Энергия всего потока Первое слагаемое выражает потенциальную энергию потока; с учетом замечания о плавно изменяющемся течении эта энергия определится следующим образом:

Второе слагаемое выражает кинетическую энергию. Так как dQ = vdω, то Местную скорость v можно представить в виде v = v ср + ε, где v ср – средняя скорость, ε – разность v – v ср (ε, = 0). С учетом сплошности потока v ср = v. Сделав подстановку, получим

Обозначив для краткости последнюю скобку равной α, получим для кинетической энергии потока В результате для энергии всего потока имеем откуда удельная энергия потока полную энергию (напор) потока. что и определяет собой полную энергию (напор) потока.

Таким образом, уравнение Бернулли для потока отличается от такового для элементарной струйки тем, что здесь скоростной напор, определяемый средней скоростью, дополнен коэффициентом α, носящим название коэффициента Кориолиса. Величина этого коэффициента зависит от степени неравномерности распределения скорости по сечению. Этот коэффициент всегда больше единицы (за исключением случая, когда местные скорости в данном сечении равны между собой, тогда α = 1) и при обычном распределении скоростей равняется 1,1; во многих случаях (например, при расчете трубопроводов) практически можно полагать α = 1. Для потока вязкой жидкости уравнение Бернулли дополняется четвертым слагаемым – потерянным напором Δhω, что приводит к записи этого уравнения в виде

Задачи 1. Определить давление р 1 в сечении 1 – 1 горизонтально расположенной трубы, необходимое для придания скорости воде в выходном сечении 2 – 2 v 2 = 40 м/с, если скорость движения воды в сечении 1 – 1 v 1 = 3 м/с, вода вытекает в атмосферу. 2. Определить диаметр d суженной части горизонтального трубопровода, при котором вода поднимается на высоту h = 3,5 м, если расход Q = 6 л/с, диаметр D = 10 см).

3. Определить диаметр d суженной части горизонтального трубопровода, если расход Q = 6 л/с, диаметр D 1 = 10 см, давление р 1 = 10 МПа,р 2 = 3 МПа.

4. Построить график распределения энергии уравнения Бернулли, если в трубу вставлены три трубки Пито, по которым произведены наблюдения приподаче воды в трубу Номер сечен ия Рассто яние, см Энерг ия полож ения, z, см Полна я энерг ия Потер и энерг ии, см Δh Диаме тр, см 1531,365,959,928,66, ,062,444,321,318,13, ,056,354,536,51,89,613