Обобщающий урок на тему: «Применение производной и ее графика для чтения свойств функций» Задачи урока: Выработать специфические умения и навыки по работе с графиком производной функции для их применения при сдаче ЕГЭ; Формировать умения читать свойства функции по графику её производной Подготовиться к контрольной работе

Автор разработки урока Кириллова Ирина Анатольевна – учитель математики МОБУ «Ново- Сережкинская СОШ» Стаж работы: 28 лет Образование: высшее Квалификационная категория: первая

План урока 1.Актуализация опорных знаний (АОЗ) 2.Отработка знаний, умений, навыков по теме 3.Тестирование (Задание В8) 4.Взаимопроверка, выставление оценок «соседу» 5.Подведение итогов урока

Актуализация опорных знаний прП 1.Определение производной

Актуализация опорных знаний Геометрический смысл производной функции в точке состоит в существовании касательной к графику функции в этой точке. 2.Геометрический смысл производной

Актуализация опорных знаний 3.Связь между значениями производной, угловым коэффициентом касательной, углом между касательной и положительным направлением оси ОХ Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке, то есть тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс. Если производная положительна, то угловой коэффициент -положителен, тогда угол наклона касательной к оси ОХ – острый. Если производная отрицательна, то угловой коэффициент -отрицателен, тогда угол наклона касательной к оси ОХ – тупой. Если производная равна нулю, то угловой коэффициент равен нулю, тогда касательная параллельна оси ОХ

Актуализация опорных знаний Достаточные признаки монотонности функции. Если f ( x ) > 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) возрастае т на этом интервале. Если f ( x ) < 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) убывает на этом интервале. Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак. 4. Применение производной для определения промежутков монотонности функции

Актуализация опорных знаний Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум, рис.5а,б). В точках x 1, x 2 ( рис.5a ) и x 3 ( рис.5b ) производная равна 0; в точках x 1, x 2 ( рис.5б ) производная не существует. Но все они точки экстремума. 5. Применение производной для определения критических точек, точек экстремума

Актуализация опорных знаний Необходимое условие экстремума. Если x 0 - точка экстремума функции f(x) и производная f существует в этой точке, то f(x 0 )=0. Эта теорема - необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции f ( x ) = x 3 равна 0 при x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке С другой стороны, функция y = | x | имеет минимум в точке x = 0, но в этой точке производная не существует. Достаточные условия экстремума. Если производная при переходе через точку x 0 меняет свой знак с плюса на минус, то x 0 - точка максимума. Если производная при переходе через точку x 0 меняет св ой знак с минуса на плюс, то x 0 - точка минимума. 6. Необходимые и достаточные условия экстремума

Актуализация опорных знаний Наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции f(x) могут достигаться как во внутренних точках отрезка [а; в], так и на его концах. Если эти значения достигаются во внутренних точках отрезка, то эти точки являются точками экстремума. Поэтому надо найти значения функции в точках экстремума из отрезка [а; в], на концах отрезка и сравнить их. 7. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

1. Отработка знаний, умений и навыков по теме По следующим данным, приведённым в таблице, охарактеризуйте поведение функции. Шпаргалка для практической работы х(-3;0)0(0;4)4(4;8)8(8;+) f΄(x) f(x)

Характеристика поведения функции 1.ОДЗ: х принадлежит промежутку от -3 до +; 2.Возрастает на промежутках (-3;0) и (8;+); 3.Убывает на промежутках (0;8); 4.Х=0 – точка максимума; 5.Х=4 – точка перегиба; 6.Х=8 – точка минимума; 7.f(0) =-3; f(0) =-5; f(0) = 8;

2. Отработка знаний, умений и навыков по теме Функция у=f(х) определена на промежутке [-5; 6]. График ее производной её производной изображен на рисунке. Укажите число её точек максимума на промежутке [-5; 6 ] Ответ: 3.

3. Отработка знаний, умений и навыков по теме Функция у=f(х) определена на промежутке [-4; 8].. График ее производной изображен на рисунке. Укажите число промежутков возрастания функции. Ответ: 3.

4. Отработка знаний, умений и навыков по теме Ответ: Функция у=f(х) определена на промежутке (-5;7). На рисунке изображен график ее производной. Найдите промежутки убывания функции у=f(х). В ответе укажите наибольшую из длин этих промежутков. Ответ: 4.

5. Отработка знаний, умений и навыков по теме Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 6]. Сформулируйте 10 вопросов на определение свойств функции по графику производной y = f'(x) Ваша задача не просто давать правильный ответ, а умело его аргументировать (доказывать), с использованием соответствующих определений, свойств, правил.

Список вопросов (откорректированных) 1) количество промежутков возрастания функции y = f(x); 2) длину промежутка убывания функции y = f(x); 3) количество точек экстремума функции y = f(x); 4) точку максимума функции y = f(x); 5) критическую (стационарную) точку функции y = f(x), которая не является точкой экстремума; 6) абсциссу точки графика, в которой функция y = f(x) принимает наибольшее значение на отрезке [0; 4]; 7) абсциссу точки графика, в которой функция y = f(x) принимает наименьшее значение на отрезке [–2; 2]; 8) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная перпендикулярна оси OУ; 9) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная образует с положительным направлением оси OХ угол 60°; 10) абсциссу точки графика функции y = f(x), в которой угловой коэффициент Ответ: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.

