Выполнила ученица 6 класса МБОУ Торбеевской ООШ Мещерякова Анна Руководитель: учитель 1 квалификационной категории Шилин А. М.

Выполняя данную работу я для себя наметила следующие задачи: 1. Углубить и закрепить свои знания по признакам делимости, четности и нечетности чисел; 2. Подобрать олимпиадные задания различного уровня, где включены задания на признаки делимости, четности и нечетности чисел ; 3. Попытаться разбить собранный материал на группы – классифицировать его; 4. Обобщить полученный материал.

правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в позиционной системе счисления (обычно десятичной).

Признак делимости на 2. На 2 делятся числа запись которых оканчивается четным числом – 2,4,6,8,0. Например: 2354; 1578; Признак делимости на 3. На 3 делятся числа сумма цифр которых кратна 3. Например: – =21; так как 21 делится на 3, то и число делится на 3. Признак делимости на 5. На 5 делятся числа запись которых оканчивается цифрой 5 или 0. Например: 2365; Признак делимости на 9. На 9 делятся числа сумма цифр которых кратна 9. Например: 32454; Признак делимости на 10. На 10 делятся числа запись которых оканчивается цифрой 0. Например: 1250;

Признак делимости на 4. Если две последние цифры числа делятся на 4 или оканчивается двумя нулями, то и всё число разделится на 4. Например: :4=19. Признак делимости на 6. На 6 делятся четные числа и сумма их цифр кратна 3. Действительно - 2 3=6. Например: =18 18:3=6 и данное число оканчивается четной цифрой 4. Признак делимости на 7. Число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность его десятков с удвоенной последней цифрой из этого числа делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 (2 4 ) = 28 делится на 7).

Признак делимости на 11. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками равна 0 или делится на 11 (то есть делится на 11, так как = 22 делится на 11). Признак делимости на 12. На 12 делятся числа сумма цифр которых кратна 3 и две последние цифры числа кратны 4. Действительно - 4 3=12. Например =21; 21:3=7; 4:4=1. Признак делимости на 13. Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 × 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 15. Число делится на 15 тогда и только тогда, когда сумма его цифр кратна трем и это число оканчивается 5 или 0.Например: ; =21; 21:3=7; и данное число оканчивается 0. Признак делимости на 16. Число делится на 16 тогда и только тогда, когда четыре его последние цифры делятся на 16. Например: Признак делимости на 17. Число делится на 17 тогда и только тогда, если от числа его десятков отнять увеличенное в пять раз число его единиц. Потом снова проверить, если то, что получилось, делится на 17, то и само число делится на 17. Например: = = =17

Признак делимости на 18. Если сумма цифр четного числа делится на 9, то и это число делится на 18. Например: =18 и данное число четное. Признак делимости на 19. Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.Потом снова проверить, если то, что получилось, делится на 19, то и само число делится на 19. Например: = = =19. Признак делимости на 20. Число делится на 20 тогда и только тогда, если данное число содержит четное количество десятков и оканчивается 0. Например:

1. Теорема о делимости данного числа на произведение двух взаимно простых чисел: Если данное число делится на каждое из двух взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение. На основании этой теоремы можно установить признак делимости на число, которое может быть представлено в виде произведения двух взаимно простых чисел. Например: на 45. Чтобы данное число делилось на 45, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 9 и на 5. Эту теорему я использовала когда выводила признаки делимости на составные числа: например – 6,12,14,15,16,18,20.

1. Четность или нечетность результата сложения или вычитания зависит от количества нечетных чисел. 2. При четном количестве нечетных чисел – результат четное число. ( =18) 3. При нечетном количестве нечетных чисел – результат нечетное число. (1+3+5=9) 4. Количество четных чисел на результат не влияет, так как их сумма или разность всегда четное число. 5. При делении или умножении нечетных чисел - результат нечетное число. 6. При делении четного числа на четное число – результатом может быть и четное, и нечетное число.

Способ решения задания Делимость по последним цифрам числа (2,4,5,8,10) Делимость по сумме цифр числа (3,9,11) Делимость на составное число (6,12,18 и тд) Четность и нечетность (как правило - носят доказательный характер)

Способ решения задания Делимость по последним цифрам числа (2,4,5,8,10) Делимость по сумме цифр числа (3,9,11) Делимость на составное число (6,12,18 и тд) Четность и нечетность (как правило - носят доказательный характер) В одно действие- стандартные: (указан алгоритм решения) Явно указано - проверить задание на данный признак. --

Способ решения задания Делимость по последним цифрам числа (2,4,5,8,10) Делимость по сумме цифр числа (3,9,11) Делимость на составное число (6,12,18 и тд) Четность и нечетность (как правило - носят доказательный характер) В одно действие- стандартные: (указан алгоритм решения) Явно указано - проверить задание на данный признак. -- В два действия – обучающие: (проверить знание на данный признак и выполнить необходимые расчеты) Проверить знание данного признака ; выполнить арифметические действия или решить уравнение. Уметь разложить делитель на взаимно простые множители; проверить знания деления на эти взаимно простые множители Применить алгоритм на четность и нечетность чисел; выполнить вычисления о возможности или невозможности данного решения.

