Векторы в пространстве

Цели урока Знать: определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия; равенство векторов. Уметь: решать задачи по данной теме.

Физические величины Скорость Ускорение а Перемещение s Сила F v

Электрическое поле + Е Вектор напряженности

Магнитное поле Направление тока в Вектор магнитной индукции

Понятие вектора появилось в 19 веке в работах математиков Г. Грассмана У. Гамильтона

Современная символика для обозначения вектора r была введена в 1853 году французским математиком О. Коши.

Задание Записать все термины по теме «Векторы на плоскости». Вектор Нулевой вектор Длина вектора Коллинеарные векторы Сонаправленные векторы Противоположно направленные векторы Равенство векторов

Определение вектора в пространстве Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой- концом, называется вектором. В А с Обозначение вектора АВ, с

Т ТТ Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется Обозначение нулевого вектора ТТ, 0 нулевым. 0

Длина ненулевого вектора Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ. Длина вектора АВ (вектора а) обозначается так: АВ, а Длина нулевого вектора считается равной нулю: 0= 0

Определение коллинеарности векторов Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы Противоположно направленные векторы Сонаправленные векторы

Какие векторы на рисунке сонаправленные? Какие векторы на рисунке противоположно направленные? Найти длины векторов АВ; ВС; СС 1. AB C D В1В1 D1D1 A1A1 C1C1 Сонаправленные векторы: AA 1 BB 1, A 1 D B 1 C AB D 1 C 1 Противоположно-направленные: CD D 1 C 1, CD AB, DA BC АВ = 5 см; ВС = 3 см; ВВ1 = 9 см. 5 см 3 см 9 см 5 см 3 см 9 см

Равенство векторов Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. А В С Е АВ=ЕС, так как АВ ЕС и АВ = ЕС

Могут ли быть равными векторы на рисунке? Ответ обоснуйте. Рисунок 1 Рисунок 2 А В С М АВ=СМ, т. к АВ = СМ А Н О К АН=ОК, т. к АН ОК

Доказать, что от любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один Дано: а, М. Доказать: в = а, М в, единственный. Доказательство: Проведем через вектор а и точку М плоскость. В этой плоскости построим МК = а. Из теоремы о параллельности прямых следует МК = а и М МК. Э Э М К а

Решение задач 322 А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 М К Укажите на этом рисунке все пары: а) сонаправленных векторов ДК и СМ; CВ и С 1 В 1 и Д 1 А 1; б) противоположно направленных векторов СД и АВ; АД и СВ; АА 1 и СС 1; АД и Д 1 А 1; АД и С 1 В 1; в) равных векторов CВ = С 1 В 1 ; Д 1 А 1 = С 1 В 1; ДК=СМ

Решение задач 321 (б) AB CD A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 Решение: DC 1 = DB = DB 1 =

Куб и тетраэдр Тетраэдр можно вписать в куб так, что вершинами тетраэдра будут некоторые вершины куба.

Решение задач А D С В М Р N Q Дано: точки М, N, P,Q – середины сторон AB, AD, DC, BC; AB=AD= DC=BC=DD=AC; а) выписать пары равных векторов; MN = QP; PN = QM; DP = PC; б) определить вид четырехугольника MNHQ. NM-средняя линяя треугольника ADB, MN = 0,5DB, MN\\DB, MQ-средняя линия тр. ABC, MQ = 0,5AC, MQ\\AC, Решение: NP-средняя линия треугольника ADC, NP = 0,5AC, NP\\AC; NP=MQ, NP\\MQ. PQ-средняя линия треугольника DВC; PQ = 0,5DB, PQ\\DB; PQ=MN, PQ\\MN. 323

По условию все ребра тетраэдра равны, то он правильный и скрещивающиеся ребра в нем перпендикулярны. DB перпендикулярно АС. NP=MQ=PQ=MN NP\\MQ MN\\PQ MNPQ- квадрат

Решение задач 326 (а, б, в) А В С D А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 М К Назовите вектор, который получится, если отложить: а) от точки С вектор, равный DD 1 CC 1 = DD 1 б) от точки D вектор, равный СМ DK = CM в) от точки А 1 вектор, равный АС А 1 С 1 = АС

Самостоятельная работа Дан тетраэдр МАВС, угол АСВ прямой. Точки К и Р середины сторон МВ и МС, АС = 9 см и ВА = 15 см. Найти КМ. Решение: М А В С К М Треугольник АВС, угол АСВ- прямой По теореме Пифагора КМ – средняя линия треугольника МВС, КМ = 0,5ВС = 6 см. КМ = 6 см.

Домашнее задание Стр. 84 – , 321(а), 325.

Список литературы: 1. «Геометрия 10-11» Учебник для общеобразовательных учреждений. Л. С. Атанасян, И. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Э 68 А.. П. Савин.- М. Педагогика, Поурочные разработки по геометрии: 10 класс (сост. В. А. Яровенко) в помощь школьному учителю- М.: ВАКО, 2007.