Средняя общеобразовательная школа при Посольстве России в Эфиопии Автор: Иванников Никита, ученик 6 класса. Руководитель: Комаров Владимир Михайлович, учитель математики. Консультант: Комарова Надежда Моисеевна, учитель математики, заместитель директора школы по учебно-воспитательной работе, Заслуженный Учитель РФ. Аддис- Абеба 2009

Сколько фотографий? В нашей семье шесть человек: мама, папа, я и мои братья Гриша, Захар и Макар. Сколько получится различных фотографий, если мы встанем в один ряд и будем меняться местами? А сколько будет фотографий, если мама возьмет Макара на руки? Сколько времени займет фотографирование, если мы будем перестраиваться за 1 секунду?

Сколько подарков? На Новый год мы делаем друг другу подарки и обмениваемся рукопожатиями. Сколько будет подарков? А сколько рукопожатий? Сколько хороводов? Мы водим хоровод вокруг елки. Сколько различных «хороводов» можно составить из членов нашей семьи? А сколько получится «хороводов», если каждый окажется рядом с остальными только один раз? Возможно ли это?

Сколько лет братьям? Гриша младше меня на четыре года, Захар в четыре раза старше Макара и на три года младше Гриши. Сколько лет каждому из нас, если вместе нам 23 года?

Сколько велосипедов? У ребят нашего дома двухколесные и трехколесные велосипеды. Сколько двухколесных и сколько трехколесных велосипедов, если у них 7 рулей и 18 колес?

Задача 1. Пришел крестьянин на базар и принес лукошко яиц. Торговцы его спросили: «Много ли у тебя в том лукошке яиц?» Крестьянин молвил им так: «Я всего не помню на перечень, сколько в том лукошке яиц. Только помню, перекладывал я те яйца в лукошко по 2 яйца, то одно яйцо лишнее осталось на земле; и я клал в лукошко по 3 яйца, то одно же яйцо осталось; и я клал по 4 яйца, то одно же яйцо осталось; и я клал по 5 яиц, то одно же яйцо осталось; и я их клал по 6 яиц, то одно же яйцо осталось; и я их клал по 7 яиц, то ни одного не осталось. Сочти мне сколько в том лукошке яиц было»? Сколько яиц в лукошке?

Задачи на взвешивания Задача 2. Из девяти монет одна фальшивая она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету? Задача 3. Имеется 10 мешков с монетами, в девяти из них настоящие монеты по 10 г каждая, а в одном фальшивые монеты по 9 г каждая. Есть весы, показывающие общий вес положенных на них монет. Как одним взвешиванием обнаружить мешок с фальшивыми монетами?

Логические задачи Задача 4. Крестьянин должен перевезти через реку волка, козу и капусту. Лодка так мала, что в ней, кроме крестьянина, может поместиться только один волк, или только одна коза, или только капуста. Как ему поступить, чтобы во время переправы волк не съел козу, а коза не съела капусту? Считается, что в присутствии крестьянина волк не съест козу, а коза не съест капусту. Задача 5. Некий путешественник в ожидании денежного перевода должен был на неделю поселиться в гостинице. Он договорился с хозяином, что заплатит ему за постой серебряной цепочкой из семи звеньев. Хозяин был большим любителем головоломок, и поставил условие: за каждый день постоялец должен платить ровно по одному звену, разрезав при этом не более одного звена цепочки. Как путешественник расплачивался с хозяином гостиницы?

Задача 6. Старый гном разложил свои сокровища в 3 цветных сундука, стоящих у стены: в один драгоценные камни, в другой золотые монеты, а в третий магические книги. Он помнит, что: красный сундук правее, чем драгоценные камни; магические книги правее, чем красный сундук; зеленый сундук стоит левее, чем синий. В каком сундуке магические книги? Задача 7. Встретились три подруги Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное платье, на другой красное, на третьей белое. Девочка в белом платье говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями, а то у всех троих цвет платьев не соответствует фамилиям». Кто в какое платье был одет?

Переливания Задача 8. Хозяин имеет три бочки А, В и С. Бочка А наполнена квасом, бочки В и С пустые. Если квасом из бочки А наполнить бочку В, то в бочке А останется 2/5 ее содержимого. Если же квасом из бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 5/9 ее содержимого. Чтобы наполнить обе бочки В и С, надо взять содержимое бочки А и добавить еще 4 ведра кваса. Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка? Задача 9 Из ведра, содержащего 5 литров воды, отливают 1 литр, а затем в ведро вливают 1 литр сока. Перемешав все это, из ведра отливают 1 литр смеси, затем в ведро опять вливают 1 литр сока. Опять перемешивают, отливают 1 литр смеси и вливают 1 литр сока. Сколько в ведре останется после этого воды?

