Преподавание элементов статистики и теории вероятностей в классах средней школы

Изучение теории вероятностей и статистики в школе соответствует важной мировоззренческой миссии образования, демонстрирует роль математики в решении прикладных и производственных задач.

Планирование курса «ТВиС» для 7-9 классов опубликовано на сайте ОМЦ и в сборнике методических рекомендаций МЦНМО (авторы И.Р.Высоцкий и др.)

Темы курса Примерное кол-во часов Главы пособи я 7 класс Представление данных (таблицы, диаграммы)6I-II Описательная статистика и случайная изменчивость 8III-IV Введение в теорию вероятностей4V-VI 8 класс События и вероятности6VI-VII Элементы комбинаторики6VIII Испытания Бернулли6X 9 класс Геометрическая вероятность2IX Случайные величины5XI-XII Закон больших чисел2XIII Бином Ньютона, треугольник Паскаля5Прило жение Повторение курса4 Итого54

Структура курса: 1 блок: статистика (7 класс) 2 блок: теория вероятностей (4 часа в 7 классе, весь 8 и 9 кл.) И много других тем: таблицы и диаграммы; доли, проценты, изменение; комбинаторика; диаграммы Эйлера; сведения из других наук и областей знания…

Таблицы 1. Таблицы используются для упорядочивания данных, более компактной записи… 2. Некоторые популярные виды таблиц: – сметы; – таблицы для подсчета (символ: |||| или «конвертики»). 3. Отбор материала: показывать разнообразные таблицы, устроенные по-разному, реальные.

4. Методическая и мировоззренческая задача учителя: - обязательно осмысливать полученные данные, - пытаться ставить вопрос «Почему получились такие результаты?», - «Как на них можно влиять и что влияет?», - учить детей вглядываться в числа.

5. Два типа заданий: «найди в таблице», «занеси в таблицу» (иногда после собственных вычислений). При чтении таблиц научить обращать внимание на название строки или столбца в части наименования, единиц измерения (млн. или тыс.). При записи числа в таблицу учитывать, требуется ли вписывать единицу измерения или она учтена в заголовке.

Например НаименованиеЦена, руб.Кол-во, шт. Книги 100 руб.5 шт. Мячи 80 руб.7 шт. Что не так?

«Руб.» и «шт.» писать не надо. Надо так: НаименованиеЦена, руб.Кол-во, шт. Книги 1005 Мячи 807

6. Параллельно в учебнике изучаются темы: «доля» и «изменение в производстве». Почему? Статистика не созерцает, а анализирует. Удобно от абсолютных значений переходить к относительным. Наша «выгода»: происходит повторение соответствующих тем математики 5-6 классов + тема «Округление чисел». Формулы:

7. Формы и методы работы, педагогические технологии: – решение задач; – опросы; – практические работы; – дискуссии, беседы.

Вопросы для повторения: а) Как вычисляется доля одного числа по отношению к другому (в процентах)? б) Как узнать, на сколько процентов изменилась величина a по отношению к b? в) Почему изменения могут быть не только положительные, но и отрицательные? г) Что означает отрицательное изменение цены на продукты? д) Что означает отрицательное изменение прироста населения? е) Что означает положительное изменение производства овощей? ж) Что означает словосочетание «положительная динамика»? Приведите примеры с использованием этого речевого оборота.

Столбиковая и круговая диаграммы Чтение диаграмм 1. Вопросы: Выберите один из трех предложенных ответов: Если на круговой диаграмме одна часть больше развернутого угла, то какую долю по отношению к общему занимает эта изображаемая величина: а) больше 50%; б) меньше 50%; в) неизвестно.

2. Вопросы: а) Чем диаграмма удобнее таблицы? б) В каких случаях таблица удобнее, чем диаграмма? в) Сколько градусов содержит развернутый угол? г) Сколько градусов содержит угол, больший чем развернутый? д) Какова градусная мера угла, стороны которого совпадают? е) Как изображается целое на круговой диаграмме? з) Какие требования предъявляются к построению столбиковой диаграммы?

Выберите истинные утверждения и выделите их: а) Диаграммы используются для наглядного представления данных. б) Диаграмма не может обеспечить высокую точность, зато она позволяет быстро «на глаз» сравнивать величины между собой. в) Если на круговой диаграмме одна часть меньше развернутого угла, то соответствующая изображаемая величина от общего количества составляет 25%. г) Диаграмма лучше запоминается, чем таблица. д) Данные, полученные при чтении столбиковой диаграммы, точнее, чем взятые из таблицы.

Выберите истинные утверждения и выделите их: е) При построении столбиковой диаграммы надо соблюдать одинаковую ширину столбцов. ж) В ходе построения столбиковой диаграммы можно произвольно менять масштаб. з) Если одна величина в 3 раза больше другой, то на столбиковой диаграмме один столбик в 3 раза выше другого. и) Если изображаются только две неравные величины, то одной из них на круговой диаграмме соответствует острый угол, а другой величине – тупой.

3. Верно ли, что если на круговой диаграмме изображаются только две неравные величины, то одной из них соответствует угол, больший 180°? 4. Верно ли, что если на круговой диаграмме изображены только три величины, и все они между собой равны, то каждой из них соответствует угол 100°?

Диаграммы рассеивания По виду диаграмм рассеивания определите, есть ли между наблюдаемыми величинами зависимость: например, приводит ли увеличение одной величины к увеличению или уменьшению другой?

Вопросы на повторение: 1. Зачем используются диаграммы? 2. Какие виды диаграмм бывают? 3. Что такое диаграмма рассеивания? 4. Как используются диаграммы рассеивания? 5. Как может выглядеть диаграмма, на которой изображены две взаимосвязанные величины? Нарисуйте их схематически.

