Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации

МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования» Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации С2

МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования» Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямой BC 1 и плоскостью A 1 BC, если AA 1 = 12, AB = 6, BC = 5. D A D1D1 B1B1 6 N проекция наклонная Угол между наклонной и плоскостью – это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. B C С1 А1

МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования» Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямой BC 1 и плоскостью A 1 BC, если AA 1 = 12, AB = 6, BC = 5. Найдем C 1 N, выразив два раза площадь треугольника DCC 1. D A B C A1A1 D1D1 B1B N проекция наклонная C1C1C1C1 C D1D1D1D N 5 6

D A B C A1A1 D1D1 C1C1 B1B N проекция наклонная В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямой BC 1 и плоскостью A 1 BC, если AA 1 = 12, AB = 6, BC =

МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования» Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации Возможны другие решения. Например, решение задачи с использованием векторов или метода координат. Замечание: искомый угол можно записать, используя другие аркфункции:

60 0 С2. С2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра: AB =, SC=2. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой MN, где M – середина ребра AS, а N – делит ребро BC в отношении 1:2. С A B S - искомый угол 1) Из АВD: Можем найти его из МKN. Но надо найти два элемента из этого треугольника. N 1 часть 2 части D K M

60 0 С A B S N 1 часть 2 части D K M 2. Построим высоту SO. Точка О – точка пересечения биссектрис, медиан и высот правильного треугольника. Применим свойство медиан: 3. По теореме Фалеса: Две прямые перпендикулярные к плоскости (АВС) параллельны: MKII SO. М – середина SА, значит и точка K – середина АО O 4) Найдем AK:5) Найдем KD:

K 60 0 С A B S N 1 часть 2 части D M O 2 3 KD N 6) Из МАK по теореме Пифагора найдем MK:? Из KDN: 7) Из МKN найдем тангенс искомого угла=3 тогда 3 3

В правильной шестиугольной пирамиде SАВСDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SF и BM, где М – середина ребра SC. A C D E F S O 1 B 1 2 MO – средняя линия треугольника SFC. MO = SF 1 К BED C A F O R 6 = a 1 1 M 32

A C D E F S O 1 B 1 1 M 32 1 O M B1 3 2 Рассмотрим треугольник OBM. Чтобы найти угол М, составим теорему косинусов для стороны ОВ.

Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD c вершиной P равны между собой. Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP, если точка M середина бокового ребра пирамиды AP. O P C AB D Если не дано ребро, то можно обозначить его буквой или взять за «1» Угол между наклонной и плоскостью равен углу между наклонной и ее проекцией. Очевидно, что плоскости АРС и DPB перпендикулярны. РО – линия пересечения плоскостей. Опустим перпендикуляр из точки М на РО. K наклонная проекция M BM BK B M ? 2224 Тогда по теореме Фалеса: если АМ=МР, то PK=KO. Значит, отрезок МК средняя линия АРО. MK PO AO PO MK II AO

O P C AB D K МК перпендикуляр к плоскости DBP, значит, МК будет перпендикулярен к любой прямой, лежащей в этой плоскости. MK DBP MK KB M 24

B A D C C1C1C1C1 A1A1A1A1 D1D1D1D1 F 1). Построим сечение призмы плоскостью D 1 MK M B1B1B1B1 K8 2). MK, т.к. точки M и K лежат в одной плоскости. MD 1, точки лежат в одной плоскости. 3). Строим KF II MD 1, т.к. эти отрезки сечения лежат в параллельных гранях. 4). FD 1, т.к. точки лежат в одной грани. 5) Через точку А надо построить плоскость, перпендикулярную плоскости D 1 MK. Затем мы опустим перпендикуляр на линию пересечения этих плоскостей. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА 1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ 1 взята точка К так, что В 1 К=8. Найдите расстояние от точки А 1 до плоскости D 1 MK