Тестирование (В8 из ЕГЭ) 1.Задания теста представлены на слайдах. 2.В таблицу заносите ответы. 3.После завершения теста меняетесь бланками с ответами, проверяете работу соседа по готовым результатам; оцениваете. 4.Проблемные задания рассматриваем и обсуждаем вместе.

На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной в точке х 0 1)-2 2) 1,5 3) 3 4) 0 Рис а Рис б У=f(х)

В какой из указанных точек производная функции, график которой изображен на рисунке, отрицательна? 1) 2) 3) 4) У=f(х)

Найти точку Х 0, в которой функция принимает наименьшее значение Найти точку Х 0, в которой функция принимает наибольшее значение

К графику функции у =f( x) в его точке с абсциссой x 0 =2 проведена касательная. Определите угловой коэффициент касательной, если на рисунке изображен график производной данной функции. Функция у=f(х) определена на промежутке (-5;5). На рисунке изображен график производной этой функции. Найдите количество точек графика функции, в которых касательные параллельны оси абсцисс. 1

Функция определена на промежутке (-5;6). На рисунке изображен график её производной. Укажите количество точек, в которых касательные наклонены под углом 135 ° к положительному направлению оси абсцисс. Функция определена на промежутке (-6;6). На рисунке изображен график её производной. Укажите количество точек, которых касательные наклонены под углом 45° к положительному направлению оси абсцисс.

Функция у = f(х) определена на отрезке [-6;6]. График её производной изображен на рисунке. Укажите число промежутков возрастания функции у = f(х)на отрезке [-6;6]. Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;5]. График её производной изображен на рисунке. Укажите число точек максимума функции у = f(х)на отрезке [-5;5].

Функция у = f(х) определена на отрезке [a;b]. График её производной изображен на рисунке. Укажите число точек минимума функции у =f(х)на отрезке [a;b]. Функция у = f(х) определена на отрезке [-6;6]. График её производной изображен на рисунке. Укажите число промежутков убывания функции у=f(х)на отрезке [-6;6]. ab

Функция у = f(х) определена на отрезке [-6;6]. График её производной изображен на рисунке. Найдите промежутки возрастания функции у = f(х) на отрезке [-6;6]. В ответе укажите наименьшую из длин этих промежутков. Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;5]. График её производной изображен на рисунке. Найдите промежутки убывания функции у = f(х) на отрезке [-5;5]. В ответе укажите наибольшую из длин этих промежутков.

Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;4]. График её производной изображен на рисунке. Определите наименьшее из тех значений X, в которых функция имеет максимум. Функция у = f(х) определена на отрезке [-5;5]. График её производной изображен на рисунке. Определите наименьшее из тех значений X, в которых функция имеет минимум.

Используя график производной функции у = f(x), найдите значение функции в точке х = 5, если f(6) = 8 Используя график производной функции у = f(x), найдите значение функции в точке х = - 3, если f(- 5) = 0

Функция у = f(х) определена на промежутке (-6,6).На рисунке изображена производная данной функции. Найдите точку минимума функции. Функция у = f(х) определена на промежутке (-6,7).На рисунке изображена производная данной функции. Найдите точку максимума функции.

,

Решение задания 19 Используя график производной функции у = f(x), найдите значение функции в точке х = 5, если f(6) = 8 Для х 3 f (x) =k=3, следовательно на данном промежутке касательная задана формулой у=3х+b. Значение функции в точке касания совпадает со значением касательной. По условию f(6) = 8 8=3·6 + b b = -10 f(5) =3·5 -10 = 5 Ответ: 5

Подведение итогов урока Мы рассмотрели взаимосвязь монотонности функции и знака ее производной, достаточные условия существования экстремума. Рассмотрели различные задания на чтение графика производной функции, которые встречаются в текстах единого государственного экзамена. Все рассмотренные нами задания хороши тем, что на их выполнение не нужно много времени. Во время единого государственного экзамена это очень важно: быстро и правильно записать ответ.

Домашняя работа: задача, связанная с чтением одного и того же графика, но в одном случае это график функции, а в другом график ее производной. Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 5]. На рисунке приведен: а) график функции y = f(x); б) график производной y = f'(x). По графику определите: 1) точки минимума функции y = f(x); 2) количество промежутков убывания функции y = f(x); 3) абсциссу точки графика функции y = f(x), в которой она принимает наибольшее значение на отрезке [2; 4]; 4) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная параллельна оси OХ (или совпадает с ней).

Литература 1.Учебник Алгебра и начала анализа 11 класс. С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.. Москва. «Просвещение» ЕГЭ Математика. Типовые тестовые задания. 3.Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по математике. Выпускной, вступительный, ЕГЭ на +5. М. «ВАКО» Интернет-ресурсы.