Выполнил: Пчельников Александр

СОДЕРЖАНИЕ: 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАЗВИТИЯ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ 2. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В ЭВМ 4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В «МАШИННЫХ» СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧИСЕЛ «МАШИННОЙ» ГРУППЫ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ 6. ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.1. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ АНАТОМИЧЕСКОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ ДЕСЯТИЧНАЯ ПЯТЕРИЧНАЯ ДВАДЦАТЕРИЧНАЯ 1.2. ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ 1.3. РИМСКАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ 1.4. АЛФАВИТНЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 1.5. "МАШИННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 1.6. ГРУППЫ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ Содержание

Десятичная система счисления. Язык чисел, как и любой другой, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым мы обычно пользуемся, алфавитом служат десять цифр - от 0 до 9. Это десятичная система счисления. Системой счисления мы будем называть способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называют числами. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Десять пальцев рук - вот аппарат для счёта, которым человек пользуется с доисторических времён. На рис. 1 изображено древнее написание десятичных цифр. Содержание

Пятеричная система счисления. По свидетельству известного исследователя Африки Стенли, у ряда африканских племён была распространена пятеричная система счисления. Долгое время пользовались пятеричной системой счисления и в Китае. Очевидна связь этой системы счисления со строением человеческой руки. Содержание

Двадцатеричная система счисления. У ацтеков и майя - народов, населявших в течение многих столетий обширные области Американского континента и создавших там высочайшую культуру, в том числе и математическую, была принята двадцатеричная система счисления. Также двадцатеричная система счисления была принята и у кельтов, населявших Западную Европу начиная со второго тысячелетия до нашей эры. Основу для счёта в этой системе счисления составляли пальцы рук и ног. Некоторые следы двадцатеричной системы счисления кельтов сохранились во французской денежной системе: основная денежная единица, франк, делится на 20 (1 франк = 20 су). Содержание

1.2. Шестидесятеричная система счисления. Особый интерес представляет так называемая "вавилонская", или шестидесятеричная, система счисления, весьма сложная система, существовавшая в Древнем Вавилоне. Мнения историков по поводу того, как именно возникла эта система счисления, расходятся. Существуют две гипотезы. Первая исходит из того, что произошло слияние двух племён, одно из которых пользовалось шестеричной, другое - десятичной. Шестидесятеричная система счисления в данном случае могла возникнуть в результате своеобразного политического компромисса. Суть второй гипотезы в том, что древние вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что естественно связано с числом 60. Отголоски использования этой системы счисления дошли до наших дней. Например, 1 час = 60 минутам. В целом шестидесятеричная система счисления громоздка и неудобна. Содержание

1.3. Римская система счисления. Эта система счисления появилась в Древнем Риме. Запись чисел в римской системе счисления показана на рис. 2.рис. 2. Первые 12 натуральных чисел в римской системе счисления записываются так: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII. Примеры записи чисел: XXVIII - 28, MCMXXXV Трудность выполнения арифметических действий с этими числами иллюстрируется на рис. 3.рис. 3. По этой причине в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях (циферблат часов и др.). Содержание

1.3. Римская система счисления Значение Римская система счисления Значение IVXLCDM IVXLCDM III IV VI XL LX XC CIX MCMLXXXVI

Содержание 1.3.

1.4. Алфавитные системы счисления. Алфавитные системы счисления представляют особую группу. В них для записи чисел использовался буквенный алфавит. Примером алфавитной системы счисления является славянская. У одних славянских народов числовые значения букв устанавливались в порядке следования букв славянского алфавита, у других, в частности у русских, роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначающей цифру, ставился специальный знак - "титло". Славянская система счисления сохранилась в богослужебных книгах. Алфавитная система счисления была распространена у древних армян, грузин, греков (ионическая система счисления), арабов, евреев и других народов Ближнего Востока. Содержание

1.5. "Машинные" системы счисления. Перед математиками и конструкторами в 50-х гг. встала проблема отыскания таких систем счисления, которые отвечали бы требованиям, как разработчиков ЭВМ, так и создателей программного обеспечения. Одним из итогов этих исследований стало значительное изменение представлений о системах счисления и о методах вычислений. Оказалось, что арифметический счёт, которым человечество пользуется с древнейших времён, может совершенствоваться, подчас весьма неожиданно и на удивление эффективно. Специалисты выделили так называемую "машинную" группу систем счисления и разработали способы преобразования чисел этой группы. ПРОДОЛЖЕНИЕ НА СЛЕД. СЛАЙДЕПРОДОЛЖЕНИЕ НА СЛЕД. СЛАЙДЕ Содержание