D 1 L является наклонной к плоскости ABB 1. BA D C C1C1C1C1 A1A1A1A1 D1D1D1D1 F L M B1B1B1B1 K8 6) Построим линейный угол двугранного угла A 1 MKD 1 (MK – ребро двугранного угла) 7) D 1 L MK, н-я п-р D 1 A 1 – перпендикуляр к плоскости ABB 1 п-я A 1 L – проекция отрезка D 1 L на плоскость ABB 1. Применим теорему о трех перпендикулярах. D 1 L MK н-я Т Т П A 1 L MK п-я D 1 LA 1 – линейный угол двугранного угла A 1 MKD 1 Попробуем сделать чертеж более наглядным. Опрокинем призму на грань ABB 1 A 1 В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА 1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ 1 взята точка К так, что В 1 К=8. Найдите расстояние от точки А 1 до плоскости D 1 MKN

B A C C1C1C1C1 A1A1A1A1 D1D1D1D1 12 B1B1B1B1 8MD K8 1). Построим сечение призмы плоскостью D 1 MK. 2). MK, т.к. точки M и K лежат в одной плоскости. MD 1, точки лежат в одной плоскости. 3). Строим KF II MD 1, т.к. эти отрезки сечения лежат в параллельных гранях. F 4). FD 1, т.к. точки лежат в одной грани. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА 1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ 1 взята точка К так, что В 1 К=8. Найдите расстояние от точки А 1 до плоскости D 1 MK 5) Через точку А надо построить плоскость, перпендикулярную плоскости D 1 MK. Затем мы опустим перпендикуляр на линию пересечения этих плоскостей.

D 1 L является наклонной к плоскости ABB 1. B A C C1C1C1C1 A1A1A1A1 D1D1D1D1 L 12 B1B1B1B1 н-я п-р п-я 8MD K8F 6) Построим линейный угол двугранного угла A 1 MKD 1 (MK – ребро двугранного угла) 7) D 1 L MK, D 1 A 1 – перпендикуляр к плоскости ABB 1 A 1 L – проекция отрезка D 1 L на плоскость ABB 1. Применим теорему о трех перпендикулярах. D 1 L MK н-я Т Т П A 1 L MK п-я D 1 LA 1 – линейный угол двугранного угла A 1 MKD 1 В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА 1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ 1 взята точка К так, что В 1 К=8. Найдите расстояние от точки А 1 до плоскости D 1 MKN Плоскость линейного угла (A 1 LD 1 ) перпендикулярна каждой грани двугранного угла: Строим перпендикуляр из точки А на D 1 L в плоскости А 1 LD 1. A 1 LD 1 ABС 1, A 1 LD 1 ABС 1, A 1 LD 1 D 1 MKD A 1 LD 1 D 1 MKD

Из KZM, по теореме Пифагора: KM 2 = KZ 2 + ZM 2 ; KM 2 = ; KM 2 = 169; KM = 13. B A C C1C1C1C1 A1A1A1A1 D1D1D1D1 L 12 B1B1 8MD K8F M K8 A1A1A1A1 B1B1B1B L Z KZM = A 1 LM, по гипотенузе и острому углу. KZ = A 1 L = 12, ? ? Из A 1 D 1 L: В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА 1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ 1 взята точка К так, что В 1 К=8. Найдите расстояние от точки А 1 до плоскости D 1 MKN

МАУ ЗАТО Северск «Ресурсный центр образования» Консультационный центр по подготовке выпускников к Государственной (итоговой) аттестации С2 Используемые ресурсы: Смирнов В.А., Семенов А.А., Ященко И.В. ЕГЭ Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия. Рабочая тетрадь. Издательство МЦНИО. 2013г.;Смирнов В.А., Семенов А.А., Ященко И.В. ЕГЭ Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия. Рабочая тетрадь. Издательство МЦНИО. 2013г.; Тексты задач Стат Град и ЕГЭ- сайт Александра Ларина. задач Стат Град и ЕГЭ- сайт Александра Ларина Сайт ЕГЭ-тренер, видеоуроки Ольги Себедаш. zadachi=C2Сайт ЕГЭ-тренер, видеоуроки Ольги Себедаш. zadachi=C2