Решение задач по теории вероятности Выполнили: учитель математики ГКООУ «Санаторная школа-интернат г.Петровска Саратовской области» Матвиенко Е.В. и учитель математики МБОУООШ п.Мирный Сёмина Т.Е. Петровск -2013

Справочный материал Элементарные события (исходы) Элементарные события (исходы) – простейшие события, которыми может окончится случайный опыт. Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1. Р(А)сумме вероятностей Р(А) равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию. хотя бы одному из событий А,В (объединение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А,В обоим событиям А и В. (пересечение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В. А называется противоположным событию А, если состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые не входят в А. Несовместные события Несовместные события – это события, которые не наступают в одном опыте.

Вероятности противоположных событий: Формула сложения вероятностей: Формула сложения для несовместных событий: Формула умножения вероятностей: Условная вероятность В при условии, что А наступило Формула вероятности k успехов в серии из n испытаний Бернулли: р – вероятность успеха, q=1-p вероятность неудачи в одном испытании

Схема решения задач: 1.Определить, в чем состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события. Убедиться, что они равновероятны. 2.Найти общее число элементарных событий (N) 3.Определить, какие элементарные события благоприятствуют событию А, и найти их число N(A). 4.Найти вероятность события А по формуле

Задача 1. Задача 1. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что игру будет начинать Петя. Решение: Случайный эксперимент – бросание жребия. Элементарное событие – участник, который выиграл жребий. N=4 Число элементарных событий: N=4 N(A)=1 Событие А = {жребий выиграл Петя}, N(A)=1 Ответ: 0,25

Задача 2. Задача 2. ( ) В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Решение: N=1400 Число элементарных событий: N=1400 N(A)= =1386 Число исходов, благоприятствующих событию А: N(A)= =1386 Ответ: 0,99 Благоприятное событие А: выбранный насос не подтекает.

Задача 3. Задача 3. ( ) Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Решение: N=190+8=198 Число элементарных событий: N=190+8=198 N(A)= 190 Число исходов, благоприятствующих событию А: N(A)= 190 Ответ: 0,96 Благоприятное событие А: купленная сумка оказалась качественной.

Реши самостоятельно! Дежурные по классу Алексей, Иван, Татьяна и Ольга бросают жребий - кому стирать с доски. Найдите вероятность того, что стирать с доски достанется одной из девочек. Алексей Иван Татьяна Ольга Ответ: 0,5

Реши самостоятельно! Бабушка решила дать внуку Илюше на дорогу какой-нибудь случайно выбранный фрукт. У неё было 3 зелёных яблока, 3 зелёных груши и 2 жёлтых банана. Найдите вероятность того, что Илюша получит от бабушки фрукт зелёного цвета? 3 яблока 3 груши 2 банана Ответ: 0,75

Задача 4. Задача 4. Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4? Решение: Случайный эксперимент – бросание кубика. Элементарное событие – число на выпавшей грани. Ответ:1/3 Всего граней: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Элементарные события: N=6N(A)=2

Реши самостоятельно! В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, меньшее, чем 4. Ответ: 0,5 1, 2, 3, 4, 5, 6

Реши самостоятельно! Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три? 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 Ответ: 0,3

Реши самостоятельно! В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет чётное число. Ответ: 0,5 1, 2, 3, 4, 5, 6

Реши самостоятельно! В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, отличающееся от числа 3 на единицу. Ответ: 1/3 1, 2, 3, 4, 5, 6

Задача 5. В Задача 5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение: орел - Орешка - Р Возможные исходы события: 1 бросок 2 бросок О РО О О Р РР N=4 N(A)=2 Ответ:0,5 4 исхода

12 ОО ОР РО РР Реши самостоятельно! В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадет ОРЕЛ, во второй - РЕШКА) Ответ: 0,25

12 ОО ОР РО РР Реши самостоятельно! В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно 2 раза. Ответ: 0,25

12 ОО ОР РО РР Реши самостоятельно! хотя бы один Монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы один ОРЕЛ. Ответ: 0,75

Числа на выпавших сторонах Задача 6. Задача 6. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Множество элементарных исходов: Решение: N=36 A= {сумма равна 8} N(А)=5 Ответ:5/36

Реши самостоятельно! Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз выпадет число 6. Ответ: 1/6 Числа на выпавших сторонах Всего вариантов 36 Комбинаций с первой «6» 61,62,63,64,65,66

Реши самостоятельно! Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз и во второй раз выпадет одинаковое число очков. Ответ: 1/6 Числа на выпавших сторонах