К "машинной" группе систем счисления относятся: - двоичная; - восьмеричная; - шестнадцатеричная; Официальное рождение двоичной арифметики связано с именем Г.В.Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами. Из истории известен курьёзный случай с восьмеричной системой счисления. Шведский король Карл XII в 1717 г. увлекался восьмеричной системой счисления, считал её более удобной, чем десятичная, и намеревался королевским приказом ввести её как общепринятую. Неожиданная смерть помешала королю осуществить столь необычное намерение. Содержание

1.6. Группы систем счисления. На рис. 7. приведена обобщённая схема классификации, рассмотренных групп систем счисления. В последующем материале мы более подробно остановимся на "машинной" группе систем счисления.рис. 7. Содержание

1.6.

2.1. ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 2.2. НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Содержание

2.1. Позиционные системы счисления. В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой, зависит от места (позиции) цифры. Так в числе 222 цифра 2 встречается трижды. Но самая правая означает две единицы, вторая справа - два десятка (двадцать) и, наконец, третья - две сотни (двести). Содержание

2.2. Непозиционные системы счисления. В непозиционной системе счисления значение (величина) числа определяется как сумма или разность цифр в числе. В непозиционных системах счисления считать трудно. Примером непозиционной системы счисления является римская система счисления. Примеры записи чисел в римской системе счисления: IV (4=5-1), VI (6=5+1) Значение числа в непозиционной римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр числа. Содержание

3.1. ОСНОВЫ КОДИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ В ЭВМ. ДВОИЧНЫЙ КОД. БИТ, БАЙТ ОСНОВЫ КОДИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ В ЭВМ. ДВОИЧНЫЙ КОД. БИТ, БАЙТ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ3.2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ Содержание

Обработка информации в ЭВМ основана на обмене электрическими сигналами между различными устройствами машины. Эти сигналы возникают в определённой последовательности. Признак наличия сигнала можно обозначить цифрой 1, признак отсутствия - цифрой 0. Таким образом, в ЭВМ реализуются два устойчивых состояния. С помощью определённых наборов цифр 0 и 1 можно закодировать любую информацию. Каждый такой набор нулей и единиц называется двоичным кодом. Количество информации, кодируемое двоичной цифрой - 0 или 1 - называется битом. Бит является единицей измерения количества информации. На практике чаще, чем с битом нам приходится работать с байтом - единицей измерения объёма данных. продолжение на след. слайде 3.1. Основы кодирования информации в ЭВМ. Двоичный код. Бит, байт. Содержание

Например, русской букве М в так называемой альтернативной кодировке соответствует следующий набор нулей и единиц , а русской букве А , тогда слово МАМА закодируется 32- разрядным двоичным кодом: Широкое распространение получила т.н. кодировка ASCII (American Standard Code for Information Interchange - американский стандартный код для обмена информацией). Это семиразрядный код (каждый символ кодируется семью двоичными разрядами) - таким образом, всего можно закодировать 128 символов. Мы обычно пользуемся восьмиразрядным расширением кода ASCII. За счёт добавления "лишнего" разряда можно получить ещё 128 символов, всего их становится 256. Это расширение позволяет кодировать буквы русского алфавита и некоторые специальные символы. Содержание

3.2. Арифметические действия в двоичной системе счисления. В ЭВМ легко кодируются два устойчивых состояния, и алфавит символов двоичной системы счисления состоит из двух цифр - 0 и 1. В двоичной системе счисления числа представляются словами из нулей и единиц. Основание системы счисления - это количество знаков в алфавите символов. Рассмотрим арифметические действия в двоичной системе счисления. сложение вычитание умножение деление Содержание

Правила сложения: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1= = 10 (результат сложения двух единиц: ноль и единица переноса в старший разряд) - основное правило двоичной системы счисления. В случае многоразрядных чисел арифметические операции выполняются подобно тому, как это делается в десятичной системе счисления. Например, при сложении необходимо учитывать возможные переносы единицы из младших разрядов в старшие, т.е. всякий раз, когда при сложении не хватает алфавита символов для записи результатов сложения, наступает переполнение текущего разряда и образование единицы старшего разряда. Сложение. Содержание 3.2.

Вычитание. Правила вычитания: 0-0=0 1-0=1 1-1= = 1 - второе правило двоичной системы счисления. При вычитании многоразрядных двоичных чисел может возникнуть необходимость "занять" единицу в старшем разряде, что даёт две единицы в младшем разряде. Если в десятичном числе выделяются разряды единиц, десятков, сотен и т.д., то в двоичном числе выделяются разряды единиц, двоек, четвёрок, восьмёрок и т.д. Содержание 3.2.

