Урок 1. Геометрические фигуры. Точка и прямая

Цель урока:

ознакомить учащихся с новым для них предметом, с историей развития науки геометрии, с основными геометрическими фигурами на плоскости; учащиеся должны уметь обозначать точки и прямые на рисунке, описывать ситуацию, изображенную на рисунке, и, наоборот, по описанию ситуации делать рисунок.

Оборудование: набор геометрических фигур (на столе учителя и на каждой парте).

Ход урока

I. Вводная беседа

Начиная с этого года математика как бы «раздваивается» и в расписании уроков появились ее разделы: алгебра и геометрия. Изучаются эти разделы на разных уроках, по разным учебникам. Мы с вами будем изучать геометрию по учебнику Алексея Васильевича Погорелова. Было бы неверным утверждать, что до сих пор вы ничего о ней не знали. Вам приходилось встречаться с различными геометрическими фигурами. На парте набор геометрических фигур. Найдите среди них треугольник, квадрат, круг, куб, пирамиду, шар.

Геометрия – это предмет для тех, кому нравится фантазировать, рисовать, рассматривать, кто умеет наблюдать, замечать и делать выводы. Геометрия, наверное, самая древняя наука и возникла она из практических потребностей людей.

С геометрическими фигурами и их свойствами имел дело и кожевник, резавший кожу, и кузнец, ковавший железные изделия, и портной, и строители храмов, дворцов, пирамид. Дошедшие до нас памятники и письменные документы древности свидетельствуют о том, что уже около 4000 лет тому назад жители Египта обладали значительным запасом геометрических сведений.

Заслуги в деле дальнейшего накопления и систематизации геометрических сведений принадлежат ученым Древней Греции. К III в. до н. э. в Греции накопился богатый геометрический материал, который необходимо было привести в строгую логическую систему. Эту колоссальную работу выполнил Евклид, создавший руководство по математике под названием «Начала». Геометрия, которая изучается в школе, называется евклидовой. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие».

Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур.

Однако в геометрии рассматриваются вовсе не все свойства фигуры. Ясно, например, что ее цвет или вес для геометра безразличен – геометрические свойства куба останутся одними и теми же независимо от того, идет ли речь о металлическом кубе или о кубе, сделанном из бумаги. Все свойства фигур, которые рассматриваются в геометрии, определяются формой и размерами фигур.

Задание 1. Найдите в наборе геометрических фигур фигуры, имеющие форму треугольника, прямоугольника, шара, куба. Покажите фигуры одинаковой формы, но разных размеров.

II. Ознакомление с новым материалом

В геометрии рассматриваются различные возможности расположения геометрических фигур.

Мы начнем изучение геометрии с планиметрии. Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.

1 Точка – это неопределяемое понятие геометрии.

Точка не имеет никаких размеров.

Точка условно изображается на бумаге остро отточенным карандашом (на доске мелом).

Чтобы отличить точку одну от другой, их обозначают прописными буквами латинского алфавита:

A, B, C, D,....

Задание 2. Отметьте в тетради (на доске) три различные точки и обозначьте их.

2 Прямая – это неопределяемое понятие геометрии. Представление о прямой дает туго натянутая нить. Евклид писал, что у прямой нет ни длины, ни ширины, изобразить прямую целиком невозможно, мы лишь условно изображаем ее часть.

Для изображения прямых на чертеже пользуются линейкой.

Прямые можно обозначать двумя способами.

Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, c, d,....

Прямую можно обозначить двумя точками, лежащими на ней.

Задание 3. Проведите в тетради (на доске) две различные прямые и обозначьте их.

3 Разобрать несколько ситуаций взаимного расположения точек и прямых (по готовому рисунку), ввести знаки Î,Ï,Ç.

1. Назовите на рисунке прямые (два способа). Назовите точки.