СТАТИСТИКА Описательная статистика Статистические данные – это сотни, тысячи, десятки тысяч данных. Это информация: – о жителях страны, города, улицы, дома; – о пенсионерах, о дошкольниках, других возрастных слоях населения; – о детях, не посещающих детский сад; – о водителях, дачниках, других профессиональных или любительских объединениях; – о людях, больных определенной болезнью…

на «входе» на «выходе» много статистических данных (4 средних, 2 меры разброса) 6 чисел Статистическая обработка Основная задача статистки

Первые разделы описательной статистики посвящены ознакомлению с основными средними характеристиками наборов чисел: средним арифметическим; медианой; наибольшим и наименьшим значениями. И мерами разброса: размахом, отклонениями от среднего, дисперсией. (а также урезанным средним и средним взвешенным)

Среднее арифметическое Средним арифметическим нескольких чисел называется … Примеры использования среднего арифметического: средний балл аттестата, среднегодовое потребление фруктов, потребительская корзина для определенной группы граждан… Физический смысл – центр тяжести.

Свойства среднего арифметического Среднее арифметическое чисел 613, 216 и 179 равно 336. Найдите с помощью свойств среднего арифметического: а) среднее арифметическое чисел –613, –216 и –179: б) среднее арифметическое чисел 61,3; 21,6 и 17,9: г) среднее арифметическое чисел 620, 223 и 186:

Свойства среднего арифметического Сделайте выводы: 1. Как изменится среднее арифметическое, если каждое число набора умножить на одно и то же число? 2. Как изменится среднее арифметическое, если каждое число набора уменьшить в несколько раз? 3. Как изменится среднее арифметическое, если к каждому числу набора прибавить одно и то же число?

Медиана Найдите медиану каждого набора, изображенного точками на рисунке 17:

Задача «про отличника». У отличника Коли были оценки по математике 5, 5, 5, 5. И вдруг в конце четверти он получил 2. Он знает, что учитель математики выставляет четвертную оценку как среднее всех оценок, имеющихся у ученика, и не признает пересдач. Какое среднее было бы предпочтительнее для Коли, если он, естественно, надеется на «пятерку» в четверти? Решение: Среднее арифметическое (ответ округлим до целых): 3 Медиана: 2,2,4,4,4,4. Медиана равна 4. Ответ: медиана «выгоднее».

Зачем изучать разные средние? Каждое среднее обладает своими преимуществами перед другими. Процесс усреднения должен быть осмысленным, чтобы полученным результатам можно было доверять. По среднему арифметическому можно восстановить сумму всех чисел, оно зависит от всех чисел и др. Медиана устойчива к разовым отклонениям, ошибкам измерения.

Задача «Измерение температуры». 1. На зимние каникулы в одной из школ города Мурманска учительница дала детям задание: следить за погодой и найти среднюю температуру. Ежедневно в течение десяти дней в 15 часов Наташа записывала показания термометра: -13, -10, -15, 11, -9, -9, -11, -12, -10, -11. А затем вычислила среднее арифметическое и получила -8,9. а) Действительно ли в период наблюдений температура колебалась вблизи этого числа? б) Почему большинство значений (9 из 10) меньше найденного среднего? в) Как исправить ответ, если он неверный (заново повторить наблюдение, естественно, нельзя)?

Девять из десяти измеренных значений принадлежат отрезку [-15;-9], которому не принадлежит найденное среднее. Температура в период измерений не колебалась вблизи -8,9. Вычисленное среднее плохо передает особенности набора температур, т.е. измерения содержали ошибку. среднее арифметическое:

Необходимо найти урезанное среднее данного набора: -15, -13, -12, -11, -11, -10, -10, -9, -9, 11. Оно приближенно равно -10,6. В урезанном наборе четыре значения меньше, чем –10,6 и четыре больше.

2. Задание учительницы очень понравилось Наташе, и она решила продолжить наблюдения. Учитывая свою прошлую ошибку, девочка решила впредь быть очень внимательной. Целый год она аккуратно снимала показания с термометра и через 365 дней получила среднегодовую температуру: 0. Наташа написала своей подруге в другой город письмо, в котором рассказала о своем результате, и пригласила подругу в гости. Сможет ли подруга, опираясь на полученную информацию, правильно собрать вещи в поездку?

Среднее значение равно 0

Среднее значение равно 0 Отклонения от среднего арифметического

1. Для некоторого числового набора были вычислены отклонения от среднего арифметического: 1; 2; -2; 1. Докажите, что вычисления содержали ошибку. Отклонения от среднего арифметического. Задачи. 2. Коля начал вычислять отклонения для набора чисел, состоящего из пяти чисел. Но он успел найти только первые четыре: 2; -3; -1; 0. Найдите последнее отклонение, которое не успел вычислить Коля.

4. Могут ли все отклонения от среднего арифметического быть: а) положительными числами; б) отрицательными числами; в) нулями; г) меньше 2? 3. Даны отклонения от среднего арифметического: 2; 0; 3; -5. Верно ли утверждение: «Одно из чисел набора является средним арифметическим»?

Размах

Дисперсия Дисперсия – это среднее арифметическое квадратов отклонений всех чисел набора от среднего арифметического. Чтобы найти дисперсию, надо: 1 шаг. Вычислить среднее арифметическое. 2 шаг. Найти все отклонения. 3 шаг. Возвести все отклонения в квадрат. 4 шаг. Найти среднее арифметическое получившихся чисел.

Числа набора Отклонение от среднего Квадрат отклонения Найти дисперсию набора чисел: 2, 5, 8. Решение. 1) Среднее арифметическое равно …

Числа набора Отклонение от среднего Квадрат отклонения Найти дисперсию набора чисел: 2, 5, 8. Решение. 1) Среднее арифметическое равно ( ) : 3 = 5.

Числа набора Отклонение от среднего Квадрат отклонения Найти дисперсию набора чисел: 2, 5, 8. Решение. 1) Среднее арифметическое равно ( ) : 3 = 5.

Числа набора Отклонение от среднего Квадрат отклонения Найти дисперсию набора чисел: 2, 5, 8. Решение. 1) Среднее арифметическое равно ( ) : 3 = 5.

Числа набора Отклонение от среднего Квадрат отклонения Найти дисперсию набора чисел: 2, 5, 8. Решение. 1) Среднее арифметическое равно ( ) : 3 = 5.

Числа набора Отклонение от среднего Квадрат отклонения Найти дисперсию набора чисел: 2, 5, 8. Решение. 1) Среднее арифметическое равно ( ) : 3 = 5. 4) Дисперсия равна ( ) : 3 = 6.

