Сложность 1

1.Изобразите как можно больше квадратов так, чтобы каждые два имели ровно по две общие вершины. – Решение – Ответ – Решение – Ответ – Решение – Ответ

5. Один градус шкалы Цельсия равен 1,8 градусов шкалы Фаренгейта, при этом 0° по Цельсию соответствует 32° по шкале Фаренгейта. Может ли температура выражаться одинаковым числом градусов как по Цельсию, так и по Фаренгейту? – Решение

6. Найдите в последовательности 2, 6, 12, 20, 30,... число, стоящее а) на 6-м; б) на 1994-м месте. Ответ объясните. – Подсказка – Решение – Ответ

7. В двух кошельках лежат две монеты, причём в одном кошельке монет вдвое больше, чем в другом. Как такое может быть? – Ответ

8. Четырёхугольник с длинами сторон 1, 1, 1 и 2 имеет две параллельные стороны и разбит на четыре одинаковые фигуры (см. рисунок). В результате верхняя сторона разделилась на четыре отрезка. Найдите отношение длины большего отрезка к меньшему. – Решение – Ответ

9. Расставьте по кругу 6 различных чисел так, чтобы каждое из них равнялось произведению двух соседних. – Решение – Ответ

10. Три ёжика делили три кусочка сыра массами 5 г, 8 г и 11 г. Лиса стала им помогать. Она может от любых двух кусочков одновременно отрезать и съесть по 1 г сыра. Сможет ли лиса оставить ёжикам равные кусочки сыра? – Решение – Ответ

11. Офеня купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 5 рублей, либо три ручки за 10 рублей. От каждого покупателя Офеня получает одинаковую прибыль. Какова оптовая цена ручки? – Решение – Ответ

12. Квадратную салфетку сложили пополам, полученный прямоугольник сложили пополам ещё раз (см. рисунок). Получившийся квадратик разрезали ножницами (по прямой). Могла ли салфетка распасться а) на 2 части? б) на 3 части? в) на 4 части? г) на 5 частей? Если да нарисуйте такой разрез, если нет напишите слово '' нельзя''. – Подсказка – Решение – Ответ

13. Можно ли провести из одной точки на плоскости пять лучей так, чтобы среди образованных ими углов было ровно четыре острых? Рассматриваются углы не только между соседними, но и между любыми двумя лучами. – Решение – Ответ

14. В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему 20 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки? – Решение

15. В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвует 50 боксеров. Какое наименьшее количество боев надо провести, чтобы выявить победителя? – Решение

16. В компании из k человек (k > 3) у каждого появилась новость, известная ему одному. За один телефонный разговор двое сообщают друг другу все известные им новости. Докажите, что за 2k – 4 разговора все они могут узнать все новости. – Решение

17. Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и правильно: на самом деле Валентин всё перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. С какой скоростью (в "нормальных" м/мин) бегает таракан Валентин? – Решение

18. Куб сложен из 27 одинаковых кубиков (см. рис.). Сравните площадь поверхности этого куба и площадь поверхности фигуры, которая получится, если из него вынуть все "угловые" кубики. – Решение – Ответ

19.Существует ли выпуклый четырехугольник, у которого сумма длин диагоналей не меньше, чем сумма длин всех сторон? – Решение – Ответ

20. Можно ли разлить 50 л бензина по трём бакам так, чтобы в первом баке было на 10 л больше, чем во втором, а после переливания 26 л из первого бака в третий в третьем баке стало столько же бензина, сколько во втором? – Подсказка – Решение – Ответ

21. Автомат при опускании гривенника выбрасывает пять двушек, а при опускании двушки - пять гривенников. Может ли Петя, подойдя к автомату с одной двушкой, получить после нескольких опусканий одинаковое количество двушек и гривенников? – Решение – Ответ

22.Известно, что доля блондинов среди голубоглазых больше, чем доля блондинов среди всех людей. Что больше: доля голубоглазых среди блондинов или доля голубоглазых среди всех людей? – Решение – Ответ

23. Три бегуна - X, Y и Z - участвуют в забеге. Z задержался на старте и выбежал последним, а Y выбежал вторым. Z во время забега менялся местами с другими участниками 6 раз, а X - 5 раз. Известно, что Y финишировал раньше X. В каком порядке они финишировали? – Решение

24. Дано 1989 чисел. Известно, что сумма любых 10 из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел тоже положительна. – Решение

