специальность математика и информатика на тему : « Теория и методика изучения комплексных чисел в старших классах средней школы » Выполнила Юшина Дарья Сергеевна Научный руководитель Латышев Анатолий Васильевич

Данная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы. Во введении я отмечаю важность в предоставлении каждому учащемуся возможности достижения определенных целей образования с учетом собственных интересов, способностей и склонностей. Средством реализации чего является дифференциация в обучении. В первой главе рассматриваются психолого - педагогические аспекты учебной деятельности старших школьников и методические основы введения комплексных чисел в старших классах средней школы. Во второй главе приводятся сведения исторического характера о развитии и построении поля комплексных чисел. Третья глава посвящена непосредственно изложению теории комплексных чисел в старших классах средней школы.

Современная трактовка дифференциации обучения математике затрагивает два аспекта обучения : процессуальный и содержательный. Этим диктуется необходимость рассматривать два вида дифференциации : 1. Уровневая дифференциация ; 2. Дифференциация по содержанию или профильная. Оба вида дифференциации - уровневая и профильная - сосуществуют и взаимно дополняют друг друга на различных ступенях школьного математического образования, однако в разном удельном весе. Развитие среднего общего образования требует значительного улучшения и совершенствования преподавания всех дисциплин. Их содержание должно соответствовать современному уровню науки и техники и в значительной степени определять уровень профессиональной подготовки будущих выпускников средних общеобразовательных школ.

Особенности мышления старшеклассников – Мышление становится более глубоким, полным, разносторонним и всё более абстрактным. Мыслительная деятельность отличается у них высоким уровнем обобщения и абстракции, учащиеся стремятся к установлению причинно - следственных связей и других закономерностей между явлениями окружающего мира. Учебная деятельность старшеклассников – Углубляется содержание обучения и вводятся новые учебные разделы, также учебная деятельность старшеклассников предъявляет гораздо более высокие требования к их активности и самостоятельности.

Рассмотрим пример дифференцированного изучения темы " Комплексные числа ". Эта тема выбрана не случайно : без нее курс школьной математики нельзя считать завершенным, так как в результате введения данного понятия ( мнимая единица, комплексное число ) получается необходимое расширение множества действительных чисел и поэтому знакомство с комплексными числами должно входить в программу курса математики средних общеобразовательных школ любого профиля, а не только школ с углубленным изучением математики.

Истории комплексных чисел посвящено много работ, из которых видно, что появление мнимых чисел относится к Х VI в., а может быть, к еще более раннему времени. В трудах Кардано, Бомбелли, Жираро, Декарта и других математиков они стали называться « величинами », но с обязательным прибавлением эпитетов : « невозможные », « софистические », « мнимые » и т. п. Джеронимо Кардано ( гг.) решает задачу - нарезать участок земли прямоугольной формы с площадью S=40 ( кв. ед.) и периметром 2 р =20 ( лин. ед ). Выражения вида а +-b появились в книге Кардано « Великое искусство, или о правилах алгебры », вышедшей в 1545 г., при решении кубического уравнения х 3 +px=q: именно потребность решать уравнения второй и третьей степени привела к необходимости строить новую теорию - комплексных чисел. Первые правила арифметических действий над такими числами были введены итальянским алгебраистом Бомбелли в 1572 году.

В работе « Введение в математический анализ » (1746 г.) Леонардо Эйлер, приняв название мнимой единицы Р. Декарда imaginaires, вводит первую букву этого слова i для обозначения, так что i 2 =-1, и вводит функцию е xi. Позднее, в 1831 г. Гаусс предложил геометрическую интерпретацию комплексных чисел, которая позволила дать обоснование многим понятиям теории комплексных чисел. Геометрическое истолкование комплексных чисел независимо от Гаусса и друг от друга было получено также датчанином Весселем (1797 г.) и французом Арганом (1806 г.) Так, Софья Ковалевская ( ) решила, используя теорию функций комплексного переменного, задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки, решение которой в течение долгого времени не поддавалось усилиям многих математиков и механиков. Н. Е. Жуковский при помощи функции, которая в настоящее время носит его имя, вывел формулу для определения подъемной силы крыла.

« Мнимые числа это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что сочетание бытия с небытием » Г. Лейбниц

Представление о числе изменялось по мере расширения круга задач.

Понятие комплексного числа Название « комплексные » происходит от слова « составные » по виду выражения a+bi. Равенство комплексных чисел Два комплексных числа a+bi и c+di называются равными тогда и только тогда, когда а = с и b=d, т. е. когда равны их действительные и мнимые части. Например, 1,5+9i=3/2+3i, т. к. 1,5=3/2 и 9=3 Сложение и умножение комплексных чисел (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (a+bi)( с +di)=( ас -bd)+(ad+bc)i. Комплексно сопряженные числа Сопряженным с числом z=a+bi называется комплексное число a-bi

Модуль комплексного числа Модулем комплексного числа z=a+bi называется число Вычитание комплексных чисел Если z 1 =a 1 +b 1 i, z 2 =a 2 +b 2 i, то разность z 1 -z 2 имеет следующий вид : ( а 1 +b 1 i)-( а 2 +b 2 i)=(a 1 - а 2 )+(b 1 -b 2 )i. Деление комплексных чисел

Комплексное число z= а +bi можно изображать вектором с началом в точке 0 и концом в точке z. Этот вектор будем обозначать той же буквой z, длина этого вектора равна |z|. Число z 1 +z 2 изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов z 1 и z 2, а вектору z 1 -z 2 можно построить как сумму векторов z 1 и -z 2 Пример : Пусть z 1, z 2 разные точки комплексной плоскости. Тогда |z-z 1 |=|z-z 2 | - уравнение прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки z 1, z 2, и проходящей через его середину.

Любое комплексное число z=a+bi, где z0, представляется в виде z=r(cos φ +i sin φ ) С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел z l и z 2. z 1 z 2 =r 1 r 2 (cos( φ 1+ φ 2 )+i sin( φ 1+ φ 2 )). Вообще для любого n из N ( и для всех n из Z) справедлива формула (cos φ +i sin φ ) n =cos φ n +i sin φ n, которую называют формулой Муавра. Для n- й степени комплексного числа, записанного в тригонометрической форме z=r(cos φ +i sin φ ), справедлива формула z n =r n (cos φ n +i sin φ n ).

Рассмотрим уравнение z 2 =a, где а заданное действительное число, z неизвестное. Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать корни любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами az 2 +bz+c=0 по известной общей формуле. Пример : Решить уравнение z 2 -16z+65=0. По общей формуле находим т. е. z 1 =8+i, z 2 =8-i.

Число z называется корнем степени n из числа w ( обозначается ), если z n =w. Все решения уравнения z n =w могут быть записаны следующим образом : k=0, 1, 2, …, n-1.

Положим по определению e i φ =cos φ +isin φ называется формулой Эйлера. Тогда любое комплексное число z0 можно записать в виде : z=r(cos φ +isin φ )=re i φ Эта форма записи комплексного числа называется показательной.