Числа набора Отклонение от среднего Квадрат отклонения Найти дисперсию набора чисел: 7, 10, 13. Решение. 1) Среднее арифметическое равно...

Числа набора Отклонение от среднего Квадрат отклонения Найти дисперсию набора чисел: 7, 10, 13. Решение. 1) Среднее арифметическое равно ( ) : 3 = 10.

Числа набора Отклонение от среднего Квадрат отклонения Найти дисперсию набора чисел: 7, 10, 13. Решение. 1) Среднее арифметическое равно ( ) : 3 = 10.

Числа набора Отклонение от среднего Квадрат отклонения Найти дисперсию набора чисел: 7, 10, 13. Решение. 1) Среднее арифметическое равно ( ) : 3 = 10.

Числа набора Отклонение от среднего Квадрат отклонения Найти дисперсию набора чисел: 7, 10, 13. Решение. 1) Среднее арифметическое равно ( ) : 3 = 10. 4) Дисперсия равна ( ) : 3 = 6.

Свойства дисперсии: 1) Если к каждому числу набора чисел прибавить а, то дисперсия этого набора не изменится. 2) Если каждое число набора чисел увеличить в а раз, то дисперсия увеличится в раз.

Дисперсия 1. Может ли дисперсия быть: а) положительным числом; б) отрицательным числом; в) нулем; г) меньше 1? 2. К набору чисел добавили еще одно число – его среднее арифметическое. Как при этом изменится дисперсия?

Как меняется дисперсия набора чисел, если к нему добавили еще одно число – его среднее арифметическое? 4. Одно из чисел набора являлось его средним арифметическим. Как изменится дисперсия набора, если это число вычеркнуть из набора? 3. Отличаются ли дисперсии наборов чисел: 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8 и 6; 7; 8? уменьшается увеличится Да, у первого набора дисперсия меньше.

Теория вероятностей Основные понятия: случайная величина; случайный эксперимент (опыт); случайное событие; элементарное событие; события, благоприятствующие данному; частота случайного события; вероятность случайного события.

Случайный экспериментСлучайное событие Во время урока учитель вызывает ученика к доске Ученика Диму спросят на уроке Игра в лото Из мешка извлекли бочонок с номером 24 Измерение напряжения в сетиНапряжение равно 221 В. Идем по улице, наблюдаем за происходящим и… Встретили соседку Бросание игральной костиВыпало 5 очков Бросание двух игральных костейВ сумме выпало четное число очков Извлечение шаров из мешка, содер- жащем 5 синих шаров и 7 красных. Извлекли красный шар Примеры.

Частота и вероятность событий. Экспериментальное определение частоты Практическая работа «Определение частоты выпадения орла при подбрасывании монеты» 1 этап. Приготовьте монету (одну на двух учащихся, сидящих за одной партой). Чтобы определить, как часто при бросании монеты выпадает орел, будем подбрасывать монету и фиксировать число выпадений орла. Если выпал орел – ставьте черточку в первой строке, если решка – во второй строке. Чтобы работа шла быстро, один ученик из пары бросает монету и называет выпавшую сторону, а второй быстро вписывает черточки в таблицу. Бросьте монету 40 раз и заполните таблицу (воспользуйтесь символом |||| ).

Сторона монеты Выпало Количество выпадений Частота Орел Решка Всего:40

Сторона монеты Выпало Количество выпадений Частота Орел |||| |||| |||| |||| || 22 Решка |||| |||| |||| ||| 18 Всего:40.

Сторона монеты Выпало Количество выпадений Частота Орел |||| |||| |||| |||| || 22 = 0,55 Решка |||| |||| |||| ||| 18 = 0,45 Всего:40.

Вероятность случайного события 1. Ответьте на вопросы: а) Как связаны между собой частота и вероятность случайного события? (в большой серии экспериментов вероятность приблизительно равна частоте) б) Какие значения может принимать вероятность случайного события? (от 0 до 1) 2. Может ли произойти событие, вероятность которого равна 0,0001? (да) Часто ли оно происходит? (нет) Случалось ли вам стать свидетелем какого-нибудь маловероятного события?

3. Какой буквой обычно обозначают вероятность? (Р) 4. Прочитайте запись «Р(А) = 0,3». 5. Выберите возможные значения вероятности: Р (А) = 0,3; Р (А) = 0,75; Р (А) = 1; Р (А) = –1; Р (А) = 0; Р (А) = ; Р (А) = – ; Р (А) = ; Р (А) = ; Р (А) =. 6. Среди данных чисел зачеркните те, которые не могут являться значением частоты некоторого случайного события: 0,42; 0, ; 1; 0; ; –1; – ; ; ;.

7. В ходе проведения случайного эксперимента, проведенного 200 раз, частота события А оказалась равной 0,3. а) Сколько приблизительно раз разумно ожидать наступление этого события в серии экспериментов из 300 опытов? Решение. Запишем данное значение частоты в виде обыкновенной дроби: Фраза «частота события равна 0,3» означает, что событие происходит приблизительно 3 раза (числитель) из десяти (знаменатель). Значит, оно произойдет около 30 раз из 100, и, следовательно, около 90 раз из трехсот.

В тетради это решение выглядит так: запишем дробь 0,3 в виде обыкновенной дроби со знаменателем 300. Дополнительный множитель равен 30. Числитель 90 показывает ожидаемое число наступлений события А в серии, состоящей из двухсот опытов.

8. Запишите вероятности следующих случайных событий в таблицу. Случайное событиеР При бросании монеты выпал орел При бросании монеты выпала решка При бросании монеты на парту монета встала на ребро При бросании игральной кости выпало 3 очка При бросании игральной кости выпало 4 очка При бросании игральной кости выпало 0 очков При бросании игральной кости выпало число очков от 1 до 6

Случайное событиеР При бросании монеты выпал орел 0,5 При бросании монеты выпала решка При бросании монеты на парту монета встала на ребро При бросании игральной кости выпало 3 очка При бросании игральной кости выпало 4 очка При бросании игральной кости выпало 0 очков При бросании игральной кости выпало число очков от 1 до 6 Запишите вероятности следующих случайных событий в таблицу.