25. Решить в натуральных числах уравнение: x + 1/(y + 1/z) = 10/7 – Решение

26. Докажите, что если произведение двух положительных чисел больше их суммы, то сумма больше четырёх. – Решение

27. Найдите 10 различных натуральных чисел, обладающих тем свойством, что их сумма делится на каждое из них. – Решение

28. На экране компьютера горит число, которое каждую минуту увеличивается на 102. Начальное значение числа 123. Программист Федя имеет возможность в любой момент изменять порядок цифр числа, находящегося на экране. Может ли он добиться того, чтобы число никогда не стало четырёхзначным? – Решение – Ответ

29. На шахматной доске 4*4 расположена фигура - "летучая ладья", которая ходит так же, как обычная ладья, но не может за один ход стать на поле, соседнее с предыдущим. Может ли она за 16 ходов обойти всю доску, становясь на каждое поле по разу, и вернуться на исходное поле? – Решение

30. Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, а один - с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.) – Решение – Ответ

31. Найдите какие-нибудь пять натуральных чисел, разность любых двух из которых равна наибольшему общему делителю этой пары чисел. – Ответ

32. У кассира было 30 монет: 10, 15 и 20 копеек на сумму 5 рублей. Докажите, что 20-копеечных монет у него было больше, чем 10- копеечных. – Решение

33. Сто человек ответили на вопрос: "Будет ли новый президент лучше прежнего?" Из них a человек считают, что будет лучше, b - что будет такой же, и c - что будет хуже. Социологи построили два показателя "оптимизма" опрошенных: m=a+b/2 и n=a-c. Оказалось, что m=40. Найдите n. – Решение – Ответ

34. В парламенте некоторой страны две палаты, имеющие равное число депутатов. В голосовании по важному вопросу приняли участие все депутаты, причём воздержавшихся не было. Когда председатель сообщил, что решение принято с преимуществом в 23 голоса, лидер оппозиции заявил, что результаты голосования сфальсифицированы. Как он это понял? – Подсказка – Решение

35. Среди математиков каждый седьмой философ, а среди философов каждый девятый математик. Кого больше: философов или математиков? – Подсказка – Решение – Ответ

36. Три землекопа за два часа выкопали три ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за пять часов? – Подсказка – Решение – Ответ

37. Как, не отрывая карандаша от бумаги, провести шесть отрезков таким образом, чтобы оказались зачёркнутыми 16 точек, расположенных в вершинах квадратной сетки 4 на 4? – Ответ

38. Три землекопа за три часа выкопали три ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за пять часов? – Подсказка – Решение – Ответ

39. Автомат при опускании гривенника выбрасывает пять двушек, а при опускании двушки - пять гривенников. Может ли Петя, подойдя к автомату с одной двушкой, получить после нескольких опусканий одинаковое количество двушек и гривенников? – Решение – Ответ

40. Известно, что доля блондинов среди голубоглазых больше, чем доля блондинов среди всех людей. Что больше: доля голубоглазых среди блондинов или доля голубоглазых среди всех людей? – Решение – Ответ

41. Дано 1989 чисел. Известно, что сумма любых 10 из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел тоже положительна. – Решение

42. Решить в натуральных числах уравнение: x + 1/(y + 1/z) = 10/7 – Решение

43. Решить в натуральных числах уравнение: x + 1/(y + 1/z) = 10/7 – Решение

44. Докажите, что если произведение двух положительных чисел больше их суммы, то сумма больше четырёх. – Решение

45. Найдите 10 различных натуральных чисел, обладающих тем свойством, что их сумма делится на каждое из них. – Решение

46. На экране компьютера горит число, которое каждую минуту увеличивается на 102. Начальное значение числа 123. Программист Федя имеет возможность в любой момент изменять порядок цифр числа, находящегося на экране. Может ли он добиться того, чтобы число никогда не стало четырёхзначным? – Решение – Ответ

47. На шахматной доске 4*4 расположена фигура - "летучая ладья", которая ходит так же, как обычная ладья, но не может за один ход стать на поле, соседнее с предыдущим. Может ли она за 16 ходов обойти всю доску, становясь на каждое поле по разу, и вернуться на исходное поле? – Решение

48. Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, а один - с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.) – Решение – Ответ

49. Найдите какие-нибудь пять натуральных чисел, разность любых двух из которых равна наибольшему общему делителю этой пары чисел. – Ответ

50. У кассира было 30 монет: 10, 15 и 20 копеек на сумму 5 рублей. Докажите, что 20-копеечных монет у него было больше, чем 10-копеечных. – Решение