Реши самостоятельно! Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А={сумма очков равна 5} Ответ: 4 Числа на выпавших сторонах

Реши самостоятельно! Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3? Ответ: 5/12. Числа на выпавших сторонах

Реши самостоятельно! Игральную кость (кубик) бросают дважды. Найдите вероятность того, что один раз выпало число, большее 3, а другой раз - меньшее 3? Ответ: 1/3. Числа на выпавших сторонах

Реши самостоятельно! Игральный кубик бросают дважды. Какая сумма очков наиболее вероятна? Ответ: 7 Числа на выпавших сторонах

Реши самостоятельно! В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Ответ: 1/6 Числа на выпавших сторонах

Решение: 1 бросок 2 бросок 3 бросок ООО О О О Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р О О О О О О Множество элементарных исходов: N=8 A= {орел выпал ровно 2 } N(А)=3 Ответ: 0,375 8 исходов Задача 7. Задача 7. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что орел выпал ровно два раза.

Реши самостоятельно! Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза. Ответ: 0,375 Ф/1ОР РО Ф/2ОР РО ОР РО Ф/3ОРРООРРООРРООРРО О – орел (первый) Р – решка (второй)

Монету бросают три раза. Какова вероятность того, что результаты двух первых бросков будут одинаковы? 123 ООО ООР ОРО ОРР РОО РОР РРО РРР Реши самостоятельно! Ответ: 0,5

Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что результаты первого и последнего броска различны. 123 ООО ООР ОРО ОРР РОО РОР РРО РРР Реши самостоятельно! Ответ: 0,5

Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза. Реши самостоятельно! Ответ: 0, ОООО ОООР ООРО ООРР ОРОО ОРОР ОРРО ОРРР РООО РООР РОРО РОРР РРОО РРОР РРРО РРРР

Задача 8. Задача 8. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 – из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции. Решение: Всего спортсменов: N= = 25 A= {последний из Швеции} N=25 N(А)=9 Ответ: 0,36

Решение: N= 1000 A= {аккумулятор исправен} N(A)= 1000 – 6 = 994 Ответ: 0,994 Задача 9. Задача 9. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор окажется исправным.

Задача 10. Задача 10. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решение: 1)Определите N 2)Определите N(A) Реши самостоятельно Проверка: N = 20 N(A)= 20 – 8 – 7 = 5 Ответ: 0,25 A= {первой будет спортсменка из Китая}

2 способ 2 способ: использование формулы сложения вероятностей несовместных событий R={первая из России} A={первая из США} C={Первая из Китая} P(R) + P(A) + P(C) = 1 P(C) = 1 - P(R) - P(A)

Задача 11. Задача 11. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на 4 группы по 4 команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе. Решение: Множество элементарных событий: N=16 A={команда России во второй группе} С номером «2» четыре карточки: N(A)=4 Ответ: 0,25

В группе туристов 24 человека. С помощью жребия они выбирают трех человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдет в магазин? Реши самостоятельно! Ответ: 0,125

В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 7 спортсменов из России, 6 из Китая, 3 из Кореи, 4 из Японии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет выступать спортсмен из России. Реши самостоятельно! Ответ: 0,35

В соревнованиях по кёрлингу выступает 20 команд из 5 стран: Швеции, Норвегии, Финляндии, Канады и Дании, причем каждая страна выставила по 4 команды. Порядок выступления команд определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что семнадцатой по счету будет выступать одна из команд из Швеции, Норвегии или Дании. Реши самостоятельно! Ответ: 0,6

В соревнованиях по плаванию участвуют 4спортсмена из Германии, 6 спортсменов из Италии, 7 спортсменов из России и 5 из Китая. Порядок выступления команд определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что спортсмен из Италии Джованни Лучио будет выступать первым, вторым или третьим. Реши самостоятельно! Ответ: 3/22

В магазине канцтоваров продаётся 120 ручек, из них 15 – красных, 22 – зелёных, 27 – фиолетовых, ещё есть синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что Алиса наугад вытащила синюю или зелёную ручку. Реши самостоятельно! Ответ: 5/12

В соревнованиях по шахматам, где каждый играет с каждым, участвует 7 спортсменов из Франции, 6 спортсменов из России, 3 из Японии. Найдите вероятность того, что в первом туре французский спортсмен Жак де Шерак сыгрет с другим спортсменом из Франции. Реши самостоятельно! Ответ: 0,4