Случайное событиеР При бросании монеты выпал орел 0,5 При бросании монеты выпала решка 0,5 При бросании монеты на парту монета встала на ребро При бросании игральной кости выпало 3 очка При бросании игральной кости выпало 4 очка При бросании игральной кости выпало 0 очков При бросании игральной кости выпало число очков от 1 до 6 Запишите вероятности следующих случайных событий в таблицу.

Случайное событиеР При бросании монеты выпал орел 0,5 При бросании монеты выпала решка 0,5 При бросании монеты на парту монета встала на ребро 0 При бросании игральной кости выпало 3 очка При бросании игральной кости выпало 4 очка При бросании игральной кости выпало 0 очков При бросании игральной кости выпало число очков от 1 до 6 Запишите вероятности следующих случайных событий в таблицу.

Случайное событиеР При бросании монеты выпал орел 0,5 При бросании монеты выпала решка 0,5 При бросании монеты на парту монета встала на ребро 0 При бросании игральной кости выпало 3 очка 1/6 При бросании игральной кости выпало 4 очка При бросании игральной кости выпало 0 очков При бросании игральной кости выпало число очков от 1 до 6 Запишите вероятности следующих случайных событий в таблицу.

Случайное событиеР При бросании монеты выпал орел 0,5 При бросании монеты выпала решка 0,5 При бросании монеты на парту монета встала на ребро 0 При бросании игральной кости выпало 3 очка 1/6 При бросании игральной кости выпало 4 очка 1/6 При бросании игральной кости выпало 0 очков При бросании игральной кости выпало число очков от 1 до 6 Запишите вероятности следующих случайных событий в таблицу.

Случайное событиеР При бросании монеты выпал орел 0,5 При бросании монеты выпала решка 0,5 При бросании монеты на парту монета встала на ребро 0 При бросании игральной кости выпало 3 очка 1/6 При бросании игральной кости выпало 4 очка 1/6 При бросании игральной кости выпало 0 очков 0 При бросании игральной кости выпало число очков от 1 до 6 Запишите вероятности следующих случайных событий в таблицу.

Случайное событиеР При бросании монеты выпал орел 0,5 При бросании монеты выпала решка 0,5 При бросании монеты на парту монета встала на ребро 0 При бросании игральной кости выпало 3 очка 1/6 При бросании игральной кости выпало 4 очка 1/6 При бросании игральной кости выпало 0 очков 0 При бросании игральной кости выпало число очков от 1 до 6 1 Запишите вероятности следующих случайных событий в таблицу.

9. Запишите вероятности следующих случайных событий в таблицу. Случайное событиеР При бросании двух игральных костей оба раза выпали «единицы» *При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 3 *При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 7 При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 1 При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 13

Случайное событиеР При бросании двух игральных костей оба раза выпали «единицы» 1/36 *При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 3 *При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 7 При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 1 При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 13 Запишите вероятности следующих случайных событий в таблицу.

Случайное событиеР При бросании двух игральных костей оба раза выпали «единицы» 1/36 *При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 3 2/36 *При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 7 При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 1 При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 13 Запишите вероятности следующих случайных событий в таблицу.

Случайное событиеР При бросании двух игральных костей оба раза выпали «единицы» 1/36 *При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 3 2/36 *При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 7 6/36 При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 1 При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 13 Запишите вероятности следующих случайных событий в таблицу.

Случайное событиеР При бросании двух игральных костей оба раза выпали «единицы» 1/36 *При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 3 2/36 *При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 7 6/36 При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 1 0 При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 13 Запишите вероятности следующих случайных событий в таблицу.

Случайное событиеР При бросании двух игральных костей оба раза выпали «единицы» 1/36 *При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 3 2/36 *При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 7 6/36 При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 1 0 При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 13 0 Запишите вероятности следующих случайных событий в таблицу.

10. Можно ли экспериментальным путем примерно оценить вероятность следующих событий: а) вы приготовили домашнее задание по всем предметам: (можно). б) На ближайший день рождения вам подарят новый велосипед: (нельзя). в) После очередной ссоры с другом вы опять помиритесь: (можно). г) На зимней Олимпиаде в городе Сочи в 2014 г. наша сборная получит наибольшее количество медалей: (нельзя). д) В ходе каких экспериментов мы могли бы вычислить искомую вероятность в пунктах а) – г) (если это возможно)? В пункте а): завести таблицу «сделал», «не сделал», ставить палочки, подсчитывать… В пункте в): завести таблицу, ссориться, мириться и ставить палочки…

Виды событий (одно событие может быть таким): невозможное; маловероятное; достоверное; «все остальное». Виды событий (для двух событий): равновозможные (равновероятные); неравновозможные.

Невозможные, маловероятные и достоверные события а) Какие события называются невозможными? б) Какие события называются достоверными? в) Какие события считаются маловероятными? г) Является ли невозможное событие случайным? (да)

При игре в «крестики–нолики»» в пустых клетках игроки ставят символы «крестик» и «нолик». Перед началом игры игроки должны договориться, кто играет «крестиками», а кто «ноликами». Начинают игру «крестики». а) Является ли выбор игроком своего значка случайным событием? (да) б) Является ли выбор опытным игроком клетки для своего хода случайным событием? (да) в) Является ли появление «крестика» на пятом ходу достоверным событием? (да)

г) Является ли появление «крестика» на пятом ходу случайным событием? (да) д) Является ли победа «ноликов» невозможным событием? (нет) е) Является ли победа «ноликов» случайным событием? (да)

В большой серии экспериментов частота близка к вероятности. Статистический подход объясняет, почему ТВ и С «идут рядом» в математике. 2. Классическое определение (8 – 9 классы) 1. Статистический подход (7 класс) Два подхода к понятию «Вероятность»

Перебор возможных вариантов : таблица; дерево возможных вариантов; рисунки. Перебор возможных вариантов – один из способов найти число N и число N(A).