51. Сто человек ответили на вопрос: "Будет ли новый президент лучше прежнего?" Из них a человек считают, что будет лучше, b - что будет такой же, и c - что будет хуже. Социологи построили два показателя "оптимизма" опрошенных: m=a+b/2 и n=a-c. Оказалось, что m=40. Найдите n. – Решение – Ответ

52. В парламенте некоторой страны две палаты, имеющие равное число депутатов. В голосовании по важному вопросу приняли участие все депутаты, причём воздержавшихся не было. Когда председатель сообщил, что решение принято с преимуществом в 23 голоса, лидер оппозиции заявил, что результаты голосования сфальсифицированы. Как он это понял? – Подсказка – Решение

53. Среди математиков каждый седьмой философ, а среди философов каждый девятый математик. Кого больше: философов или математиков? – Подсказка – Решение – Ответ

54. Три землекопа за два часа выкопали три ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за пять часов? – Подсказка – Решение – Ответ

55. Три землекопа за три часа выкопали три ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за пять часов? – Подсказка – Решение – Ответ

56. Числитель и знаменатель дроби целые положительные числа, дающие в сумме 101. Известно, что дробь не превосходит 1/3. Укажите наибольшее возможное значение такой дроби. – Решение – Ответ

57. Разрежьте фигуру (по границам клеток) на три равные (одинаковые по форме и величине) части. – Ответ

58. В записи *1*2*4*8*16*32*64 = 27 вместо знаков ''*'' поставьте знаки ''+'' или ''-'' так, чтобы равенство стало верным. – Подсказка – Решение – Ответ

59. Шифр кодового замка является двузначным числом. Буратино забыл код, но помнит, что сумма цифр этого числа, сложенная с их произведением, равна самому числу. Напишите все возможные варианты кода, чтобы Буратино смог быстрее открыть замок. – Решение – Ответ

60. Карлсон написал дробь 10/97. Малыш может: 1) прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно, 2) умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. – Подсказка – Решение – Ответ

61. Решите ребус: АХ. УХ = – Решение – Ответ

62. В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное простое число равно Не опечатка ли это? – Подсказка – Решение – Ответ

63. Для постройки типового дома не хватало места. Архитектор изменил проект: убрал 2 подъезда и добавил 3 этажа. При этом количество квартир увеличилось. Он обрадовался и решил убрать ещё 2 подъезда и добавить ещё 3 этажа. Могло ли при этом квартир стать даже меньше, чем в типовом проекте? (В каждом подъезде одинаковое число этажей и на всех этажах во всех подъездах одинаковое число квартир.) – Подсказка – Ответ

64. В стене имеется маленькая дырка (точка). У хозяина есть флажок следующей формы (см. рисунок). – Подсказка – Решение – Ответ

65. Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 7×7, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна соседствовать ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 31 клетку. – Подсказка – Решение – Ответ

66. В написанном на доске примере на умножение хулиган Петя исправил две цифры. Получилось = Восстановите исходный пример и объясните, как Вы это сделали. – Подсказка – Решение – Ответ

67. Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников, периметр каждого из которых целое число метров. Верно ли, что периметр исходного прямоугольника тоже целое число метров? – Подсказка – Решение – Ответ

68. В распоряжении юного паркетчика имеется 10 одинаковых плиток, каждая из которых состоит из 4 квадратов и имеет форму буквы Г (все плитки ориентированы одинаково). Может ли он составить из них прямоугольник размером 5×8? (Плитки можно поворачивать, но нельзя переворачивать. Например, на рисунке изображено неверное решение: заштрихованная плитка неправильно ориентирована.) – Ответ

69. Расставьте скобки и знаки арифметических действий так, чтобы получилось верное равенство: – Подсказка – Ответ

70. Ваня задумал простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух? – Подсказка – Решение – Ответ

71. Кролик, готовясь к приходу гостей, повесил в трёх углах своей многоугольной норы по лампочке. Пришедшие к нему Винни-Пух и Пятачок увидели, что не все горшочки с мёдом освещены. Когда они полезли за мёдом, две лампочки разбились. Кролик перевесил оставшуюся лампочку в некоторый угол так, что вся нора оказалась освещена. Могло ли такое быть? (Если да, нарисуйте пример, если нет, обоснуйте ответ.) – Ответ

72. На доске написаны три правильные несократимые дроби, дающие в сумме единицу, причём их числители различные натуральные числа. Оказалось, что если каждую из этих дробей ''перевернуть'' (т. е. заменить на обратную), то сумма полученных дробей будет натуральным числом. Приведите пример таких дробей. – Ответ