Сколько фотографий? а) первое место слева на фото может занять любой из шести членов семьи, второе место любой из пяти остальных, таким образом, существует 6·5 = 30 возможностей занять первое и второе места. Чтобы оказаться на третьем месте 4 возможности и так далее. Всего фотографий 6·5·4·3·2·1 = 720; б) 5·4·3·2·1 = 120; в) 720с = 2часа. Сколько подарков? Каждый из шестерых делает подарок пятерым. Всего 30 подарков. Рукопожатий 15. Сколько хороводов? а) 720; б) можно образовать два хоровода, в которых некоторые встречается с остальными только 1 раз, но при этом не встретятся пары 1-3, 2-5, 4-6 (см. рисунок) Третий хоровод, удовлетворяющий условию задачи, образовать не удастся

Сколько лет братьям? Пусть мой возраст х лет, тогда возраст остальных моих братьев находится из уравнения: Х + (х 4) + (х 4 3) + 0,25(х 4 3) = 23; х = 11. Сколько велосипедов? Поставим трехколесные велосипеды на два задних колеса, тогда на земле будут находиться 14 колес (всего велосипедов 7), а 4 колеса подняты над землей, они принадлежат трехколесным велосипедам. Трехколесных велосипедов 4, двухколесных 3. Задача 1. Найдем сначала число, которое делится на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6 без остатка это НОК(2,3,4,5,6) = 60. Запишем несколько кратных числа 60: 120, 180, 240, 300, 360,…и рассмотрим числа, большие них на 1: 121,181, 241, 301, 361,…Эти числа при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 дают остаток 1. Найдем среди них числа, кратные 7. Первое такое число 301, потом 721 и т. д. Задача 2. Разделим монеты на три кучки по три в каждой. Положим на чашки весов любые две кучки. Если весы находятся в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Возьмем любые две монеты из этой кучки и положим на чашки весов. Если весы в равновесии, то оставшаяся монета фальшивая, а если… продолжите решение самостоятельно.

Задача 9. После доливания1литра сока получилась смесь. В 1 литре смеси содержится 1/5 часть всей воды, т. е. 1/5 от 4 литров, что составляет 4/5л = 0,8л. 4л 0,8л = 3,2л осталось воды после второго переливания. 1/5 от 3,2л есть 0,64л. 3,2 0,64 = 2,56(л) осталось воды после третьего переливания. Задача 3. Возьмем из первого мешка 1 монету, из второго 2, из третьего 3… … из монет. Если бы все монеты были настоящие, то масса монет, взятых указанным способом, была бы равна … = ( )·5 = 550(г) Если фальшивые монеты находятся в первом мешке, то общая масса монет на весах будет на 1г меньше, т. е , если фальшивые монеты находятся во втором мешке, то масса монет будет 550 2, в третьем, то грамма и т. д. Задача 4. Крестьянин перевозит сначала козу, затем волка, а козу забирает с собой, потом капусту, оставив козу одну на берегу и, оставив капусту с волком, возвращается за козой. Задача 5. Нужно разрезать третье звено цепочки и отдать его в оплату первого дня, во второй день отдать два звена, а разрезанное получить как сдачу и т. д. Задача 6. Магические книги в синем. Задача 7. Краснова в белом. Задача 8. Пусть в первой бочке А ведер кваса, во вторую помещается В ведер, а в третью С ведер, тогда В = 3/5А, С = 4/9А. Из условия следует, что В + С = А + 4 ведра или В + С = (3/5 + 4/9)А = 47/45А = А +2 /45А, тогда 4 ведра = 2/45А, А = 90 ведер. В = 54 ведра, С = 40 ведер. Задача 4. Крестьянин перевозит сначала козу, затем волка, а козу забирает с собой, потом капусту, оставив козу одну на берегу и, оставив капусту с волком, возвращается за козой.

Кенгуру. Задачи международного конкурса-игры. Выпуск 5. Санкт-Петербург, 2000 г. LXV московская математическая олимпиада. Москва, 2002 г. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. Москва, «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1978 г. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. Москва, «Просвещение», 1988 г. Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. Москва, «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1978 г. Коваль С. От развлечения к знаниям. Wydawnictwa naukowo-tecniczne, Warszawa, Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Задачи на смекалку. Москва, «Просвещение», 2000 г. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные Занимательные задачи. Москва, АО «Столетие», 1994 г.