2. Объясните взаимное расположение точек M, B, F, K и прямой a. Делается запись: M Ì a; B Ì a; F Ë a; K Ë a. 3. Аналогично опишите взаимное расположение точек M, B, F, K и прямой b.

Что можно сказать про точки M и K и прямую b? Выберите правильный ответ:

а) точки M и K лежат на прямой b; б) точки M и K принадлежат прямой b; в) прямая b проходит через точки M и K.

4. Прямые a и b пересекаются в точке M – это означает, что M принадлежит каждой из этих прямых. Делается запись: a Ç b = M.

III. Проверка усвоения изученного

Для проверки усвоения изученного проводим диктант. (Один ученик выполняет диктант за доской.)

Диктант

Проведите прямую a, отметьте точку C, которая лежит на прямой a, точку D, которая не лежит на прямой a. Проведите прямую b, проходящую через точку D и пересекающую a. Обозначьте точку пересечения прямых буквой F.

(Диктант проверяется на уроке.)

Дополнительное задание: опишите ситуацию, изображенную на рисунке, используя значки Î,Ï,Ç.

IV. Подведение итогов урока

Учитель предлагает учащимся прочитать п. 1 учебника и ответить на следующие вопросы:

1. Назовите геометрические фигуры, изображенные на рис. 1 учебника. 2. Что изображено на рис. 2 учебника? 3. Из каких геометрических фигур она составлена?

Выводы.

Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек.

Часть любой геометрической фигуры является геометрической фигурой.

Объединение нескольких геометрических фигур есть снова геометрическая фигура.

V. Задание на дом: учебник, п. 1.2., с. 19, задача 1.2.

Дополнительное задание:

1. На плотном листе бумаги нарисуйте геометрическую фигуру, состоящую из известных вам фигур. 2. Один из учеников готовит сообщение об Евклиде.

Урок 2. Аксиомы принадлежности точек и прямых на плоскости. Аксиома расположения точек на прямой

Цель урока: сформировать понятие «аксиома» и изучить первые три аксиомы.

Оборудование: Таблицы по геометрии для 7 класса. (авторы Т.Л. Сытина, Ю.П. Дудницын. – М., Просвещение, 1990) – табл. 1 и табл. 2. Набор геометрических фигур.

ход урока

I. Проверка домашнего задания

К доске вызывается один ученик для работы по карточке.

Карточка

1. Выполните рисунок. Проведите прямую m. Отметьте какую-нибудь точку F, лежащую на прямой и точку B, не лежащую на прямой. Проведите прямую a, пересекающую прямую m в точке A. Отметьте точку D, не лежащую ни на одной из прямых. 2. Опишите ситуацию, изображенную на рисунке, используя знаки Î,Ï,Ç.

Устная работа по контрольным вопросам

(работает весь класс)

1. Приведите примеры геометрических фигур. 2. Что изучает геометрия? 3. Какие свойства фигур ее интересуют? Приведите примеры предметов, имеющих форму шара, цилиндра, прямоугольного параллелепипеда. 4. Людям какой профессии необходима геометрия? 5. Где и когда ты сам применял геометрические знания? 6. Почему геометрия, которая изучается в школе, называется евклидовой? (Заслушать доклад ученика.)

Учитель проверяет ученика, работающего у доски по карточке. В качестве дополнительного задания ему предлагаются вопросы 2, 3 на с. 18 учебника.

II. Изучение нового материала

Записать тему урока на доске и в тетради.

Некоторые утверждения в геометрии принимают без доказательств, их называют аксиомами. Слово «аксиома» происходит от греческого слова «аксиос» и означает утверждение, не вызывающее сомнения.

1 При изучении аксиомы I1 воспользоваться первой частью табл. 1.

Сначала рассмотреть с учащимися рисунок и словесно описать разными способами расположение точек и прямой.

Примерные ответы:

«Точки A и B принадлежат прямой a.» «Прямая a проходит через точки A и B.» «Точка M не принадлежит (не лежит на) прямой a.» «Прямая a не проходит через точку M»;

A Î a; B Î a; M Ï a; N Ï a; K Ï a.