Умножение. Правила умножения: 0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1 Умножение двоичных чисел сводится к умножению множимого на каждый разряд множителя с последующим сдвигом и суммированию полученных произведений аналогично умножению в десятичной системе счисления. Содержание 3.2.

Деление. Деление в двоичной системе счисления, как и в десятичной, основано на равнении остатка с делителем в ходе последовательного выполнения вычитаний и сдвигов. Содержание 3.2.

4.1. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления как "машинные" системы счисления. При наладке аппаратных средств ЭВМ или создании новой программы часто возникает необходимость заглянуть внутрь памяти ЭВМ, чтобы оценить её текущее состояние. Но там всё заполнено длинными последовательностями нулей и единиц - двоичными числами. Эти последовательности очень неудобны для восприятия. В связи с этим двоичные числа стали разбивать на группы по три или четыре разряда. Из трёх нулей и единиц можно составить восемь различных двоичных чисел, а из четырёх - шестнадцать. Для кодирования 3 бит требуется 8 цифр, и поэтому взяли цифры от 0 до 7 десятичной системы счисления, т.е. в соответствии с определением получили алфавит восьмеричной системы счисления. Покажем это в таблице 1. Трёхразрядное число, соответствующее цифре восьмеричного числа, называется двоичной триадой.в таблице 1. продолжение на след. слайдепродолжение на след. слайде Содержание

Таблица 1. Содержание Пр.5.4. Восьмеричный алфавит Двоичное число (триада)

Для кодирования 4 бит необходимо 16 знаков, для чего используются 10 цифр десятичной системы и 6 букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Покажем это в таблице 2.в таблице 2. Четырёхразрядное двоичное число, соответствующее цифре шестнадцатеричного числа, называется двоичной тетрадой. В таблице 3 видно, что переполнение разряда в каждой системе счисления наступает после последней цифры (знака) алфавита, и так называемый десяток в различных системах счислений различный.В таблице 3 Представление чисел в различных системах счисления показано в таблице 4.в таблице 4. Содержание

Таблица 2. Содержание Пр.4.1. Пр.5.4. Шестнадцатеричный алфавит Двоичное число (тетрада) ABCDEF ABCDEF

Таблица 3. Содержание Пр.4.1. Система счисления Основание Алфавит цифр 10-ная 2-ная 8-ная 16-ная A B C D E F 10

Таблица 4. Содержание Пр ная2-ная8-ная16-ная ABCDEF ABCDEF1 0

Во время работы ЭВМ постоянно происходит преобразование чисел из десятичной системы счисления в двоичную, и наоборот. Да и человеку, имеющему дело с ЭВМ, часто приходится прибегать к преобразованиям чисел СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ В ВОСЬМЕРИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ 5.2. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДВОИЧНУЮ, ВОСЬМЕРИЧНУЮ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 5.3. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ, ВОСЬМЕРИЧНОЙ, ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ В ДЕСЯТИЧНУЮ 5.4. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ, ИЗ ВОСЬМЕРИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ В ДВОИЧНУЮ Содержание

5.1. Сложение и вычитание в восьмеричной и шестнадцатеричных системах счисления. Действия над числами с основанием 8 и 16 непривычны и поэтому вызывают определённые сложности. Так, при выполнении действий сложения и вычитания в восьмеричной системе счисления рекомендуется помнить следующее: а) в записи результатов сложения и вычитания могут быть использованы только цифры восьмеричного алфавита; б) десяток восьмеричной системы счисления равен 8, т.е. переполнение разряда наступает, когда результат сложения больше или равен 8. В этом случае для записи результата надо вычесть 8, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения; в) если при вычитании приходится занимать единицу в старшем разряде, эта единица переносится в младший разряд в виде восьми единиц. продолжение на след. слайде Содержание

При выполнении действий сложения и вычитания в шестнадцатеричной системе счисления надо помнить следующее: а) при записи результатов сложения и вычитания следует использовать цифры шестнадцатеричного алфавита; цифры обозначающие числа от 10 до 15 записываются латинскими буквами, поэтому если результат является числом из этого промежутка, его надо записать соответствующей латинской буквой; б) десяток шестнадцатеричной системы счисления равен 16, т.е. переполнение разряда наступает, если результат сложения больше или равен 16, и в этом случае для записи результата надо вычесть 16, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения; в) если приходится занимать единицу в старшем разряде, это единица переносится в младший в виде шестнадцати единиц. Содержание 5.1.

