ДИАГРАММЫ ЛАМЕРЕЯ Качественный анализ дискретных ДС

Динамическая система 2 (1) Уравнение может быть использовано для описания динамики популяции с неперекрывающимися поколениями. Функция F(N) обладает следующими свойствами: 1)F(N) > 0 допустимого N > 0 ; 2)F(0) = 0 ; 3)F(N) возрастает в окрестности точки N = 0 ; 4)F(N) k = const 0 при N +. Определение 1. Решением уравнения (1) называется числовая последовательность {N t } t=0,1,2,…., члены которой удовлетворяют уравнению (1).

Основные определения 3 Определение 2. Решение уравнения (1) вида N t = N * = const t = 0,1,2, … называется стационарным, а точка N * положением равновесия (или точкой покоя, стационарной точкой). Все положения равновесия являются корнями уравнения: F(N) = N (2) Определение 3. Стационарное решение N t = N * t = 0,1,2, … называется устойчивым, если > 0 > 0, такое, что | N t N * | < t 0, если | N 0 N * |

Диаграмма Ламерея Положения равновесия уравнения N t+1 = F(N t ) N y y = F(N) y = N N1*N1* N2*N2* N3*N3* 0 4

N0N0 Диаграмма Ламерея ( лестница Ламерея ) Решение уравнения N t+1 = F(N t ) y = N y = F(N) N y F(N 0 ) N2N2 N1N1 0 F(N 1 ) F(N 2 ) N3N3 5

Траектория N t N0N0 N2N2 N3N3 N4N4 N1N1 6

N0N0 Диаграмма Ламерея ( лестница Ламерея ) Решение уравнения N t+1 = F(N t ) y = N y = F(N) N y F(N 1 ) N2N2 N1N1 0 F(N 0 ) F(N 2 ) N3N3 N0N0 N1N1 N2N2 N3N3 F(N 3 ) N4N4 7

Траектория 8 N t N0N0 N2N2 N3N3 N4N4 N1N1

N0N0 Диаграмма Ламерея Анализ на устойчивость положений равновесия y = N y = F(N) N y N2N2 N1N1 0 N3N3 N0N0 N1N1 N2N2 N3N3 N4N4 9

Траектории, соответствующие различным начальным условиям 10 N t N1*N1* N2*N2* N3*N3*