АВТОР проекта: Зародов Никита Евгеньевич, ученик 10-А класса МОУ «СОШ 21», г. Подольск, МО РУКОВОДИТЕЛЬ проекта: Буянова Анна Матвеевна, учитель математики МОУ «СОШ 21», г. Подольск, МО «ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ на основе свойств монотонности»

Графики сложных функций y=f (v (x)) y=f (x). Графики сложных функций вида y=f (v (x)) легко построить, зная свойства основных элементарных функций вида y=f (x). Выработаем простой алгоритм построения графиков.

1. Область определения / область значения функций 2. Четность/нечетность функций 3. Монотонность функций ДЛЯ ЭТОГО ВСПОМНИМ

к построению П Р И С Т У П И М

x v vx yy 00 0 Значение XЗначение VЗначение Y X 1 возрастает (0;+) V=V(X)=1+X 2 V 1 возрастает (1;+) Y=Y(V)=1/V Y 1 убывает от 1 до 0 X 2 возрастает (-;0)V 2 убывает от + до 1Y 2 возрастает от 0 до ,50,5 1 V=1+х 2 Y=1/V Контрольные точки: (1;0,5), (-1;0,5).

x v vx yy 00 0 Значение XЗначение VЗначение Y X возрастает от (-;+) V=V(X)=2 x V возрастает от (0;+ ) Y=Y(V)=arctg V Y возрастает от 0 до +/2 111 /2 1 V= 2 x Y=arctg V Контрольные точки: (0;/4). /2 -/2 /4 1/2

x v vx yy 00 0 Значение XЗначение VЗначение Y X 1 возрастает (0;+) V=V(X)=1/X V 1 убывает от + до 0 Y=Y(V)=arctg V Y 1 убывает от /2 до 0 X 2 возрастает (-;0)V 2 убывает от 0 до - Y 2 убывает от 0до –/2 111 /2 3 1 V=1/X Y=arctg V Контрольные точки: (1;/4), (3;/6). /2 -/2 /4 - /4 /6

xx y /2 1 Y=2 1/х Y=arctg lnх 1/2 -/2 /2 /4 - /23/2 y x 2 1/ Y=ln (x 2 -3х+2) x y 0 1 2/ - 4/ Y=1/arctg х, D (y)=(-;0) U (0;+) y y 2 1 0x Y= 2 sinх

1. начертить графики внутренней v = v(x) и внешней y = f (v) функций и систему координат XOY. 6. построить график сложной функции y = y (x) в системе координат XOY с учетом промежутков монотонности Х, Y и контрольных точек. 2. определить промежутки монотонности внутренней функции v = v (x). 4. на каждом промежутке определить границы изменения функции v = v(x) и выбрать те значения v (x), которые попадают в область определения функции y = f (v). 3. определить промежутки монотонности внешней функции y = f(v). 5. по графику внешней функции y = f (v) найти характер изменения функции y. И ВЫРАБОТАЛ

/ x 1 Значение XЗначение VЗначение Y X 1 возрастает [2;+) V=V(U)=1/U V 1 убывает от -1 до -, вкл. -1, и от + до 0 Y=Y(V)=2 v Y 1 убывает от 1/2 до 0, вкл. 1/2, и от + до 1 X 2 возрастает (-;2]V 2 возрастает от 0 до + и от - до -1, вкл. -1 Y 2 возрастает от (1;+) и (0;1/2] Y= 2 v y y 1/2 v 0x123 1 u 0 v U=x 2 -4x+3 x V=1/(x 2 -4x+3) 1 2 3

ВЫВОД: повторил рассмотрел простейшие функции и изучил тригонометрические, обратные тригонометрические, показательные и логарифмические функции и их свойства способы преобразования графиков функций научился строить сложные функции, представляющие композицию двух функций и строить их графики выработал АЛГОРИТМ приступил к построению построения графиков сложных функций графика сложной функции, представляющего композицию трех функций