73. Доктор Айболит раздал четырём заболевшим зверям 2006 чудодейственных таблеток. Носорог получил на одну больше, чем крокодил, бегемот на одну больше, чем носорог, а слон на одну больше, чем бегемот. Сколько таблеток придётся съесть слону? – Решение – Ответ

74. Разрежьте фигуру (см. рисунок) на две одинаковые (совпадающие при наложении) части. – Ответ

75. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в 10-м подъезде в квартире N 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На какой этаж ему следует подняться? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.) – Решение – Ответ

76. Винни-Пух и Пятачок поделили между собой торт. Пятачок захныкал, что ему досталось мало. Тогда Пух отдал ему треть своей доли. От этого у Пятачка количество торта увеличилось втрое. Какая часть торта была вначале у Пуха и какая у Пятачка? – Решение – Ответ

77. В примере на сложение двух чисел первое слагаемое меньше суммы на 2000, а сумма больше второго слагаемого на 6. Восстановите пример. – Решение – Ответ

78. Без ореха (от дупла до орешника) белка бежит со скоростью 4 м/сек, а с орехом (от орешника до дупла) со скоростью 2 м/сек. На путь от дупла до орешника и обратно она тратит 54 секунды. Найдите расстояние от дупла до орешника. Ответ обоснуйте. – Решение – Ответ

79. В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов. Витя полил половину всех кустов, и Аня полила половину всех кустов. При этом оказалось, что ровно три куста, самые красивые, были политы и Аней, и Витей. Сколько розовых кустов остались не политыми? – Решение – Ответ

80. Цифры трёхзначного числа A записали в обратном порядке и получили число B. Может ли число, равное сумме A и B, записываться только нечётными цифрами? – Решение – Ответ

81. У двузначного числа первая цифра вдвое больше второй. Если к этому числу прибавить квадрат его первой цифры, то получится квадрат некоторого целого числа. Найдите исходное двузначное число. – Решение – Ответ

82. Решите уравнение: |x | + | x| = – Решение – Ответ

83. На вопрос о возрасте его детей математик ответил: "У нас с женой трое детей. Когда родился наш первенец, суммарный возраст членов семьи был равен 45 годам, год назад, когда родился третий ребёнок 70 годам, а сейчас суммарный возраст детей 14 лет". Сколько лет каждому ребенку, если известно, что у всех членов семьи дни рождения в один и тот же день? – Решение – Ответ

84. Один из углов треугольника на 120° больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведенная из той же вершины. – Решение

85. Остап Бендер и Киса Воробьянинов разделили между собой выручку от продажи слонов населению. Остап подумал: если бы я взял денег на 40% больше, то доля Кисы уменьшилась бы на 60%. А как изменилась бы доля Воробьянинова, если бы Остап взял себе денег на 50% больше? – Решение – Ответ

86. Два различных числа x и y (не обязательно целых) таковы, что x x=y y. Найдите сумму чисел x и y. – Решение

87. Подряд без пробелов выписали все четные числа от 12 до 34. Получилось число Делится ли оно на 24? – Решение

88. Может ли среднее арифметическое 35 целых чисел равняться 6,35 ? – Решение – Ответ

89. Сегодня Наташа заметила, что в записи этой даты сумма первых четырех цифр равна сумме последних четырех. Когда в этом году такое совпадение случится в последний раз? – Решение – Ответ

90. В Лесогории живут только эльфы и гномы. Гномы лгут, говоря про своё золото, а в остальных случаях говорят правду. Эльфы лгут, говоря про гномов, а в остальных случаях говорят правду. Однажды два лесогорца сказали: А: Всё моё золото я украл у Дракона. Б: Ты лжешь. Определите, эльфом или гномом является каждый из них. – Решение – Ответ

91. У Юры есть калькулятор, который позволяет умножать число на 3, прибавлять к числу 3 или (если число делится на 3 нацело) делить на 3. Как на этом калькуляторе получить из числа 1 число 11? – Решение – Ответ

92. Произведение двух натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 10, равно Найдите их сумму. – Решение – Ответ

93. Будильник спешит на 9 минут в сутки. Ложась спать в 22.00, на нем установили точное время. На какое время надо завести звонок, чтобы будильник зазвенел ровно в 6.00 ? Ответ объясните. – Решение – Ответ

94. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на две равные части. – Решение