На одном из перекрестков города Дорожкина сломался светофор, и лампочки загораются независимо друг от друга: может гореть одна любая лампочка, одновременно любые две или все три. Также могут и все одновременно погаснуть. Расположение ламп обычное: сверху – красная лампа, посередине – желтая, внизу – зеленая. а) Введите удобные обозначения и перечислите все возможные варианты включения лампочек. (К, Ж, З) Ничего не горитНачинаем с «К»Начинаем с «Ж»Начинаем с «З» –К КЖ КЗ КЖЗ Ж ЖЗ З б) Сколькими способами могут загореться лампы на этом светофоре? (8 способов) ( =8)

Благоприятствующие элементарные события Как найти числитель? 1.Выписать все возможные элементарные события. 2. Среди них выделить благоприятствующие и подсчитать их количество. * После изучения комбинаторики: воспользоваться различными формулами вместо перечисления (порой громоздкого).

Обозначения: N – общее число элементарных событий; N(A) – число элементарных событий, благоприятствующих событию А. Если А не является достоверным, то N(A) < N, Р < 1. Тогда:

В опыте по трехкратному бросанию монеты 8 элементарных событий. Каждое из событий, указанных в пунктах а) – е) в таблице 3, соедините линиями с теми элементарными событиями, которые ему благоприятствуют. Подсчитайте число благоприят- ствующих элементарных событий для каждого случая. Событие Элементарные события Событие Элементарные события а) Первым выпал орел Всего 4 элементар. событий ООО ООР ОРО ОРР РОО РОР РРО РРР б) Первый и третий раз выпала одна и та же сторона Всего 4 элементарных события ООО ООР ОРО ОРР РОО РОР РРО РРР

Заполните таблицу 4 элементарных событий при двух бросаниях игрального кубика. Выделите в этой таблице цветными карандашами элементарные события, благоприятствующие следующим событиям а) – в), и подсчитайте число закрашенных клеток в каждом случае: а) «в первый раз выпало 4 очка, а во второй раз – 1 очко»; 1;12;13;14;15;16;1 1;22;23;24;25;26;2 1;32;33;34;35;36;3 1;42;43;44;45;46;4 1;52;53;54;55;56;5 1;62;63;64;65;66;6 закрашена 1 клетка

б) «сумма очков не меньше 8»; в) «при втором бросании выпало столько же очков, сколько при первом»; 1;12;13;14;15;16;1 1;22;23;24;25;26;2 1;32;33;34;35;36;3 1;42;43;44;45;46;4 1;52;53;54;55;56;5 1;62;63;64;65;66;6 1;12;13;14;15;16;1 1;22;23;24;25;26;2 1;32;33;34;35;36;3 1;42;43;44;45;46;4 1;52;53;54;55;56;5 1;62;63;64;65;66;6 закрашены 15 клеток закрашено 6 клеток

Вероятности событий (решение задач) 1 тип задач. Если мы каким-то образом узнали вероятности элементарных событий, благоприятствующих данному, то эти вероятности надо сложить. Если событию А благоприятствуют элементарные события а, b, c, и мы знаем их вероятности Р(а), Р(b), Р(с), то: Р (А) = Р(а, b, с) = Р(а) + Р(b) + Р(с)

1. В случайном опыте могут наступить два элементарных события а, b, с и d, вероятности которых соответственно равны 0,15; 0,25; 0,25 и 0,35. Найдите вероятность события, которому благоприятствуют элементарные события: а) b и с; б) а и c; в) b, d и с; г) а и d; д) d и а. Решение: а) Р(b, с) = Р(b) + Р(с) = 0,25 + 0,25 = 0,5 Пример задачи 1 типа.

2. По словам мамы мальчика Жени, учебник алгебры не всегда стоит на книжной полке. Он также может оказаться на письменном столе, на кухонном столе, в прихожей на тумбочке или в прихожей около телефона. Иногда Женя забывает свой учебник в школе. Вероятность нахождения учебника в тех или иных местах представлены в таблице: Место- нахож- дение учебни- ка Книж- ная полка Письмен ный стол Кухон- ный стол Тумбочка в прихожей Около телефо- на Остался в школе Вероят- ность 0,30,2 0,150,10,05

Место- нахож- дение учебни- ка Книж- ная полка Письмен ный стол Кухон- ный стол Тумбочка в прихожей Около телефо- на Остался в школе Вероят- ность 0,30,2 0,150,10,05 Решение. а) Р(учебник на столе) = =Р(учебник на письменном столе) + Р(учебник на кухонном столе)= = 0,2 + 0,2 = 0,4 б) Р(учебник дома) = 1 – Р(остался в школе) = = 1 – 0,05 = 0,95 в) Р(учебник на книжной полке или на письм. столе) = 0,3 + 0,5 = 0,8

Как найти вероятность? 1.Выписать все возможные элементарные события и подсчитать их количество N. 2. Среди всех событий выделить благоприятствующие и подсчитать их количество N(A). 3. Разделить N(A) на N. * После изучения комбинаторики: воспользоваться различными формулами вместо перечисления (порой громоздкого). 2 тип задач.

Игральную кость бросают один раз. Вычислите вероятность события: а) событие А - «выпало число очков, большее 4». Решение. 1) Вероятность события А вычисляется по формуле: 2) Сначала найдем знаменатель. В данном опыте возможны следующие элементарные события: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Их всего N = 6. Все они равновозможны. Пример задачи 2 типа.

3) Теперь найдем числители. Из всех возможных исходов выпишем те, которые благоприятствуют каждому из перечисленных событий. а) Событию А – «выпало число очков, большее 4» – благоприятствуют элементарные события: «выпало …» и «выпало …». Их всего …, т.е. N(А) = … Ответ: …

3) Теперь найдем числители. Из всех возможных исходов выпишем те, которые благоприятствуют каждому из перечисленных событий. а) Событию А – «выпало число очков, большее 4» – благоприятствуют элементарные события: «выпало 5» и «выпало 6». Их всего 2, т.е. N(А) = 2 Ответ: 1/3

Сережа и Андрей бросают две игральные кости: каждый свои. Вычислите вероятность события С – «количества очков на костях различаются не более, чем на 1». Вопросы по условию задачи: 2) Что означает фраза «не более, чем на 1»? (меньше 1 или ровно 1) 3) Согласны ли вы с рассуждением: «Не более, значит, меньше»? (это неверно)

