Алгебраические фракталы Домашних И.А.

Динамическая система Динамическая система - математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюционирующих с течением времени При этом время может быть как вещественным, так и дискретным

Фазовое пространство Фазовое пространство - пространство, на котором представлено множество всех состояний системы для некоторого фиксированного момента времени Т.е. каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового пространства

Неподвижные точки, циклы

Аттракторы Аттрактор (англ. attract - привлекать, притягивать) множество состояний (точек фазового пространства) динамической системы, к которому она стремится с течением времени Примеры притягивающая неподвижная точка периодическая траектория

Аттракторы Репеллер (англ. repel - отталкивать) - множество неустойчивого равновесия динамической системы В сложных случаях в динамических системах могут возникать странные аттракторы, т.е. аттракторы с дробной размерностью и хаотической структурой Множество начальных состояний из которых динамическая система обязательно попадет в аттрактор называется бассейном притяжения аттрактора

Недетерминированный хаос Хаос - неупорядоченное, случайное, непрогнозируемое поведение элементов системы Недетерминированный хаос - это отражение сложного поведения большого количества частиц Пример: броуновское движение мелких частиц в воде Невозможно спрогнозировать траекторию любой частицы, потому что для этого потребуется определить параметры движения всех молекул воды, которых слишком много Подчиняется статистическим законам

Детерминированный хаос Поведение большинства физических систем описывается нелинейными законами Отклик таких систем непропорционален силе возмущающего воздействия Существуют физические системы, отклик которых остается сильным на протяжении длительного времени Такие системы тоже оказываются хаотическими, а их поведение называют детерминированным хаосом

Детерминированный хаос Невозможность предсказания поведения системы обусловлена не количеством частиц, а большим влиянием небольших погрешностей в определении состояния Погрешности нельзя исключить, в частности, в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга Поведение таких детерминированных систем тоже лучше описывается статистическими законами

Примеры хаоса ТурбулентностьФлаттер New York Blackout, 1977 Аттрактор Лоренца Погода

Метод Ньютона

Метод Ньютона для кубического полинома

Построение

Бассейны Ньютона

Замечания

Динамическая система квадратичного отображения

Простейший случай

Множества Жюлиа и Фату

Пример множества Жюлиа

Пример пыли Фату

Замечания

Определение множества Мандельброта

Множество Мандельброта

Альтернативное определение

Связь определений Точка 0 – единственная критическая точка, т.е. точка, в которой производная обращается в нуль Согласно мощным результатам Жюлиа и Фату любой притягивающий или рационально нейтральный цикл содержит в своей области притяжения по крайней мере одну критическую точку Тогда в случае, когда последовательность с началом в нуле устремляется в бесконечность циклы существовать не могут, а само множество Жюлиа превращается в пыль Фату

Периоды для различных областей множества Мандельброта

Деформированная окружность

Двойной цикл

Тройной цикл

Параболический случай динамики

Граница между циклами 2 и 4

Множества с дисками Зигеля

Иглоподобные множества

Пыль Фату

Построение

Спасибо за внимание