95. Разрежьте данную фигуру (см. рисунок) на три равных фигуры. – Решение

96. Во время игры в шахматы у Ёжика в какой-то момент оказалось на доске в два раза меньше фигур, чем у Медвежонка, при этом их было в пять раз меньше, чем свободных клеток на доске. Сколько фигур Медвежонка было съедено к этому моменту? (Напомним, что размер доски 8× 8 и в начале игры у каждого по 16 фигур.) – Решение – Ответ

97. Два десятка лимонов стоят столько же рублей, сколько дают лимонов на 500 рублей. Сколько стоит десяток лимонов? – Решение – Ответ

98. В тюрьме Кощея пять камер, пронумерованных числами от 1 до 5. В каждой камере сидит по одному узнику. Василиса уговорила Кощея провести эксперимент: на стене каждой камеры она один раз напишет какой-нибудь номер и в полночь каждый узник перейдёт в камеру с указанным номером (если номер на стене совпадает с номером камеры, то узник никуда не переходит). В следующую полночь узники опять должны перейти из камеры в камеру согласно указаниям на стене, и так они действуют в течение пяти ночей. Если расположение узников в камерах в течение всех шести дней (включая первый) ни разу не повторится, то Василисе дадут звание Премудрой, а узников отпустят. Помогите Василисе написать номера в камерах. – Решение – Ответ

99. Электронные часы показывают часы и минуты (например, 16:15 ). Тренируясь в счете, Буратино находит сумму цифр на этих часах ( = 13 ). Запишите такое время суток, когда сумма цифр на часах будет наибольшей. – Решение – Ответ

100. Какие цифры могут стоять на месте букв в примере AB · C = DE, если различными буквами обозначены различные цифры и слева направо цифры записаны в порядке возрастания? – Решение – Ответ

101. Однажды Миша, Витя и Коля заметили, что принесли в детский сад одинаковые игрушечные машинки. У Миши есть машинка с прицепом, есть маленькая машинка и есть зеленая машинка без прицепа. У Вити есть машинка без прицепа и маленькая зеленая с прицепом, а у Коли большая машинка и маленькая синяя с прицепом. Машинку какого вида (по цвету, размеру и наличию прицепа) принесли мальчики в детский сад? Ответ объясните. – Решение – Ответ

102. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист. Через час пешеход оказался ровно посередине между пунктом А и велосипедистом. Ещё через 15 минут они встретились и каждый продолжил свой путь. Сколько времени потратил пешеход на путь из А до В ? Ответ объясните. (Скорости пешехода и велосипедиста постоянны.) – Решение – Ответ

103. Можно ли заменить буквы цифрами в ребусе – Решение – Ответ

104. На доске записаны числа 1, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число. Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15? – Решение – Ответ

105. A, B и C - целые числа. Докажите, что если A=B+C, то a 4 +b 4 +c 4 есть удвоенный квадрат целого числа. – Решение

106. Докажите, что из любых семи натуральных чисел (не обязательно идущих подряд) можно выбрать три числа, сумма которых делится на три. – Решение

107. Каждую грань кубика разбили на четыре равных квадрата и раскрасили эти квадраты в три цвета так, чтобы квадраты, имеющие общую сторону, были покрашены в разные цвета. Докажите, что в каждый цвет покрашено по 8 квадратиков. – Решение

108. Можно ли провести в каждом квадратике на поверхности кубика Рубика диагональ так, чтобы получился несамопересекающийся путь? – Решение – Ответ

друзей послали друг другу праздничные открытки, так что каждый послал 5 открыток. Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу. – Решение

111. Доска 100 на 100 разбита на единичных квадратиков. Один из них вырезали, так что образовалась дырка. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть равнобедренными прямоугольными треугольниками с гипотенузой длины 2 так, чтобы их гипотенузы шли по сторонам квадратиков, а катеты - по диагоналям и чтобы треугольники не налегали друг на друга и не свисали с доски? – Решение – Ответ

112. В некотором королевстве было 32 рыцаря. Некоторые из них были вассалами других (вассал может иметь только одного сюзерена, причём сюзерен всегда богаче своего вассала). Рыцарь, имевший не менее четырёх вассалов, носил титул барона. Какое наибольшее число баронов могло быть при этих условиях? (В королевстве действовал закон: "вассал моего вассала - не мой вассал"). – Решение – Ответ

113. В лес за грибами пошли 11 девочек и n мальчиков. Вместе они собрали n 2 +9n-2 гриба, причём все они собрали поровну грибов. Кого было больше: мальчиков или девочек? – Решение – Ответ