Затем выполнить рисунок в тетради и записать формулировку аксиомы.

2 При изучении аксиомы I 2 воспользоваться второй частью табл. 1.

Записать формулировку аксиомы и выполнить рисунок; A Î a; B Î a.

Формулируя аксиому I 2, обратить внимание учащихся на то, что в ней содержатся два утверждения: существование прямой и ее единственность.

3 При изучении аксиомы II воспользоваться учебником: с. 6, п. 3, первый абзац, рис. 6. Выполнить в тетради рис. 6, прочитать первый абзац, обсудить ситуацию рисунка. Записать в тетради аксиому расположения точек на прямой.

III. Закрепление изученного

Все задачи этого урока решаются устно, при необходимости выполняется рисунок. (При работе с задачами учителю следует обратить внимание на развитие устной речи учащихся.)

Решить следующие задачи.

1. Точка C принадлежит прямой AB. Различны ли прямые AB и AC? Ответ объясните. 2 (задача 3, с. 20). Могут ли две прямые иметь две точки пересечения?

Это первая задача на доказательство. Это доказательство не нужно приводить письменно. Если у школьников возникают затруднения, следует предложить им наводящие вопросы типа: «если бы две различные прямые имели две общие точки, какому свойству это противоречило бы?» (Решение задачи имеется в учебнике на с. 6.)

3. Различные прямые m и n пересекаются в точке A. Прямая m проходит через точку B. Проходит ли через точку B прямая n? Ответ объясните.

Для решения задачи выполняется рисунок на доске.

Решение. Прямая n не проходит через точку B, так как две различные прямые не могут иметь две точки пересечения по задаче 3 учебника.

Дополнительные задачи:

1. Точки A и B принадлежат прямой l. Различны ли прямые AB и l? Ответ объясните (по аксиоме I 2 ). 2. Одна из двух пересекающихся прямых проходит через точку A, принадлежащую другой прямой. Различны ли точка A и точка пересечения данных прямых? Ответ объясните.

Решение. Эти точки совпадают, так как две прямые могут пересекаться только в одной точке (по задаче 3 учебника).

IV. Подведение итогов урока

Следует подчеркнуть необходимость знания формулировок аксиом наизусть, умение выполнять рисунки к аксиомам. Объявить поставленные на уроке оценки.

V. Задание на дом:

1) учебник, п. 1, 2, 3; 2) с. 18, контрольные вопросы 1–4, 6; 3) с. 20, задачи 4, 5.

Урок 3. Отрезок. Измерение отрезков

Цель урока: сформировать понятие отрезка; добиться усвоения аксиомы измерения отрезков.

Оборудование: Таблицы по геометрии для 7 класса. (авторы Т.Л. Сытина, Ю.П. Дудницын. – М., Просвещение, – табл. 3 и табл. 4. Набор карточек для проведения самостоятельной работы. Набор бланков.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания

Один ученик (сильный) получает индивидуальное задание и работает у доски.

Задание. Выполнить рисунки к аксиомам I 1, I 2, II. Записать ситуацию, изображенную на рисунках, используя знаки Î,Ï. Прочитать формулировки аксиом.

Для проверки усвоения изученного материала провести самостоятельную работу (на отдельных листах) по карточкам.

Карточка

1. Выполните рисунок.

Две прямые пересекаются. Обозначьте прямые и точку их пересечения. Отметьте одну точку, принадлежащую любой прямой и одну

точку не лежащую ни на одной из прямых. Обозначьте точки. Опишите ситуацию, изображенную на рисунке, используя знаки Î,Ï,Ç.

2. Ответьте на вопросы по рисунку:

а) Какие точки лежат по разные стороны от точки K? б) Какие точки лежат по одну сторону от точки D? в) Какая точка лежит между точками F и D?

