Муниципальное общеобразовательное учреждение Вязьма-Брянская средняя общеобразовательная школа Квадратичная функция : просто о сложном Выполнила : ученица 9 класса Клименкова Ульяна, Руководитель: учитель математики Хрущенко Валентина Николаевна

ОГЛАВЛЕНИЕ Ι. Введение. ΙΙ. Основная часть. 1. Определение. 2. Функция y = ax², её свойства и график Свойства функции y = ax² при а > Свойства функции y = ax² при а

ВВЕДЕНИЕ Квадратичная функция является одной из первых, с которой мы познакомились в процессе изучения курса алгебры. С одной стороны – эта функция простая, но с другой – она интересна и обширна. После линейной функции квадратичная – простейшая и важнейшая элементарная функция. Многие физические зависимости выражаются квадратичной функцией ; например, камень, брошенный вверх со скоростью V 0, находится в момент времени t на расстоянии от земной поверхности (g – ускорение ); количество тепла Q, выделяемого при прохождении тока в проводнике с сопротивлением R, выражается через силу тока формулой Задачи с параметрами на квадратичную функцию и задачи, сводящиеся к квадратичным функциям, очень популярны на экзаменах в вузы, ЕГЭ, школьных олимпиадах разного уровня. Квадратичная функция является одной из главных школьной математики для которой построена полная теория и доказаны все свойства, а от учащегося требуется четкое понимание и знание всех этих свойств. При этом задач на квадратичную функцию очень много – от простых, непосредственно вытекающих из формул и теории, до сложных, требующих всестороннего анализа и глубокого понимания свойств функции. Условия на существование корней, число корней, их значений, поведение и свойства графиков функции можно сформулировать в терминах соотношений между коэффициентами и условий на коэффициенты.

По знакам коэффициентов можно однозначно восстановить эскиз графика функции. Знак выражения определяет существование и число корней. Важно понимать, как влияют коэффициенты квадратичной функции, их знаки, соотношения между ними на свойства функции и ее графика. Большое практическое значение при решении задач на квадратичную функцию имеет наличие однозначного соответствия между алгебраическим описанием и геометрической интерпретацией задачи – графическим изображением и положением эскиза графика функции на координатной плоскости. С одной стороны, от учащихся требуется свободное владение свойствами квадратичной функции и умение построить соответствующую графическую интерпретацию, с другой - геометрическая интерпретация помогает проверить логическую правильность и непротиворечивость теоретических рассуждений. Задачи на расположение корней квадратичной функции и сводящиеся к ним – одни из самых популярных в задачах с параметрами. Эта тема позволит углубить наши знания о квадратичной функции и повысить интерес учащихся к ней. Цель моей работы – исследовать квадратичную функцию, осуществить её полный анализ и применить к решению задач из ЕГЭ и из другой литературы различного уровня сложности.

Определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида где - независимая переменная, а, b и с - некоторые числа, причем, а 0. Графиком квадратичной функции является парабола. Ветви параболы направлены вверх при а >0 и вниз при а

Функция y = ax², её свойства и график Свойства функции y = ax² при а >0. 1. Область определения –. 2. Если = 0, то y = 0, т. е. парабола имеет с осями координат общую точку (0;0) – начало координат. Если х 0, то y >0, т. е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс. 3. Функция непрерывна. 4. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует. 5. На промежутке [0; + ) функция у = a х 2 возрастает. На промежутке (-; 0] функция у = a х 2 убывает. 6. Если значения аргумента отличают ­ ся только знаком, то значения функции равны, т. е. парабола симметрична относительно оси ординат ( функция у = a х 2 - четная ). 7. Функция ограничена снизу и не ограничена сверху. 8. Множеством значений функции у = a х 2 является промежуток [0; + ) Свойства функции y = ax² при а

При а >1 – растяжение графика функции y = x² в а раз, при 0< а

3.2. Параллельный перенос по оси Ох x y x y y = 2x² y = 2(x + 2)² y = 2(x – 2)² Параллельный перенос графика функции у = ах ² вдоль оси х на |m| ( вправо при m > 0 и влево при т < 0). Результат : график функции у = а ( х - т ) ². Построим график функции y = 2(x + 2)² и y = 2(x – 2)². y = 2x² сдвиг на 2 единицы влево y = 2(x + 2)². y = 2x² сдвиг на 2 единицы вправо y = 2(x – 2)².