В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев оказалось 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных. Реши самостоятельно! Ответ: 0, – 2512 = 2488

Задача 12. Задача 12. Вероятность того, что шариковая ручка пишет плохо (или не пишет) равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо. Решение: A={ручка пишет хорошо} Противоположное событие: Ответ: 0,9

Задача 13. Н Задача 13. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение:А={вопрос на тему «Вписанная окружность»} B={вопрос на тему «Параллелограмм»} События А и В несовместны, т.к. нет вопросов относящихся к двум темам одновременно С={вопрос по одной из этих тем} Р(С)=Р(А) + Р(В) Р(С)=0,2 + 0,15=0,35 Ответ: 0,35

А={кофе закончится в первом автомате} B={кофе закончится во втором автомате} Р(А)=Р(В)=0,3 По формуле сложения вероятностей: Ответ: 0,52 Решение: Задача 14. Задача 14. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Реши самостоятельно! В торговом зале два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что в конце дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Ответ: 0,52 Вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате: 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48 (0,12 вычитаются, так как эта вероятность учитывалась дважды при сложении 0,3 и 0,3) Вероятность того,что кофе останется в обоих автоматах: 1 – 0,48 = 0,52.

Задача 15. Задача 15. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых. Решение:Вероятность попадания = 0,8 Вероятность промаха = 1 - 0,8 = 0,2 А={попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся} По формуле умножения вероятностей Р(А)= 0,8 0,8 0,8 0,2 0,2 Р(А)= 0,512 0,04 = 0, ,02 Ответ: 0,02

Задача 16. Задача 16. (Вариант 30). Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень 4 раза и один раз промахнется. Решение:Вероятность попадания = 0,8 Вероятность промаха = 1 - 0,8 = 0,2 По формуле умножения вероятностей Ответ: 0,4096 ( Здесь не указано конкретно в какой раз промахнется) А = {попал 1-й раз}, В = {попал 2-й раз}, С = {попал 3-й раз), D = {попал 4-й раз}, Е = {попал 5-й раз}. F = {попал 4 раза и 1 раз промахнулся}.

Задача 17. Задача 17. (Вариант 20) В показательных выступлениях по фигурному катанию участвуют 4 девушки и 4 юноши. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первые две выступают девушки. Решение: Ответ: 3/14 Пусть событие А обозначает, что первой будет выступать девушка. Р(А)= 4/8 = 1/2 Событие В обозначает. Что вторая будет выступать девушка Р(В) = 3/7 Тогда вероятность того, что первые две выступают девушки, равна Р= Р(А)Р(В) = 1/23/7=3/14

Задача 18. Задача 18. (Вариант 25) Вероятность того, что швейная машинка сломается в первый месяц использования, – 1/18, вероятность того, что сломается во второй месяц использования, - в 2 раза больше. Вере подарили машинку на Новый год. Найдите вероятность того, что к началу марта Вера еще сможет пользоваться этой машинкой. Решение: Ответ: 68/81 Переформулируем вопрос задачи. Найти вероятность того, что машинка не сломается ни в январе, ни в феврале. 17/18. Вероятность того, что не сломается в январе 17/18. 1/9, Вероятность того, что сломается в феврале 1/9, значит 8/9 вероятность того, что не сломается в феврале 8/9. По правилу умножения вероятностей: 17/18 8/9 = 68/81

Реши самостоятельно! Ответ: 0,16 Задача (Вариант 28). В двух соседних магазинах «Перекресток» и «Пятерочка» продаются ватрушки с сыром. Вероятность того, что в каком-либо магазине закончились ватрушки, - 0,2. Найдите вероятность того, что в «Пятерочке» ватрушки закончились, а в «Перекрестке» - еще нет. А = {В каком-либо магазине ватрушки закончились}, Р(А) =0,2. Ā = {В каком-либо магазине ватрушки остались}, Р(Ā)=0,8. По правилу умножения вероятностей: «В одном магазине ватрушки закончились, а в другом остались» Р = 0,2 0,8 = 0,16

Задача 19. Задача 19. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Решение: По формуле умножения вероятностей: А={хотя бы один автомат исправен} Ответ: 0,9975

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в каком-либо автомате закончится кофе, равна 0,3. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Реши самостоятельно! Ответ: 0,49

Используемая литература: 1. ЕГЭ Математика. Задача В10. Рабочая тетрадь. Авторы: И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко 2. ГИА Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/под ред. А.Л.Семёнова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2013.