МАТЕМАТИКАМАТЕМАТИКА Элементы теории множеств

Лекцию разработал старший преподаватель кафедры теории и методики начального образования ВКГУ им. С.Аманжолова Раченкова Галия Магсумовна

Введение Математика, как и другие науки, изучает окружающий нас мир. Но математические объекты реально не существуют, нет в окружающем нас мире ни чисел, ни геометрических фигур. Все они созданы умом человека в процессе исторического развития, но созданы не произвольно, а в связи с реальным миром. Поэтому говорят, что математические объекты – это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления.

Изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира, математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и свойства понятий, возникшие на основе первых.

Успешное обучение математике младших школьников требует от учителя не только методического мастерства, но и глубокого понимания сути математических понятий и фактов.

Обучение младших школьников требует глубокой и многосторонней математической подготовки учителя. В начальных классах закладываются основы знаний о числе, действиях над числами и величинами, происходит ознакомление с элементами буквенной символики и геометрии, развиваются логические умения.

Цель курса Раскрыть студентам суть важнейших математических понятий и фактов, дать теоретическую подготовку, необходимую для успешного обучения математике учащихся начальных классов, воспитания и развития их через этот школьный предмет.

Задача курса Способствовать повышению творческого потенциала будущих учителей начальной школы в плане дальнейшей самостоятельной работы по углублению и расширению математических знаний, видению перспективы использования понятий начального курса математики в средних классах школы.

Изучение курса начинается с раздела «Элементы теории множеств». Для чего это нужно? Во-первых, это необходимая база для понимания сути числа и действий над числами (что и изучается в начальной школе). Во-вторых, это возможность лучше узнать и усвоить язык школьной математики.

Кантор Георг ( ) Немецкий математик, идеи и работы которого оказали большое влияние на развитие математики в целом, на понимание её основ. Создатель теории множеств. Получил ряд замечательных результатов, относящихся к теории бесконечных множеств, теории действительного числа.

Множество В математике некоторые понятия являются первичными, неопределяемыми. К таким понятиям относится «множество». Оно не определяется через другие понятия, его поясняют на примерах.

Пример Так, можно говорить о множестве букв в некотором слове, о множестве однозначных чисел, о множестве студентов, сидящих в этой аудитории, о множестве месяцев в году и т.д.

В повседневной жизни вместо слова «множество» употребляют слова «набор», «коллекция», «собрание», «совокупность» и т.д. Например мы говорим: «набор посуды», «коллекция марок», «собрание сочинений А.С.Пушкина», «совокупность объектов» и т.п.

Математический смысл слова «множество» отличается от того, как оно используется в обыденной речи, где его связывают с большим числом предметов. В математике этого не требуется. Здесь, наряду с множествами, содержащими некоторое количество объектов, рассматривают множество, состоящее из одного объекта, и множество не содержащее ни одного объекта.

Таким образом, дать формальное определение понятию «множество» невозможно. Но при этом мы можем описать объекты из которых это множество состоит.

Определение Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами.

Использование символов для обозначения множеств и их элементов Для сокращения записи различных высказываний о множествах и их элементах в математике принята следующая символика: множества обозначают заглавными латинскими буквами А,В,С … Z, а их элементы малыми латинскими буквами a, b, c …z. Слово «принадлежит» заменяют символом, а «не принадлежит» символом.

Использование символов для обозначения множеств и их элементов В математике и других науках нередко приходится выяснять, принадлежит какой-либо объект рассматриваемому множеству или не принадлежит. Слово «принадлежит» заменяют символом, а «не принадлежит» символом.

Использование символов для обозначения множеств и их элементов Тогда высказывание вида «элемент а принадлежит множеству А» записывают а А, а высказывание вида «элемент а не принадлежит множеству А» записывают а А.

Пример Пусть А – множество четных чисел, тогда запись 12 А можно прочитать «число 12 принадлежит множеству четных чисел», а запись 27 А можно прочитать «число 27 не принадлежит множеству четных чисел».

Конечные и бесконечные множества Как уже было сказано, в обыденной речи слово множество связывают с большим числом предметов. В математике может быть множество, содержащее один элемент, два элемента, три и т.д. Множества могут содержать как конечное число элементов, так и бесконечное.

Пример Например, множество столов в аудитории, множество машин в городе, множество слов в книге - это конечные множества, а множество точек на прямой, множество геометрических фигур, множество чисел – это бесконечные множества.

Дроб и {0} N Z- Z R I Q Числовые множества Бесконечными являются следующие числовые множества: N - Множество натуральных чисел; Z - Множество целых чисел; Q - Множество рациональных чисел I - Множество иррациональных чисел I - Множество иррациональных чисел R - Множество действительных чисел.

Пустое множество Рассматривают в математике и множество, не содержащее ни одного элемента. Например, множество людей четырёхметрового роста - пустое множество, так как в нем нет ни одного элемента.

Определение Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается.

Пример Множество решений уравнения 2х-5=2х-3 является пустым множеством, т.к. 2х-2х=-3+5 0х=2 не имеет решения, т.к. нельзя разделить число 2 на 0.