Решение. 1) Формула: 2) Все возможные исходы: 3) Всего в таблице 36 клеток. Значит, всего исходов N = 36. 1;12;13;14;15;16;1 1;22;23;24;25;26;2 1;32;33;34;35;36;3 1;42;43;44;45;46;4 1;52;53;54;55;56;5 1;62;63;64;65;66;6

Решение. 1) Формула: 2) Все возможные исходы: 3) Всего в таблице 36 клеток. Значит, всего исходов N = 36. 1;12;13;14;15;16;1 1;22;23;24;25;26;2 1;32;33;34;35;36;3 1;42;43;44;45;46;4 1;52;53;54;55;56;5 1;62;63;64;65;66;6

Решение. 1) Формула: 2) Все возможные исходы: 3) Всего в таблице 36 клеток. Значит, всего исходов N = 36. 1;12;13;14;15;16;1 1;22;23;24;25;26;2 1;32;33;34;35;36;3 1;42;43;44;45;46;4 1;52;53;54;55;56;5 1;62;63;64;65;66;6

Решение. 1) Формула: 2) Все возможные исходы: 3) Всего в таблице 36 клеток. Значит, всего исходов N = 36. 1;12;13;14;15;16;1 1;22;23;24;25;26;2 1;32;33;34;35;36;3 1;42;43;44;45;46;4 1;52;53;54;55;56;5 1;62;63;64;65;66;6

Решение. 1) Формула: 2) Все возможные исходы: 3) Всего в таблице 36 клеток. Значит, всего исходов N = 36. 1;12;13;14;15;16;1 1;22;23;24;25;26;2 1;32;33;34;35;36;3 1;42;43;44;45;46;4 1;52;53;54;55;56;5 1;62;63;64;65;66;6

Решение. 1) Формула: 2) Все возможные исходы: 3) Всего в таблице 36 клеток. Значит, всего исходов N = 36. 1;12;13;14;15;16;1 1;22;23;24;25;26;2 1;32;33;34;35;36;3 1;42;43;44;45;46;4 1;52;53;54;55;56;5 1;62;63;64;65;66;6

Решение. 1) Формула: 1;12;13;14;15;16;1 1;22;23;24;25;26;2 1;32;33;34;35;36;3 1;42;43;44;45;46;4 1;52;53;54;55;56;5 1;62;63;64;65;66;6 2) Все возможные исходы: 3) Всего в таблице 36 клеток. Значит, всего исходов N = 36. = N(С) = 16 Ответ: 4/9

б) F – «сумма очков на обеих костях не превосходит 5». 1;12;13;14;15;16;1 1;22;23;24;25;26;2 1;32;33;34;35;36;3 1;42;43;44;45;46;4 1;52;53;54;55;56;5 1;62;63;64;65;66;6

б) F – «сумма очков на обеих костях не превосходит 5». 1;12;13;14;15;16;1 1;22;23;24;25;26;2 1;32;33;34;35;36;3 1;42;43;44;45;46;4 1;52;53;54;55;56;5 1;62;63;64;65;66;6

Блиц-опрос по теме «Вероятности событий» Уровень А Вариант 1 ЗадачаОтвет 1. В коробке 19 синих шаров, 12 красных и 4 желтых. Найдите вероятность того, что извлеченный наугад шар окажется синим = 35 – всего

Блиц-опрос по теме «Вероятности событий» Уровень А Вариант 1 ЗадачаОтвет 1. В коробке 19 синих шаров, 12 красных и 4 желтых. Найдите вероятность того, что извлеченный наугад шар окажется синим. 4. На экзамене по геометрии предлагается 20 билетов. Вася выучил только девять. Найдите вероятность того, что Васе достанется неизвестный ему билет – 9 = 11 – не выучил

ЗадачаОтвет 6. В коробке лежат 20 карандашей, из них только четверть пишут. Найдите вероятность извлечения наугад сломанного карандаша из этой коробки – 1/4 = 3/4 – не пишут

ЗадачаОтвет 6. В коробке лежат 20 карандашей, из них только четверть пишут. Найдите вероятность извлечения наугад сломанного карандаша из этой коробки. 8. В детской разрезной азбуке 33 карточки, на каждой из которых напечатана одна буква русского алфавита. Маленький ребенок, не знающий букв, вынимает первую попавшуюся карточку. Найдите вероятность того, что на ней будет гласная буква. 8. Всего букв – 33, Гласных – 10.

ЗадачаОтвет 6. В коробке лежат 20 карандашей, из них только четверть пишут. Найдите вероятность извлечения наугад сломанного карандаша из этой коробки. 8. В детской разрезной азбуке 33 карточки, на каждой из которых напечатана одна буква русского алфавита. Маленький ребенок, не знающий букв, вынимает первую попавшуюся карточку. Найдите вероятность того, что на ней будет гласная буква. 9. В классе 27 учеников. Для организации дежурства они разделились на группы по три человека в каждой. Какова вероятность того, что сегодня дежурит ученик этого класса Миша? 9. Всего: 27 : 3 = 9 – количество групп Благоприятных событий – 1.

ЗадачаОтвет 6. В коробке лежат 20 карандашей, из них только четверть пишут. Найдите вероятность извлечения наугад сломанного карандаша из этой коробки. 8. В детской разрезной азбуке 33 карточки, на каждой из которых напечатана одна буква русского алфавита. Маленький ребенок, не знающий букв, вынимает первую попавшуюся карточку. Найдите вероятность того, что на ней будет гласная буква. 9. В классе 27 учеников. Для организации дежурства они разделились на группы по три человека в каждой. Какова вероятность того, что сегодня дежурит ученик этого класса Миша? 10. Маша и Саша играют в игру: Маша загадала букву русского алфавита, а Саша должен ее угадать. Какова вероятность того, что Саша с первой же попытки угадает загаданную букву?