Правила перевода целой части числа. Для того чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную, необходимо: 1. Последовательно делить данное число и получаемые при делении целые частные на основание новой системы счисления (2, 8 или 16), выражая промежуточный результат цифрами исходной системы, до тех пор, пока частное не станет равным нулю. 2. Полученные остатки, фактически являющиеся цифровым выражением числа в новой системе, привести в соответствие с алфавитом этой системы счисления (имеются в виду системы счисления с основанием больше 10). 3. Записать число в новой системе счисления, начиная с последнего остатка. продолжение на след. слайде 5.2. Перевод чисел из десятичной системы счисления в другие системы счисления. Содержание

Правила перевода дробной части числа. Для того, чтобы перевести дробную часть числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную, необходимо: 1. Последовательно умножать дробную часть данного числа и получаемые при умножении дробные части произведений на основание новой системы, до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или до той точности, которая определена условием. 2. Полученные целые части произведения, фактически являющиеся цифровым выражением числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом этой системы. 3. Записать дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения. Для перевода из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления числа, содержащего целую и дробную части, необходимо: 1. Перевести целую часть. 2. Перевести дробную часть. 3. Сложить полученные результаты. Содержание 5.2.

5.3. Перевод чисел из двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной систем счисления в десятичную. Для того чтобы понять принцип перевода чисел из двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной систем счисления в десятичную, рассмотрим запись десятичного числа в виде степенного ряда. Сформулируем правило записи числа в виде степенного ряда. продолжение на след. слайде Содержание

Правило. Для записи числа в виде степенного ряда следует: 1. Обозначить координаты степенной оси, учитывая, что ноль ставится под младшим целым разрядом исходного числа, а возрастание координат степенной оси идёт справа налево. 2. Записать сумму произведений каждой цифры числа на основание системы счисления исходного числа в степени, соответствующей координате степенной оси. продолжение на след. слайде продолжение на след. слайде Содержание 5.3.

Способ записи числа в виде степенного ряда можно использовать для чисел в любой системе счисления и применять его для перевода чисел в десятичную систему счисления. Для того чтобы перевести двоичное, восьмеричное, шестнадцатеричное число в десятичную систему счисления способом степенного ряда, надо: 1. Сформировать координатную степенную ось. 2. Разложить число в виде степенного ряда. 3. Подсчитать сумму произведений степенного ряда. Содержание 5.3.

При переводе чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную поступают по правилам, приведённым ниже: а) перевод в восьмеричную систему счисления: влево и вправо от запятой двоичное число разбивается на двоичные триады (см. таблицу 1), при необходимости крайние группы дополняются нулями; каждая триада заменяется соответствующей цифрой восьмеричного алфавита (см. таблицу 1);(см. таблицу 1) продолжение на след. слайде продолжение на след. слайде 5.4. Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную, и наоборот. Содержание

б) в шестнадцатеричную систему счисления: влево и вправо от запятой двоичное число разбивается на двоичные тетрады (см. таблицу 2), при необходимости крайние группы дополняются нулями; каждая тетрада заменяется соответствующей цифрой шестнадцатеричного алфавита (см. таблицу 2).(см. таблицу 2)(см. таблицу 2) При переводе чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную достаточно заменить каждую цифру этих чисел соответственно двоичной триадой или тетрадой. При этом незначащие нули отбрасываются. Содержание 5.4.

Используемая литература: 1. Брудно А.А. Московские олимпиады по программированию. Под.ред. Наумова А.И. М.: Наука, Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математики. М.: Наука, Касаткин В.Н. Информация. Алгоритмы. ЭВМ. М.: Просвещение, Нестеренко А.В. ЭВМ и профессия программиста. М.: Просвещение, Основы информатики и вычислительной техники: Методические рекомендации по подготовке к вступительному экзамену в Государственную академию управления. Часть 1, 2. М.: Решетников В.Н., Сотников А.Н. Информатика – что это? М.: Радио и связь Семененко В.А., Ступин Ю.В. Справочник по электронно-вычислительной технике. М.: Машиностроение, Фомин С.В. Системы счисления. М.: Наука, Шауцукова Л.З. Основы информатики. Нальчик: ЭЛЬ-ФА, Электронно-вычислительная техника. Под.ред. Ваграменко Я.А. М.: Просвещение, 1988 Содержание