3. Точки C и D принадлежат прямой n. Различны ли прямые CD и n? Ответ объясните.

Работы собрать и проверить к следующему уроку.

Затем учащиеся слушают ответ ученика. Оценивают каждый этап ответа в пятибалльной системе и результаты заносят в бланк.

II. Изучение нового материала.

а) Понятие отрезка.

Отрезки встречаются повсюду: ребра многогранников и линии пересечения стен в комнате, иголки ежа и ели, карандаши и спицы и т. д. (показать). Объяснить, что такое отрезок с концами в данных точках. Для этого рассмотреть таблицу. Рисунки таблицы иллюстрируют определение отрезка, раскрывают смысл его составных частей.

(Ученики самостоятельно дают определение отрезка и записывают определение в тетради.)

Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными точками. Эти точки называют концами отрезка. Отрезок обозначают указанием его концов.

Задание. Начертите прямую и два отрезка так, чтобы один из них пересекал прямую, а другой не пересекал. обозначьте все фигуры рисунка.

б) Измерение отрезков.

Знакомство учащихся с содержанием аксиомы об измерении отрезков следует начать с практической работы, основные этапы которой проиллюстрированы рисунками табл. 4.

Практическая работа

Первый этап. Начертите отрезок. Измерьте длину отрезка линейкой. Результат запишите. Сделайте вывод. KM = 3 см, KM > 0.

Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.

Второй этап. Начертите отрезок AC длиной 6 см. Точка B принадлежит отрезку. Длина отрезка AB равна 4 см. Измерьте длину отрезка BC. Запишите результат. Сделайте вывод:

AC = 6 см, AB = 4 см, BC = 2 с м, AC = AB + BC.

Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Прочитать аксиому III полностью в учебнике.

III. Закрепление изученного

Особенностью этого урока является введение письменно оформленных задач со ссылкой на известные учащимся аксиомы.

Учителю необходимо продолжить работу по воспитанию у учащихся потребности в доказательных рассуждениях. Поэтому учитель должен сам решить на доске хотя бы одну задачу и показать ее примерное оформление.

Задача. (Текст задачи записан на доске. Рассуждение по ходу решения задачи и примерное оформление решения задачи делает учитель.) Точки M, A и B расположены на одной прямой, причем отрезок AM вдвое больше отрезка BM. Найти AM, если AB = 6 см.

Решение.

1. По аксиоме II из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

2. Пусть M Î AB. По аксиоме III имеем

AB = AM + MB

.

По условию, AB = 6 см, AM = 2 M B, AM =2/3, AB = 4 см.

3. Пусть B Î AM. По аксиоме III

AM = AB + BM.

По условию, AB = 6 см, AM = 2 M B, AM = 2 AB = 12 см.

4. Пусть A Î BM. По аксиоме III

BM = BA + AM и AM < BM,

а по условию AM > BM, A Ï BM.

Ответ. Задача имеет два решения. Длина отрезка AM равна 4 см или 12 см.

Задание. Решить задачи 9 и 12 из учебника самостоятельно.

Решение задачи 9 имеется в учебнике на с. 7. Сильные учащиеся решают задачу и затем проверяют. Слабым учащимся можно разрешить открыть учебник, прочитать решение, разбить его на логические этапы, записать решение задачи в тетради.

IV. Подведение итогов урока

Учащиеся решают (устно) следующие задачи ( рисунки учитель может выполнить на доске, пока ученики решают задачи 9, 12):

1) Сколько на рисунке отрезков? Придумайте задачи, которые можно решать по этому рисунку.

2) Назовите все отрезки, изображенные на рисунке.

3) Как называется фигура на рисунке? Что представляет собой одно звено ломаной? Как найти длину ломаной?

4) Как расположить 5 точек и 2 прямых, чтобы на каждой прямой было по 3 точки? Сколько получится отрезков?

V. Задание на дом:

1) Учебник, п. 3,4; задачи 72, 10,14. 2) Повторить п. 2.