Производная показательной функции. Число. е. Производная логарифмической функции. Степенная функция.

Понятие ф ункции я вляется о дним и з о сновных п онятии математики. О но н е в озникло с разу в т аком в иде, к ак м ы им п ользуемся с ейчас, а, к ак и д ругие ф ундаментальные понятия п рошло д линный п уть д иалектического и исторического р азвития. И дея ф ункциональной зависимости в осходит к д ревнегреческой м атематике. Например, и зменение п лощади, о бъема ф игуры в зависимости о т и зменения е е р азмеров. О днако древними г реками и дея ф ункциональной з ависимости осознавалась и нтуитивно.

Уже в в. в, т ехника, п ромышленность, м ореходство поставили п еред м атематикой з адачи, к оторые н ельзя было р ешить и меющимися м етодами м атематики постоянных в еличин. Н ужны б ыли н овые математические м етоды, о тличные о т м етодов элементарной м атематики. В первые т ермин " функция " вводит в р ассмотрение з наменитый н емецкий м атематик и ф илософ Л ейбниц в 1694 г. О днако, э тот т ермин ( определения о н н е д ал в ообще ) о н у потребляет в у зком смысле, п онимая п од ф ункцией и зменение о рдинаты кривой в з ависимости о т и зменения е е а бсциссы.

Таким о бразом, п онятие ф ункции н осит у н его " геометрический н алет ". В с овременных терминах э то о пределение с вязано с п онятием множества и з вучит т ак :« Функция е сть произвольный с пособ о тображения м ножества А = { а } в о м ножество В = { в }, п о к оторому каждому э лементу а [pic] А п оставлен в соответствие о пределенный э лемент в [pic] В.

Исследование п оведения р азличных с истем ( технические, э кономические, э кологические и др.) ч асто п риводит к а нализу и р ешению уравнений, в ключающих к ак п араметры системы, т ак и с корости и х и зменения, аналитическим в ыражением к оторых я вляются производные. Т акие у равнения, с одержащие производные, н азываются д ифференциальными.

В м атематике XVII в. с амым ж е б ольшим достижением с праведливо с читается изобретение д ифференциального и интегрального и счисления. С формировалось о но в р яде с очинений Н ьютона и Л ейбница и и х ближайших у чеников. В ведение в м атематику методов а нализа б есконечно м алых с тало началом б ольших п реобразований.

Но н аряду с и нтегральными м етодами складывались и м етоды д ифференциальные. Вырабатывались э лементы б удущего дифференциального и счисления п ри р ешении задач, к оторые в н астоящее в ремя и р ешаются с помощью д ифференцирования. В т о в ремя т акие задачи б ыли т рех в идов : о пределение касательных к к ривым, н ахождение м аксимумов и м инимумов ф ункций, о тыскивание у словий существования а лгебраических у равнений квадратных к орней.

В практике часто используются функции y=2 x, y=10 x, y=(0,1) x и т. д., т. е. функция вида y=a x где а - заданное число, x - переменная. Такие функции называют показательными.

Определение: Показательной функцией называется функция y=a x где а - заданное число, a>0 и a 0.

1) Область определения показательной функции - множество R всех действительных чисел. 2) Множество значений показательной функции - множество всех положительных чисел R +. 3) Показательная функция у = а Х является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если а > 1, и убывающей, если 0< а

Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов. Так, радиоактивный распад описывается формулой: M(t)=m 0 (1/2) t/T где т (t) и m 0 - масса радиоактивного вещества соответственно в момент времени t и в начальный момент времени t = 0, Т – период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое ). С помощью показательной функции выражается давление воздуха в зависимости от высоты подъема, ток самоиндукции в катушке после включения постоянного напряжения, и т.д.

Дифференциальное и счисление ш ироко используется п ри и сследовании ф ункций. С помощью п роизводной м ожно н айти промежутки м онотонности ф ункции, е е экстремальные т очки, н аибольшие и наименьшие з начения.