Блиц-опрос по теме «Вероятности событий» Уровень С Вариант 1 1. Какова вероятность того, что при трех бросаниях симметричной монеты все три раза выпадет одна и та же сторона монеты? N = N(А) = Р = 2. На экране электронных часов время высвечивается в формате от 00:00 до 23:59. Какова вероятность того, что часы покажут время, записанное четырьмя одинаковыми цифрами? N = N(А) = Р(А) =

Блиц-опрос по теме «Вероятности событий» Уровень С Вариант 1 1. Какова вероятность того, что при трех бросаниях симметричной монеты все три раза выпадет одна и та же сторона монеты? N = 8 N(А) = Р = 2. На экране электронных часов время высвечивается в формате от 00:00 до 23:59. Какова вероятность того, что часы покажут время, записанное четырьмя одинаковыми цифрами? N = N(А) = Р(А) =

Блиц-опрос по теме «Вероятности событий» Уровень С Вариант 1 1. Какова вероятность того, что при трех бросаниях симметричной монеты все три раза выпадет одна и та же сторона монеты? N = 8 N(А) = 2 Р = 2. На экране электронных часов время высвечивается в формате от 00:00 до 23:59. Какова вероятность того, что часы покажут время, записанное четырьмя одинаковыми цифрами? N = N(А) = Р(А) =

Блиц-опрос по теме «Вероятности событий» Уровень С Вариант 1 1. Какова вероятность того, что при трех бросаниях симметричной монеты все три раза выпадет одна и та же сторона монеты? N = 8 N(А) = 2 Р = 2/8 2. На экране электронных часов время высвечивается в формате от 00:00 до 23:59. Какова вероятность того, что часы покажут время, записанное четырьмя одинаковыми цифрами? N = N(А) = Р(А) =

Блиц-опрос по теме «Вероятности событий» Уровень С Вариант 1 1. Какова вероятность того, что при трех бросаниях симметричной монеты все три раза выпадет одна и та же сторона монеты? N = 8 N(А) = 2 Р = 2/8 2. На экране электронных часов время высвечивается в формате от 00:00 до 23:59. Какова вероятность того, что часы покажут время, записанное четырьмя одинаковыми цифрами? N = 24 · 60 N(А) = Р(А) =

Блиц-опрос по теме «Вероятности событий» Уровень С Вариант 1 1. Какова вероятность того, что при трех бросаниях симметричной монеты все три раза выпадет одна и та же сторона монеты? N = 8N(А) = 2 Р = 2/8 2. На экране электронных часов время высвечивается в формате от 00:00 до 23:59. Какова вероятность того, что часы покажут время, записанное четырьмя одинаковыми цифрами? N = 24 · 60N(А) = Р(А) = (00:00, 11:11, 22:22)

Блиц-опрос по теме «Вероятности событий» Уровень С Вариант 1 1. Какова вероятность того, что при трех бросаниях симметричной монеты все три раза выпадет одна и та же сторона монеты? N = 8N(А) = 2 Р = 2/8 2. На экране электронных часов время высвечивается в формате от 00:00 до 23:59. Какова вероятность того, что часы покажут время, записанное четырьмя одинаковыми цифрами? N = 24 · 60N(А) = 3 Р(А) = (00:00, 11:11, 22:22)

Блиц-опрос по теме «Вероятности событий» Уровень С Вариант 1 1. Какова вероятность того, что при трех бросаниях симметричной монеты все три раза выпадет одна и та же сторона монеты? N = 8N(А) = 2 Р = 2/8 2. На экране электронных часов время высвечивается в формате от 00:00 до 23:59. Какова вероятность того, что часы покажут время, записанное четырьмя одинаковыми цифрами? N = 24 · 60N(А) = 3 Р(А) = 3/(24 · 60) (00:00, 11:11, 22:22)

3. Бросают 3 игральные кости. Вычислите вероятность события: «Произведение всех выпавших очков равно 1». N = N(А) = Р(А) =

3. Бросают 3 игральные кости. Вычислите вероятность события: «Произведение всех выпавших очков равно 1». N = 6 · 6 · 6 N(А) = Р(А) =

3. Бросают 3 игральные кости. Вычислите вероятность события: «Произведение всех выпавших очков равно 1». N = 6 · 6 · 6 = 216 N(А) = 1 Р(А) =

3. Бросают 3 игральные кости. Вычислите вероятность события: «Произведение всех выпавших очков равно 1». N = 6 · 6 · 6 = 216 N(А) = 1 Р(А) =1/216

3. Бросают 3 игральные кости. Вычислите вероятность события: «Произведение всех выпавших очков равно 1». N = 6 · 6 · 6 = 216 N(А) = 1 Р(А) =1/ Стас расставил свои корабли по правилам игры «Морской бой». Какова вероятность попасть первым ходом: а) в какой-нибудь его корабль? б) в двухпалубный? в) в четырехпалубный? а) N = N(А) = Р(А) = б) N = N(В) = Р(В) = в) N = N(С) = Р(С) =

3. Бросают 3 игральные кости. Вычислите вероятность события: «Произведение всех выпавших очков равно 1». N = 6 · 6 · 6 = 216 N(А) = 1 Р(А) =1/ Стас расставил свои корабли по правилам игры «Морской бой». Какова вероятность попасть первым ходом: а) в какой-нибудь его корабль? б) в двухпалубный? в) в четырехпалубный? а) N = 100N(А) = 20 Р(А) = 20/100 б) N = 100 N(В) = Р(В) = в) N = 100 N(С) = Р(С) =

3. Бросают 3 игральные кости. Вычислите вероятность события: «Произведение всех выпавших очков равно 1». N = 6 · 6 · 6 = 216 N(А) = 1 Р(А) =1/ Стас расставил свои корабли по правилам игры «Морской бой». Какова вероятность попасть первым ходом: а) в какой-нибудь его корабль? б) в двухпалубный? в) в четырехпалубный? а) N = 100N(А) = 20 Р(А) = 20/100 б) N = 100 N(В) = 6 Р(В) = 6/100 в) N = 100 N(С) = 4 Р(С) = 4/100

5. На шахматном поле 8×8 случайным образом расставлены 8 пешек, 2 слона и король. Какова вероятность того, что поле с5 занято фигурой? N = N(А) = Р(А) = 1111/6464

5. На шахматном поле 8×8 случайным образом расставлены 8 пешек, 2 слона и король. Какова вероятность того, что поле с5 занято фигурой? N = 11N(А) = 64 Р(А) = 11/64 6. В классе учится 15 девочек и 12 мальчиков. Отстающей ученице назначили «шефа» из числа одноклассников. Какова вероятность, что «шеф» – девочка? N = N(А) = Р(А) = /26