Любое множество определяется своими элементами, т.е множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству либо не принадлежит. Способы задания множеств

Поэтому, чтобы задать множество, необходимо охарактеризовать его элементы. Рассмотрим два способа задания множеств.

1 способ. Множество можно задать перечислив все его элементы. Способы задания множеств

Указанный способ задания множеств применим только для конечных множеств, и то при условии, что число элементов не велико. При этом ни один элемент не записывается несколько раз.

А – множество однозначных натуральных чисел А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Как видно из примера, все элементы множества А перечислены, при этом для записи используются фигурные скобки. Пример

Способы задания множеств 2 способ Множество задаётся с помощью указания характеристического свойства элементов множества.

Определение Характеристическое свойство элементов множества – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент ему не принадлежащий.

Этот способ применим для задания множеств, содержащих как конечное число элементов, так и бесконечное. Но при этом необходимо наличие общего свойства всех элементов данного множества.

Пример В – множество положительных действительных чисел В = {х х R, x>0} Для записи множества этим способом также используются фигурные скобки. Перед вертикальной чертой указывается элемент множества (переменная), а после черты с помощью математических символов и знаков записывается характеристическое свойство этого элемента.

1 способ Множество дней недели А = {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}

1 способ Множество, состоящее из четырех букв латинского алфавита: а, в, с, d В = {а, в, с, d}

2 способ Множество натуральных чисел, меньших 100 С = {х| х N и х < 100}

2 способ Множество натуральных чисел, кратных 2 D = {х | х N и х 2}

Способы задания множеств Некоторые из множеств можно задать двумя способами. Это можно сделать в том случае, если множество имеет конечное число элементов, при этом они все обладают одним характеристическим свойством.

1 и 2 способы Множество натуральных чисел, меньших 8. Первый способ Е = {1,2,3,4,5,6,7} Второй способ Е = {х| х N и х < 8}

Подмножество Может получиться, что одно множество является частью другого. Например, множество берёз является частью множества всех деревьев, а множество учебников по математике является частью множества всех книг и т.п.

Определение Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А.

Подмножество В символической форме это предложение выглядит так: В А. Если же между множествами нет подобного отношения, то пишут В А, что означает «множество В не является подмножеством множества А».

Пример А – множество букв в алфавите В – множество гласных букв в алфавите Имеет место отношение В А

Пример А – множество рек Европы В = {Волга, Сена, Днепр} Имеет место отношение В А

Примеры А = {2,4,6,8,10,12,14}, В = {4,8,12}, С = {1,2,3,4,5,6} Имеют место отношения В А, С А.

Свойства Любое множество является подмножеством самого себя, т.е. А

Свойства Пустое множество является подмножеством любого множества, т.е. А

Свойства У множества могут быть различные подмножества: одноэлементные, двухэлементные, трёхэлементные и т.д.

Подмножество Различают два вида подмножеств множества А: 1.Само множество А и называют несобственными подмножествами множества А; 2.Все остальные подмножества, если они есть, – собственными подмножествами множества А.

Пример Дано множество А = {a, b, c, d}, запишем все его подмножества:

Пример Собственные подмножества: Одноэлементные: {a}, {b}, {c}, {d}

Пример Собственные подмножества: Двухэлементные:{a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}

Пример Собственные подмножества: Трехэлементные:{a,b, c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}

Пример Несобственные подмножества:, {a,b,c,d}

Пример Таким образом у данного множества 16 подмножеств: 14 собственных и 2 несобственных.

Количество подмножеств у множества Нужно отметить, что количество подмножеств у множества не зависит от природы самих элементов

Количество подмножеств у множества Например, множество, состоящее из четырёх букв, будет иметь столько же подмножеств, сколько и множество, состоящее из четырёх чисел.

Количество подмножеств у множества n – количество элементов в множестве. m=2 n – количество подмножеств данного множества

Количество подмножеств у множества Например в множестве А - 6 элементов. Тогда у множества А - 64 подмножества Т.е. 2 6 =64

Количество подмножеств у множества Зная эту формулу, можно определить количество элементов в множестве по количеству имеющихся подмножеств.

Пример Если у множества 32 подмножества, то следовательно оно состоит из 5 элементов. Т.к. 2 5 =32

Пример Существует ли множество, имеющее 40 подмножеств. Ответ: «Нет, не существует, т.к. нет такого числа х, для которого бы выполнялось равенство 2 х =40

Универсальное множество Бывает так, что рассматривают подмножества одного и того же множества, назовем его I. При этом между собой эти множества находятся в самых различных отношениях. Такое множество называется универсальным.

Универсальное множество Например, I – множество студентов ВКГУ А – множество студентов первокурсников, В – множество студентов, изучающих английский язык, С – множество студентов, которые учатся на отделении ПиМНО, D – множество студентов, занимающихся спортом, E – множество студентов юношей, F – множество студентов, сдавших сессию на 4 и 5 и т.д. Все эти множества являются подмножествами множества I.

Равные множества Допустим даны два множества А и В, после их рассмотрения выясняется, что А В, а В А. В каком случае эта ситуация возможна?