Широкое применение нашла логарифмическая функция в астрономии: Например по ней изменяется величина блеска звезд, если сравнивать характеристики блеска отмеченные глазом и с помощью приборов, то можно составить следующий график: По графику видно, что объективные и субъективные характеристики не пропорциональны, а прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, а в 2,5 раза. Эта зависимость выражается логарифмической функцией.

Ещё одно применение логарифмической функции можно найти, если рассматривать логарифмическую спираль. Спираль, по определению - это плоская линия, образованная движущейся точкой, которая удаляется по определенному закону от начала луча, равномерно вращающегося вокруг своего начала. Если начало спирали выбрать за полюс полярной системы координат, то математически спираль может быть представлена с помощью некоторого полярного уравнения r = f(j), где r - радиус-вектор спирали, j - угол, откладываемый на полярной оси, f(j) - некоторая монотонно возрастающая или убывающая положительная функция. В случае с логарифмической спиралью точка удаляется по экспоненциальному закону (, где a - произвольное положительное число). логарифмическая спираль.

В математике часто встречается логарифмическая функция y=log a x где а - заданное число, а > 0, а 1.

a>0

Построим график логарифмической функции если а

Рис.1

1) Область определения логарифмической функции - множество всех положительных чисел R +. 2) Множество значений логарифмической функции - множество R всех действительных чисел. 3) Логарифмическая функция y=log a x является возрастающей на промежутке х > 0, если а > 1 ( рис. 1 а ), и убывающей, если О < а < 1 ( рис. 1 б ). 4) Если а > 1, то функция y=log a x принимает положительные значения при х > 1, отрицательные при 0 1.

Вы знакомы с функциями у = х, у = х 2, у = х З, y=1/ х и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции у = х Р, где р - заданное действительное число.

1. Показатель р =2n - четное натуральное число. В этом случае степенная функция у = х 2n, где n - натуральное число, обладает следующими свойствами : - область определения - все действительные числа, т. е. множество R ; - множество значений - неотрицательные числа, т. е. y 0; - функция у = х 2n четная, так как (- х ) 2n = х 2n ; - функция является убывающей на промежутке xO и возрастающей на промежутке x O. График функции у = х Р имеет такой же вид, как, например, график функции у = х 4 ( рис. 1).

Рис. 1

2. Показатель р =2n-1 - нечетное натуральное число. В этом случае степенная функция y= х 2n-1, где 2n-1 - натуральное число, обладает следующими свойствами : - область определения - множество R ; - множество значений - множество R ; - Функция y= х 2n-1 нечетная, так как ( - х ) 2n-1 = - х 2n-1 ; - функция является возрастающей на всей действительной оси. График функции y= х 2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y= х 3 ( рис. 2). Рис.2

3. Показатель р = - 2n, где n - натуральное число. В этом случае степенная функция y= х 2n обладает следующими свойствами : - область определения - множество R, кроме х = 0 ; - множество значений - положительные числа у > 0 ; - Функция y= х 2n - четная, так как (- х ) 2n = х 2n ; - функция является возрастающей на промежутке х 0. График функции y= х 2n имеет такой же вид, как, например, график функции y= х -2 ( рис.3). Рис.3

4. Показатель р = - (2n - 1), где n - натуральное число. В этом случае степенная функция y= х -(2n-1) обладает следующими свойствами : - область определения - множество R, кроме х = 0 ; - множество значений - множество R, кроме у = 0 ; - функция нечетная, так как (- х ) -(2n-1 ) = х -(2n-1 ) ; - функция является убывающей на промежутках х 0. График функции y= х -(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y= х -3 ( рис. 4). Рис.4

В этом случае функция у = х Р обладает следующими свойствами : область определения - неотрицательные числа х ; множество значений - неотрицательные числа у ; функция является возрастающей на промежутке ( x ; ). График функции у = х Р, где р - положительное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график функции у = х ( при 0 1 ) ( рис.5 a, б )

Рис.5

Презентацию п одготовил : Гольцман Р удик.