Параллельный перенос графика функции у = ах ² вдоль оси у на |n| ( вверх при п > 0 и вниз при п < 0). Результат : график функции у = ах ² + n. Построим график функции y = - x² + 2 и y = - x² - 2. y = - x² сдвиг на 2 единицы вверх y = - x² + 2. y = - x² сдвиг на 2 единицы вниз y = - x² Параллельный перенос по оси О y x y y = - x² y = - x² + 2 y = - x² - 2

Для построения графика функции y = a(x – m)² + n надо сдвинуть график функции y = ax² вдоль оси абсцисс на отрезок m, а затем сдвинуть вдоль оси ординат на отрезок n; следовательно, графиком функции y = ax² + bx + c является такая же парабола, как у = ах ², но сдвинутая так, что её вершина находится в точке А (m;n), где m =, n =

3.5. Построение графика по трем точкам. Пример. Построить график функции. Решение. Имеем. А (-1;1) – вершина параболы ; так как, то ветви параболы направлены вверх и, значит, с осью абсцисс график пересекаться не будет. Точка пересечения с осью 0y имеет вид В (0;3).

4. Исследование квадратичной функции Исследование корней квадратного трехчлена. Свойства функции и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента а и дискриминанта, что отражено в таблице.

4.2. Расположение корней квадратичной функции. Если дискриминант квадратного уравнения является полным квадратом, то лучше найти корни уравнения и дальше работать с этими корнями. Если дискриминант квадратного уравнения не является полным квадратом, то корни уравнения лучше не находить, а нужные ограничения составить на основе следующих теорем.

4.3. Различные способы решения квадратных уравнений.

5. Решение различных задач повышенной сложности с помощью квадратичной функции.

6. Решение задач из ЕГЭ 9 класса с помощью квадратичной функции.

Заключение Меня заинтересовала тема « Квадратичная функция », и я углубила свои знания о ней. Эта тема позволила мне расширить мое представление о функции и ее свойствах. С помощью изучения квадратичной функции я узнала, что существуют различные способы построения графиков и попробовала решать задачи к ЕГЭ и повышенного уровня сложности. Добиваясь поставленной цели, мы решили следующие задачи : применение практических навыков при решении задач, требующих комплексного применения знаний, полученных в ходе изучения различных учебных предметов. Проработанный и изученный мною материал формирует становление профессиональных интересов, целостное, единое представление об окружающем мире, о взаимообусловленности явлений и процессов, а также общности законов, действующих в природе. Мы встречаемся с квадратичной функцией не только при решении задач и построении графиков, но и в окружающем мире.

Список литературы. Кожухов С. К., Кожухова С. А. Уравнения и неравенства с параметром. – Орел : ОИУУ, с. Математика : Лекции, задачи, решения : Учебное пособие / В. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин и другие ; Худ. А. Шуплецов. – Мн.: ООО « Попурри », – 640 с.: ил. Галицкий М. Л. и другие. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов : Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. – 2- е издание. – М.: Просвещение, – 271 с.: ил. Энциклопедический словарь юного математика / сост. э 68 А. П. Савин. – М.: Педагогика, – 352 с., ил. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс : В двух частях. Ч.1: Учебник для общеобразовательных учреждений. – 8- е издание. – М.: Мнемозина, – 223 с.: ил. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс : В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинслая. – 8- е издание. – М.: Мнемозина, – 239 с.: ил. Алгебра : сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе./ Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и другие. – 2- е издание. – М.: Просвещение, – 191 с.: ил. – ( Итоговая аттестация ).