1)Определения. 2)Общие замечания о положении центра шара. 3)Комбинация шара с призмой. 4)Комбинация шара с пирамидой. 5)Комбинация шара с усеченной пирамидой. 6)Комбинация шара с телами вращения. 7)Задачи 8)Применение 9)Формулы 10)Задания 11)Список литературы 12)Список сайтов

Выпуклый многогранник называется вписанным, если все его вершины лежат на некоторой сфере. Эта сфера называется описанной для данного многогранника. Выпуклый многогранник называется описанным, если все его грани касаются некоторой сферы. Эта сфера называется вписанной для данного многогранника. О S A B C D О S A B C D... R..

1. Центр шара, вписанного в многогранник, лежит в точке пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника. Он расположен только внутри многогранника. 2. Центр шара, описанного около многогранника, лежит в точке пересечения плоскостей, перпендикулярных ко всем ребрам многогранника и проходящих через их середины. Он может быть расположен внутри, на поверхности и вне многогранника.. О

Сферу можно описать около призмы в том и только в том случае, если призма прямая и около ее основания можно описать окружность. Центр сферы, описанной около прямой призмы, лежит на середине высоты призмы, проведенной через центр круга, описанного около основания. Сферу, в частности, можно описать: около прямой треугольной призмы, около правильной призмы, около прямоугольного параллелепипеда, около прямой четырехугольной призмы, у которой сумма противоположных углов основания равна 180 градусов. О L K A BC D E F...

Центр сферы, вписанной в прямую призму, лежит в середине высоты призмы, проходящей через центр окружности, вписанной в основание. Сферу, в частности, можно вписать в прямые: треугольную, правильную, четырехугольную (у которой суммы противоположных сторон основания равны между собой) при условии Н = 2r, где Н – высота призмы, r – радиус круга, вписанного в основание. DM=OK O K M B O D A Сферу можно вписать в прямую призму в том и только в том случае, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности..... АО=ОВ... О

Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать сферу. Центр сферы, вписанной в пирамиду, у которой боковые грани одинаково наклонены к основанию, лежит в точке пересечения высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла любого двугранного угла при основании пирамиды, стороной которого служит высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды. В правильную пирамиду можно вписать сферу. S C A B O D O S A B C D... R D S A B C

Около пирамиды можно описать сферу в том и только в том случае, если около ее основания можно описать окружность. Центр сферы, описанной около пирамиды лежит в точке пересечения прямой, перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр окружности, описанной около этого основания, и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведенной через середину этого ребра. S A B C O S A B C O K

S A D B C O L Если боковые ребра пирамиды равны между собой (или равно наклонены к плоскости основания), то около такой пирамиды можно описать сферу. Центр этой сферы в этом случае лежит в точке пересечения высоты пирамиды (или ее продолжения) с осью симметрии бокового ребра, лежащей в плоскости бокового ребра и высоты. Сферу, в частности, можно описать: около треугольной пирамиды, около правильной пирамиды, около четырехугольной пирамиды, у которой сумма противоположных углов равна 180 градусов..

Около любой правильной усеченной пирамиды можно описать шар. (Это условие является достаточным, но не является необходимым) В правильную усеченную пирамиду можно вписать шар в том и только в том случае, если апофема пирамиды равна сумме апофем оснований.

В цилиндр (прямой круговой) можно вписать сферу в том и только в том случае, если цилиндр равносторонний. В любой конус (прямой круговой) можно вписать сферу. В усеченный конус (прямой круговой) можно вписать сферу в том и только в том случае, если его образующая равна сумме радиусов оснований. Около цилиндра, усеченного конуса (прямых круговых), конуса можно описать сферу. O. O O S AB O.. О A S B. О

Задача 1. Найдите площадь шара, вписанного в конус. Если угол между образующей и плоскостью основания равен 60, высота равна. Дано: SAB-конус (О;OK) SAK=60 SК= Найти: S=? Решение: S A B O К M L.. S O M K A B L

S O M K A B L Ответ: 12

S A B O Mr R h H Дано: Конус Н-высота R-радиус Цилиндр r-радиус Найти: S-? Задача 2. Найти цилиндр (высота-h, радиус-r) максимальной боковой поверхности, вписанный в данный конус (высота-H, радиус-R). С S B AM O C r R-r h Решение: r 0 max +-

Задача 3. В шар с радиусом 5 вписан цилиндр с высотой Н. Найдите радиус основания цилиндра. O Дано: (O;OR) H-высота Цилиндр Найти: R=? Решение: H R R r r А ВC Ответ: 4cм.. A BC. O H R

В строительную фирму поступил заказ на проектирование и постройку дома цилиндрической формы с радиусом основания 10 м. Крыша сферической формы, но комната должна иметь форму прямоугольного параллелепипеда с высотой потолка 2,5 м и наибольшей площади. Дано: Найти: Решение:

Ответ: х 0 max +-

Проектирование необычных фасадов зданий.

Поиск наиболее удобных сочетаний внешнего вида дома и внутренней жилой площади. Нахождение наибольших объёмов при заданных параметрах строительства. S A B O O. О

Можно ли описать сферу (шар) около: а) куба б) прямоугольного параллелепипеда в) наклонного параллелепипеда да нет Справедливо ли утверждение, что около любой треугольной пирамиды можно описать сферу? данет

Можно ли описать сферу около любой четырехугольной пирамиды? В основании призмы: При каком условии центр сферы, описанной около прямой треугольной призмы, лежит: данет вне призмы?внутри призмы? тупоугольный треугольник остроугольный треугольник

При каком условии центр сферы, описанной около прямой треугольной призмы, будет находится на одной из боковых граней призмы? В основании лежит прямоугольный треугольник Около треугольной призмы описана сфера, центр которой лежит вне призмы. Какой треугольник является основанием призмы? Тупоугольный треугольник

Во всякий ли конус можно вписать сферу? В основании прямой призмы лежит ромб. Можно ли в эту призму вписать сферу? данет данет Можно ли описать сферу около наклонной призмы? данет

Можно ли описать сферу около цилиндра (прямого кругового)? Во всякий ли цилиндр можно вписать сферу? Можно ли описать сферу около конуса, усеченного конуса (прямых круговых)? данет да нет данет

А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Учебник для 10 класса школ с углубленным изучением математики Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. Геометрия 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10 – 11 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений И. Ф. Шарыгин. Геометрия классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений.