Геометрия МОУ Серковская СОШ Цитович Алексей Федорова Ирина Юрьевна Вдохновение в геометрии нужно также как и в поэзии

4 Показать свои знания основного теоретического материала по темам «Аксиомы стереометрии», «Параллельность прямой и плоскости», «Параллельность плоскостей», «Перпендикулярность прямой и плоскости»; 4 Научиться работать с инструментами: вставка объекта и надписи, прямые, тип линий, тип штриха, цвет линий, эллипс, группировка объектов, эффекты и настройка анимации, управляющие кнопки, WordArt; 4 Развитие способности практического применения основных теорем и аксиом стереометрии при построении сечений; 4 научиться планировать свою деятельность. Цели :

Содержание: 4 Список применяемых теорем 4 Проектное задание 1 4 Проектное задание 2 4 Проектное задание 3 4 Проектное задание 4 4 Проектное задание 5 4 Проектное задание 6 4 Проектное задание 7 4 Проектное задание 8 4 Проектное задание 9 4 Мои инструменты 4 Выводы

Сводный список применявшихся теорем: 4 С 2 : Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. 4 С 3 : Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. 4 Теорема 15.1 : Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. 4 Теорема 15.2 : Если две точки прямой принадлежат этой плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. 4 Теорема 15.3 : Через три точки,не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. 4 Теорема 16.1 : Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну. 4 Теорема 16.2 : Две прямые, параллельные третьей прямой, параллейны. 4 Теорема 16.3 : Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-ни будь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. 4 Свойство параллельных плоскостей: Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллейны. 4 Свойство перпендикулярных прямой и плоскости: Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. 4 Признак перпендикулярности прямой и плоскости: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Решение: Проектное задание 1: 4 На ребрах МА и МВ, а также в грани МСD пирамиды МАВСD взяты соответственно точки P, Q и R. Построить линию пересечения плоскости PQR с плоскостью АВС. М С R Q P D A B (Q) (P) R S1S1 S2S2 S1S2 S1S2 - след плоскости PQR на плоскости ABC

Решение: 4 Построим точки Р, Q, R - проекции соответственно точек P, Q, R на плоскость АВС. 4 Прямые PQ и PQ лежат в одной плоскости. Найдем точку S 1, в которой пересекаются эти прямые. По теореме точка S 1 является общей точкой плоскостей PQR и АВС. По аксиоме С 2 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S 1. 4 Аналогично найдем точку S 2, в которой пересекаются прямые QR и QR и которая является общей для плоскостей PQR и АВС. По аксиоме С 2 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S 2. 4 Проведём прямую S 1 S 2. По теореме Эта прямая лежит как в плоскости АВС, так и в плоскости PQR. Таким образом, прямая S 1 S 2 - это искомая линия пересечения. Линию пересечения двух плоскостей называют также следом одной из них на другой.

Проектное задание 2: 4 На ребрах МА и МВ, а также в грани МСD пирами- ды МАВСD взяты соот- ветственно точки P, Q и R. Построить сечение пирами- ды плоскостью PQR. М С R Q P D A B (Q) (P) R S1S1 S2S2 (V) S3S3 V T PQTV - искомое сечение Решение:

4 Построим прямую S 1 S 2 - след плоскости PQR на плоскости АВС. 4 Линия пересечения плоскости PQR с плоскостью МАВ - прямая QS 1, а отрезок QP - это пересечение плоскости PQR с гранью МАВ. 4 Точка Р является общей точкой плоскостей PQR и МАD. Эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку Р (по Т 15.2.). Проекция точки пересечения прямой МD с плоскостью PQR на плоскость АВС совпадает с точкой D. Пересечение РV с прямой S 1 S 2 дает точку S 3. Точка S 3 является общей точкой плоскостей PQR и МАD. Эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S 3 (по Т 15.2.). 4 Точки Р и S 3 являются общими для плоскостей PQR и МАD. Значит, прямая РS 3 - это линия пересечения этих плоскостей. Проведем её и найдём точку V, в которой прямая РS 3 пересекает MD. Отрезок PV является пересечением плоскости PQR с гранью МАD. 4 Точки R и V являются общими для плоскостей PQR и МCD. Значит, прямая RV - это линия пересечения этих плоскостей. Найдём точку T, в которой прямая RV пересекает MC. Отрезок VT является пересечением плоскости PQR с гранью МCD. 4 Отрезок QT - это пересечение плоскости PQR с гранью MBC PQTV - искомое сечение

Решение: S2S2 S1S1 Проектное задание 3: 4 В гранях BCC 1 B 1, ADD 1 A 1 и CDD 1 C 1 призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взяты соответственно точки P, Q, R. Построим линию пересечения плоскостей PQR и АВС. А В В1В1 А1А1 Р D D1D1 QR C C1C1 Q R P S1S2 S1S2 - след плоскости PQR на плоскости ABC

Решение: 4 Построим точки Р, Q, R - проекции соответственно точек P, Q, R на плоскость АВС. 4 Так как ВВ 1 ||АА 1, ВВ 1 ||РР, АА 1 ||QQ, то РР ||QQ и, значит, определя- ют плоскость. Прямые PQ и PQ лежат в одной плоскости. Найдем точку S 1, в которой пересекаются эти прямые. По теореме точка S 1 является общей точкой плоскостей PQR и АВС. По аксиоме С 2 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S 1. 4 Так как CC 1 ||РР, CC 1 ||RR, то РР ||RR и, значит, определяют плоскость. Аналогично найдем точку S 2, в которой пересекаются прямые QR и QR и которая является общей для плоскостей PQR и АВС. По аксиоме С 2 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S 2. 4 Проведём прямую S 1 S 2. По теореме Эта прямая лежит как в плоскости АВС, так и в плоскости PQR. Таким образом, прямая S 1 S 2 -это искомая линия пересечения.