8. В шкатулке лежат 5 камней: 2 изумруда и 3 рубина. Гудвин случайным образом достает из шкатулки 2 камня. Какова вероятность того, что оба камня окажутся рубинами. Решение. Перечислим все варианты: ИИРРРРИИРР ИРИРРРИРИР ИРРИРРИРРИ ИРРРИРРИИР РРИРИ РРРИИ N = N(А) = Р(А) = 10 33/10

5. Перед началом игры на поле 8х8 по общепринятым правилам расставили шашки. Какова вероятность того, что выбранная для первого хода белая шашка пойдет вправо вдоль диагонали? 6. В классе учится 15 девочек и 12 мальчиков. Отстающей ученице назначили «шефа» из числа одноклассников. Какова вероятность, что «шеф» – мальчик? N = 7N(А) = 4Р(А) = 4/7 N = 26N(А) = 12Р(А) = 12/26

8. В мешочке лежат 5 монет: 2 золотые и 3 серебряные. Буратино случайным образом достает из мешочка 1 монету. Затем папа Карло достает одну монету. а) перечислите все возможные варианты распределения монет с помощью таблицы; б) сколько существует этих вариантов? в) Найдите вероятность того, что каждому досталась золотая монета. Начинаем с «З»Начинаем с «С» ЗЗССС ЗСЗСС ЗССЗС ЗСССЗ ССЗЗС ССЗСЗ СССЗЗ СЗЗСС СЗСЗС СЗССЗ 10

8. В мешочке лежат 5 монет: 2 золотые и 3 серебряные. Буратино случайным образом достает из мешочка 1 монету. Затем папа Карло достает одну монету. а) перечислите все возможные варианты распределения монет с помощью таблицы; б) сколько существует этих вариантов? в) Найдите вероятность того, что каждому досталась золотая монета. Начинаем с «З»Начинаем с «С» ЗЗССС ЗСЗСС ЗССЗС ЗСССЗ ССЗЗС ССЗСЗ СССЗЗ СЗЗСС СЗСЗС СЗССЗ 10 Р = 1/10

Самые распространенные сюжеты: игральные кубики; монета; разноцветные шары… Что нам предстоит???

Пример. Рассмотрим задачу, похожую на Статград 2010 г. «На полке стоит две банки с малиновым вареньем и три с вишневым. Какова вероятность того, что дедушка, не глядя, принесет 2 банки вишневого варенья?» «Решения» (некоторые верные, некоторые нет.) 1 способ. а), ведь мы выбираем две банки из пяти. б), ведь мы выбираем две банки с вишней из трех вишневых. Неверно: это вообще не вероятность, а число возможных вариантов выбора. Кстати оба числа больше 1.

2 способ. Р = (верно) 3 способ. Перечислим все возможные варианты. Начинаем с «М»Начинаем с «В» ММВВВ МВМВВ МВВМВ МВВВМ ВММВВ ВМВМВ ВМВВМ ВВММВ ВВМВМ ВВВММ Всего 10 вариантов. Будем считать, что дедушка взял первую и вторую банки. Тогда благоприятных три. Ответ: Р = 3/10 (верно)

4 способ. Но может при перечислении банки надо различать. Вот так: Начинаем с «М 1 »Начинаем с «М 2 » М1М2В1В2В3М1М2В1В3В2…М1М2В1В2В3М1М2В1В3В2… М2М1В1В2В3……М2М1В1В2В3…… Всего сколько вариантов? Из них некоторые нам подходят. Их будет сколько? (, т.к. первую выбираем тремя способами (вишня), вторую двумя (вишня, но одну уже взяли), третью тремя (одна вишня и две малины), четвертую двумя (осталось всего две банки), пятую – без вариантов одним способом (ту, что осталась)). Р = 36/120=0,3 (верно, но слишком длинно) (5! = 120).

5 способ. (самый короткий). Что можно принести: ММ, МВ, ВВ. Значит знаменатель = 3. Нам подходит только ВВ. Значит, Р = 1/3. 6 способ. (почти такой же). Если различать левую и правую руки, то можно принести: ММ, МВ, ВМ, ВВ. Значит, знаменатель = 4. Нам подходит только ВВ. Значит, Р = 1/4. (неверно) В чем ошибка? Записи ММ, МВ, ВМ, ВВ не являются равновозможными. N (ММ) = 1, N(МВ) = 3, N(ВМ) = 3, N (ВВ) = 3. (неверно)

7 способ. Пронумеруем банки 1, 2, 3, 4, 5. Пусть 1 и 2 – малина, 3, 4, 5 – вишня. Что можно принести? а) 12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45 (без учета рук) б) или так: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54 (с учетом рук) Ответ: а) Р = 3/10, б) Р = 6/20 = 3/10. (оба способа верные)

8 способ. а) Р = 3/5 · 3/5 = 9/25 (неверно) б) Р = 3/5 · 2/5 = 6/25 (неверно) в) Р = 3/5 · 2/4 = 3/10 (верно)

Выводы: 1) Хорошо бы знать по какой теме задача: а) по определ. Р = благ./ общее; б) Р = Р1 + Р2 (для несовместных событий); в) Р = Р1 · Р2 (для независимых событий); г) что-то другое. 2) Что является элементарным событием в этой задаче. (Например, а) ММ, МВ, ВМ, ВВ – в предыдущей задаче не являлись элементарными, б) ОО, ОР, РР – «классика»)

Выводы: 3) Важен ли порядок элементов. (а) ОР и РО, б) две монеты для Буратино или одна Буратино, другая папе Карло) 4) Формулы, которые будем применять. (n!, тn,, Р = Р1 + Р2, Р = Р1 · Р2, Р(пересечения), …) 5) Какие формулы НЕ будем ПРИМЕНЯТЬ: а) нельзя, это неверно; б) можно, но не нужно – усложняет решение.

Формула сложения вероятностей, формула умножения вероятностей, комбинаторика, диаграммы Эйлера, испытания Бернулли, геометрическая вероятность, закон больших чисел… и многое другое в следующий раз. Курсы «МА – 26» проводятся во 2 и 4 пятницу.

Багишова Ольга Анатольевна ГОУ СОШ Тел Спасибо за внимание!