114. В лес за грибами пошли 11 девочек и n мальчиков. Вместе они собрали n 2 +9n-2 гриба, причём все они собрали поровну грибов. Кого было больше: мальчиков или девочек? – Решение – Ответ

115. Первоначально на доске написано натуральное число A. Разрешается прибавить к нему один из его делителей, отличных от него самого и единицы. С полученным числом разрешается проделать аналогичную операцию, и т. д. Докажите, что из числа A=4 можно с помощью таких операций прийти к любому наперёд заданному составному числу. – Решение

116. В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом A первой строчки пишется число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше A и при этом стоят правее A. По второй строчке аналогично строится третья строчка и т. д. а)(2) Докажите, что все строчки, начиная с некоторой - нулевые (состоят из сплошных нулей). б)(2) Каково максимально возможное число ненулевых строчек (содержащих хотя бы одно число, отличное от нуля)? – Решение

117. Петя хочет изготовить необычную игральную кость, которая, как обычно, должна иметь форму куба, на гранях которого нарисованы точки (на разных гранях разное число точек), но при этом на любых двух соседних гранях число точек должно различаться по крайней мере на два (при этом разрешается, чтобы на некоторых гранях оказалось больше шести точек). Сколько всего точек необходимо для этого нарисовать? (Укажите минимальное количество, приведите пример их расположения на гранях и докажите, что меньшим числом обойтись нельзя.) – Решение – Ответ

118. Ученик не заметил знака умножения между двумя трёхзначными числами и написал одно шестизначное число. Результат получился в три раза больше. Найти эти числа. – Решение – Ответ

119. Три кузнечика сидят на прямой так, что два крайних отстоят на 1 м от среднего. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если A прыгает через B в точку A 1, то AB=BA 1 ). Через некоторое время кузнечики оказались на тех же местах, что и вначале, но в другом порядке. Докажите, что поменялись местами крайние кузнечики. – Решение

120. Может ли быть простым число a+b+c+d, если a, b, c и d - целые положительные числа и ab=cd? – Решение – Ответ

121. Можно ли найти 10 таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними 9 последовательных натуральных чисел? – Решение – Ответ

122. Поставьте в ряд а) 5 простых чисел, б) 6 простых чисел так, чтобы разности соседних чисел в каждом ряду были равны. – Решение – Ответ

123. Подпольный миллионер Тарас Артёмов пришёл в Госбанк, чтобы обменять несколько 50- и 100-рублёвых купюр старого образца. Ему была выдана 1991 купюра более мелкого достоинства, причём среди них не было 10- рублёвых. Докажите, что его обсчитали. – Подсказка – Решение

124. В начале года винтики, шпунтики и гаечки продавались по одинаковой цене 1 рубль за 1 кг. 27 февраля Верховный Совет СССР принял закон о повышении цены на винтики на 50% и снижении цены на шпунтики на 50%. 28 февраля Верховный Совет РСФСР принял закон о снижении цены на винтики на 50% и повышении цены на шпунтики на 50%. Какой товар будет самым дорогим и какой самым дешёвым в марте? – Ответ

125. На Нью-Васюковской валютной бирже за 11 тугриков дают 14 динаров, за 22 рупии 21 динар, за 10 рупий 3 талера, а за 5 крон 2 талера. Сколько тугриков можно выменять за 13 крон? – Подсказка – Решение – Ответ

126. В январе на 1 доллар можно было купить 40 винтиков или 60 шпунтиков. В феврале винтики и шпунтики стали продавать наборами из 25 винтиков и 25 шпунтиков по цене 1 доллар за набор. Для сборки трактора необходимо 600 винтиков и 600 шпунтиков. В каком месяце сборка трактора стоила дороже, если другие затраты не изменились? – Решение – Ответ

127. Квадрат ABCD со стороной 2 и квадрат DEFK со стороной 1 стоят рядом на верхней стороне AK квадрата AKLM со стороной 3. Между парами точек A и E, B и F, C и K, D и L натянуты паутинки. Паук поднимается снизу вверх по маршруту AEFB и спускается по маршруту CKDL. Какой маршрут короче? – Подсказка – Решение – Ответ

128. Зная, что число 1993 простое, выясните, существуют ли такие натуральные числа x и y, что – Подсказка – Решение – Ответ

129. В результате измерения четырёх сторон и одной из диагоналей некоторого четырёхугольника получились числа: 1; 2; 2,8; 5; 7,5. Чему равна длина измеренной диагонали? – Подсказка – Решение – Ответ