Проектное задание 4: 4 В гранях BCC 1 B 1, ADD 1 A 1 и CDD 1 C 1 призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взяты соответственно точки P, Q, R. Построим сечение призмы плоскостью PQR. S2S2 S1S1 Q R P (V) S3S3 А В В1В1 А1А1 Р D D1D1 Q R C C1C1 V A2A2 C2C2 K L VC 2 KLA 2 - искомое сечение Решение:

4 Построим прямую S 1 S 2 - след плоскости PQR на плоскости АВС. 4 Точка Q является общей для плоскостей PQR и АDD 1. Они пересекаются по прямой, проходящей через точку Q (по Т 15.2.). Проекция точки пересечения прямой DD 1 с плоскостью PQR на плоскость АВС совпадает с точкой D. Пересечение QV с пря- мой S 1 S 2 дает точку S 3. Точка S 3 является общей для плоскостей PQR и АDD 1. Эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S 3 (по Т 15.2.). 4 Точки Q и S 3 являются общими для плоскостей PQR и АDD 1. Значит, прямая QS 3 - это линия пересечения этих плоскостей. Проведем её и найдём точки V(точка пере- сечения прямых QS 3 и DD 1 ) и А 2 (точка пересечения прямых QS 3 и АА 1 ). Отрезок А 2 V является пересечением плоскости PQR с гранью АDD 1 A 1. 4 Точки R и V являются общими для плоскостей PQR и C 1 CD. Значит, прямая RV - это линия пересечения этих плоскостей. Найдём точку C 2, в которой прямая RV пе- ресекает CC 1. Отрезок VC 2 является пересечением плоскости PQR с гранью C 1 CDD 1. 4 Рассуждая аналогично найдем отрезок С 2 К, который является пересечением плоскости PQR с гранью C 1 CВB 1. 4 По свойству параллельных плоскостей прямые S 1 S 2 ||KL, где К - это точка пересе- чения ребра В 1 А 1 с плоскостью PQR. VC 2 KLA 2 - искомое сечение

Решение: Проектное задание 5: На ребрах АА 1 и АD призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взяты соответственно точки А2 А2 и Р. Через точку Р проведем прямую m, параллельную прямой А2С1.А2С1. A 2 PSC 1 K - искомое сечение m - искомая прямая S K D2D2 F А А1А1 В1В1 С1С1 С D D1D1 A2A2 B P m

Решение: 4 Проведём прямую А 2 Р и найдем точки пересечения А 2 Р с DD 1 и A 1 D 1 (D 2 и F соответственно). 4 Проведем прямую D 2 C 1 и найдем S - точку пересечения прямых D 2 C 1 и CD. 4 Проведём прямую SP. 4 Проведём прямую C 1 F и найдём К - точку пересечения C 1 F и А 1 В Соединим точку А 2 с точкой К А 2 PSC 1 K- сечение призмы 4 В плоскости А 2 С 1 Р через точку Р проведем прямую m||А 2 С 1 и найдем Y - точка пересечение прямых m и D 2 C 1. PY-искомая прямая 4 Замечание: Прямые PS и KC 1 получились параллельными. Закономерность этого факта обосновывается свойством параллельных плоскостей АВС и А 1 В 1 С 1.

Решение: Проектное задание 6: 4 На ребрах СD и ВВ 1 призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взяты соответственно точки P и Q. Построим сече- ние призмы плоскос- тью, проходящей через прямую PQ паралле- льно прямой АС. PS 1 A 2 QC 2 - искомое сечение m C2C2 S2S2 S1S1 S3S3 B A D P C C1C1 D1D1 B1B1 A1A1 Q A2A2

Решение: 4 В плоскости АВС проведём прямую m||АС. 4 Найдем S 1, S 2, S 3 - точки пересечения прямой m с прямыми AD, AB, BC соответственно. 4 Прямая QS 2 - линия пересечения секущей плоскости с плоскостью АВВ 1. Найдем А 2 - точку пересечения прямых АА 1 и QS 2. Отрезок QА 2 является пересечением секущей плоскости с гранью АВВ 1 А 1. 4 Прямая QS 3 - линия пересечения секущей плоскости с плоскостью ВСС 1. Найдем С 2 - точку пересечения прямых СС 1 и QS 3. Отрезок QС 2 является пересечением секущей плоскости с гранью ВСС 1 С 1. 4 Соединим точку А 2 с точкой S 1 и точку С 2 с точкой Р. Отрезки А 2 S 1 и С 2 Р являются пересечениями секущей плоскости соответственно с гранями АDD 1 A 1 и CDD 1 C 1. PS 1 A 2 QC 2 - искомое сечение