Способ решения задания Делимость по последним цифрам числа (2,4,5,8,10) Делимость по сумме цифр числа (3,9,11) Делимость на составное число (6,12,18 и тд) Четность и нечетность (как правило - носят доказательный характер) В одно действие- стандартные: (указан алгоритм решения) Явно указано - проверить задание на данный признак. (5) Явно указано - проверить задание на данный признак. -- В два действия – обучающие: (проверить знание на данный признак и выполнить необходимые расчеты) Проверить знание данного признака ; выполнить арифметические действия или решить уравнение. (1) Проверить знание данного признака ; выполнить арифметические действия или решить уравнение. (2) Уметь разложить делитель на взаимно простые множители; проверить знания деления на эти взаимно простые множители Применить алгоритм на четность и нечетность чисел; выполнить вычисления о возможности или невозможности данного решения. В три и более действия – проблемно- поисковые: (проверить задание на данный признак и выполнить необходимые расчеты, при необходимости привести все решения). Уметь разложить делитель на взаимно простые множители; проверить знания деления на эти взаимно простые множители; выполнить ряд математических операций для нахождения окончательного ответа. (4) (3) (6) Применить алгоритм на четность и нечетность чисел; выполнить вычисления о возможности или невозможности данного решения; найти одно или все возможные решения. (6) (7)

Какие цифры нужно вычеркнуть в числе 21945, чтобы оно делилось на 9? А - 2 и 1; Б – 1 и 4; В – 4 и 5; Г – 2 и 9? Сумма цифр числа равна 21. При вычеркивании цифр сумма цифр нового числа уменьшится и должно равняться 18 или 9. Следовательно от 21 надо отнять либо 3, либо 12. Данному условию соответствует вариант А и искомое число 945.

Какой должна быть цифра пятизначного числа, делящегося на 19, если его первые четыре цифры этого числа – пятерки? А - 0; Б – 3; В – 6; Г – 9. По признакам делимости числа на 19 поступаем следующим образом: 1) = = =66 – на 19 не делится. 2) = = =71 - на 19 не делится. 3) = = =57 – делится на 19. 4) = = =62 - на 19 не делится. Таким образом, искомое число Хотя, на мой взгляд – проще представить данное число в виде 55550:19=2923, остаток 13; 19-13=6 Следовательно, искомое число

Найдите все четырехзначные числа которые делятся на 45, а две средние цифры этого числа – 9 и Представим данное число в виде: Х97У; 45 – составное число, поэтому достаточно чтобы число вида Х97У делилось на 5 и на На 5 число делится тогда и только тогда, если оно заканчивается 0 или 5. Тогда у нас возникает два варианта решения для двух чисел вида: Х970 и Х975. Рассмотрим оба варианта: 3. Х970 = Х = Х+16; тогда Х+16=18; Х=2 Значит первому варианту соответствуют два числа: 2970 и 2790, так как конкретно не сказано, какая из двух цифр соответствует числу десятков, а какая – числу сотен; 4. Х975= Х =Х+21; тогда Х+21= 27; Х=6 Следовательно, два другие числа: 6975 и Ответ: 2790, 2970, 6795, 6975.

В корзине меньше ста яблок, их можно поровну разделить между 2, 3 т 5 детьми, но нельзя поровну разделить между 4 и 9 детьми. Сколько яблок в корзине? 1. Так как числа 2, 3, 5 – взаимно простые, то их произведение и есть минимальное значение из возможных которое соответствует заданию – 2·3·5=30; 2. Однако числа 60 и 90 то же соответствует заданию ( меньше 100) и делятся на 2, 3, не удовлетворяет условию, так как 60:4= не удовлетворяет условию, так как 90:9=10 Ответ: 30

Сколько цифр в числе можно заменить 7 так, чтобы оно по прежнему делилось на 4? 1. Так как на 4 число делится тогда и только тогда, если его две последние цифры делятся на 4 или нули. Так что первые цифры никакой роли в данном задании не играют, значит 3,0,2,8 – можно заменить на 7; 2. Если вместо числа единиц данного числа поставить 7, то получится нечетное число, значит его менять нельзя, так как на 4 оно не делится; 3. Остается проверить, делится ли 72 на 4 – да. Значит и его можно заменить на 7. Ответ: 5 цифр –

Число 2013 умножили само на себя 2013 раз, а затем прибавили это же число записанное в обратном порядке. Простое или составное получилось число, а если составное, то назовите его наименьший делитель возвести в степень нереально, но сумма числа 2013= =6. Значит данное число кратно 3, так как – если хотя бы один из множителей делится на данное число, то и произведение этих чисел делится на это число; 2. Произведение любого числа нечетных чисел есть нечетное число – значит при возведении 2013 в степень 2013 будет нечетным числом; записанное в обратном порядке 3102 – число четное; 4. Сумма четного и нечетного чисел – нечетное число, значит на 2 полученный результат не разделится; 5. Если каждое из слагаемых делится на данное число, то и сумма этих чисел разделится на данное число. Так как 2013 и 3102 делятся на 3, то 3 является наименьшим делителем. 6. Ответ: составное, 3.

Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990? 1. Так как на каждом вырванном листе написано по два числа – одно четное, а другое – нечетное, значит их сумма будет нечетное число. 2. Так как листов вырвано 25 – нечетно, сумма 25 нечетных слагаемых равна нечетному числу. Ответ: нет.

1. Данная работа носит обучающий характер, так как может быть использована не только учащимися 6-7 классов, но и учителями при объяснении данного материала, а так же при подготовке к олимпиадам разного уровня; 2. При подготовке к ГИА она поможет быстро восстановить подзабытые знания ученикам 9 класса; 3. Приведенные решения задач помогут понять процесс нахождения правильного варианта решения; 4. Может быть использована в кружковой работе; 5. Задания на четность и нечетность совсем по другому заставляют взглянуть на решение «проблемных» для многих школьников заданий данного вида.

1. Теория чисел В.И.Тишин 2. Интернет 3. Задания математических олимпиад: Физико-математическая олимпиада «Авангард» Заочная математическая олимпиада «Альбус» Международная математическая игра «Кенгуру» Российский заочный конкурс «Тайны математики»

Спасибо за внимание!