C2C2 T2T2 A2A2 T1T1 m Проектное задание 7: 4 На ребрах АВ, ВС и ВВ 1 призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взяты соответственно точки P, Q и R. Построим сечение призмы плоскостью, параллельной плоскости PQR и проходящей через точку К взятую на ребре АD. В В1В1 P A K D D1D1 C C1C1 A1A1 R Q S2S2 S1S1 S3S3 KS 1 C 2 T 2 T 1 A 2 - искомое сечение Решение:

4 В плоскости АВС через точку К проведём прямую m||PQ. 4 Найдем S 1, S 2, S 3 - точки пересечения прямой m с прямыми СD, AB, BC соответственно. 4 В плоскости АВВ 1 через точку S 2 прямую n||PR. 4 Найдем А 2, Т 1 - точки пересечения прямой n с прямыми AА 1, B 1 А 1 соответственно. 4 В плоскости СВВ 1 через точку S 3 прямую k||QR. 4 Найдем C 2, Т 2 - точки пересечения прямой k с прямыми CC 1, B 1 C 1 соответственно. 4 Соединим точку Т 1 с точкой Т 2, точку S 1 с точкойC 2, точку A 2 с точкой K. KS 1 C 2 T 2 T 1 A 2 - искомое сечение 4 Замечание: Прямые КS 1 и Т 1 Т 2 получились параллельными. Закономерность этого факта обосновывается свойством параллельных плоскостей АВС и А 1 В 1 С 1.

Решение: Проектное задание 8: 4 На ребре А 1 В 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взята точка Р - середина этого ребра. Построим сечение куба плоскостью, проходящей через точку Р перпендикулярно прямой В1D.В1D. А BC D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 P Q B2B2 QPB 2 - искомое сечение

Решение: 4 Так как А 1 С 1 перпендикулярна В 1 D 1 и А 1 С 1 перпендикулярна DD 1, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая А 1 С 1 перпендикулярна плоскости DD 1 В 1. 4 Проведём в плоскости А 1 В 1 С 1 через точку Р прямую PQ||А 1 С 1. По свойству перпендикулярных прямой и плоскости прямая PQ перпендикулярна плоскости DD 1 В 1, и, следовательно, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, PQ перпендикулярна В 1 D. 4 Рассуждая аналогично, проведём через точку Р в плоскости АВВ 1 прямую РВ 2 ||А 1 В. Тогда РВ 2 перпендикулярна В 1 D. 4 Так как прямая В 1 D ( по построению) перпендикулярна двум пересекающимся прямым PQ и РВ 2, то плоскость, определяемая этими прямимы, перпендикулярна прямой В 1 D. QPB 2 - искомое сечение

Решение: Проектное задание 9: 4 Высота МО правильной пирамиды МАВСD равна стороне ее основания. По- строим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину D перпенди-кулярно прямой МВ. O D C A B M H m A1A1 C1C1 DA 1 HC 1 - искомое сечение

Решение: 4 В плоскости BMD опустим перпендикуляр из точки D на прямую МВ. Выполним это построение вычислительным способом. Для построения точки Н подсчитаем, что отношение ВН:ВМ=2:3. Зная это отношение параллельных отрезков ВН и ВМ, построим с помощью вспомогательного луча m точку Н и проведем затем прямую DH. 4 Проведем в плоскости МАС через точку пересечения прямых DH и МО прямую А 1 С 1 ||АС. По свойству перпендикулярных прямой и плоскости АС перпендикулярна плоскости BDM. Следовательно, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, А 1 С 1 перпендикулярна МВ. 4 Пересекающимися прямыми А 1 С 1 и DH определяется плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой МВ. DA 1 HC 1 - искомое сечение

При выполнении данного проекта мою деятельность мож- но разделить на три этапа: 4 работа с текстом; 4 геометрические построения; 4 анимация. При работе с текстом я использовала: вставку надписи, цвет текста, нижний индекс, шрифт, размер шрифта. Для геометрического построения мне были необходимы ин- струменты: линии, цвет линии, тип линии, тип штриха, овал. Для того чтобы выполнить анимацию мне был нужен ин- струмент-группировка. Без него анимация была бы трудо- емкой. Я старалась выдержать проект в едином стиле. МОИ ИНСТРУМЕНТЫ:

ВЫВОДЫ: Создавая проект, я поняла: 4 технологию применения основных аксиом и теорем стерео- метрии; 4 за чем нужен и как пользоваться инструментом группи- ровка. Этот проект научил меня: 4 строить сечение многогранников; 4 делать выноски и пользоваться управляющими кнопками. Из опыта работы по этому проекту в дальнейшем мне приго- диться: 4 способности планировать свою деятельность и оформ- лять наглядно и стильно любую работу; 4 навык работы с инструментами: группировка и управляю- щие кнопки.