Равные множества Эта ситуация возможна только в том случае, если множества А и В состоят из одних и тех же элементов (порядок записи элементов не играет роли).

Определение Множества А и В называются равными, если А – подмножество В, а В – подмножество А. Т.е. они состоят из одних и тех же элементов Записывают А = В.

Пример А = {1,2,3,4,5} В = {2,4,3,1,5} А В, В А А = В.

Пример А = {х | х N, х < 100 и х 10} В = {10, 20, 30, 40, 50, 90, 80, 70, 60} А=В

Отношения между множествами Множества не существуют обособлено друг от друга. Они между собой могут находиться в самых различных отношениях. Некоторые из них имеют одинаковые элементы, другие являются частью друг друга и т.д.

Отношения между множествами Если множества имеют некоторые общие элементы, при этом у них есть и различные элементы, то такие множества называются пересекающимися

Пример А – множество натуральных чисел, кратных 2 В – множество натуральных чисел, кратных 3 Эти множества пересекающиеся, т.к. у них есть общие элементы (6, 12, 18 и т.д.), но при этом у них есть и различные элементы.

Отношения между множествами Если у множеств все элементы различные, нет ни одного общего, то такие множества называются непересекающимися

Пример А – множество четных натуральных чисел В – множество нечетных натуральных чисел Эти множества непересекающиеся, т.к. у них все элементы различные, нет ни одного общего элемента.

Отношения между множествами Если у множеств все элементы одинаковые, нет различных элементов, то такие множества называют совпадающими или равными.

Пример А – множество прямоугольников с равными сторонами В – множество ромбов с прямым углом Эти множества совпадающие, т.к. и в первом и во втором множестве идет речь о квадратах.

Отношения между множествами Последнее отношение между множествами – это когда одно множество является подмножеством другого, т.е. является его частью.

Пример А – множество равнобедренных треугольников В – множество равносторонних треугольников Множество В является подмножеством множества А, т.к. все равносторонние треугольники являются равнобедренными.

Диаграммы Эйлера-Венна Чтобы наглядно изображать множества и отношения между ними, рисуют геометрические фигуры, которые находятся в этих отношениях и являются символическим изображением множеств.

Диаграммы Эйлера-Венна Чаще всего этими фигурами являются круги, которые называют кругами Эйлера или диаграммами Эйлера-Венна. Они делают наглядными утверждения, касающиеся множеств.

Диаграммы Эйлера-Венна Эйлер / / - швейцарский математик, член Петербургской Академии наук.

Диаграммы Эйлера-Венна Джон Венн / / - английский математик.

Диаграммы Эйлера-Венна А.а.b.b Множество изображают в виде круга или произвольной фигуры. Элементы изображают в виде точек. Элемент а принадлежит множеству А, а элемент b – не принадлежит.

Диаграммы Эйлера-Венна А В Множества, имеющие одинаковые элементы, изображаются в виде пересекающихся кругов

Диаграммы Эйлера-Венна А В Множества, не имеющие одинаковые элементы, изображаются в виде непересекающихся кругов

Диаграммы Эйлера-Венна Если множество В является подмножеством множества А, то круг множества В изображается внутри круга множества А. В A В А

Диаграммы Эйлера-Венна А=В Если множества А и В равны, то они изображаются в виде совпадающих кругов А=В

Диаграммы Эйлера- Венна I D E Универсальное множество чаще всего изображается в виде прямоугольника

Литература Математика: Учебное пособие для студентов пед. институтов /Виленкин Н.Я., Пышкало А.К., Рождественская В.Б., Стойлова Л.П. – М.: Просвещение,1977 Основы начального курса математики: Учебное пособие для учащихся пед. училищ /Стойлова Л.П., Пышкало А.М. – М.: Просвещение,1988 Математика. ч.1.: Для студентов-заочников фак. подгот. учителей нач. классов пед. институтов /Л.П. Стойлова, Н.Я. Виленкин, Н.Н. Лаврова – М.: Просвещение,1990 Задачник–практикум по математике: Пособие для студентов пед. институтов / Лаврова Н.Н., Стойлова Л.П. – М.: Просвещение,1985 Справочник по элементарной математике / Выгодский М.Я. – М.: Наука,1979 Справочник по математике: Для средних учебных заведений / А.Г.Цыпкин – М.: Наука,1983 Завершить показ

Натуральные числа N Числа, которые мы используем при счёте, называют натуральными. Это числа: 1, 2, 3, 4, 5, …, n, …

Натуральные числа N Самое маленькое натуральное число 1, а самого большого натурального числа не существует.

Целые числа Z Множество целых чисел образовано из множества натуральных чисел, множества целых отрицательных чисел и числа 0 (ноль)

Целые числа Z Целые числа: …,-n,…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…,n,…

Целые числа Z На множестве целых чисел нет наименьшего и наибольшего элементов.

Рациональные числа Q Множество рациональных чисел – это множество бесконечных десятичных периодических дробей

Рациональные числа Q Рациональными числами являются целые числа, а также положительные и отрицательные дробные числа, а именно: обыкновенные дроби (1/2, - 8/7), конечные десятичные дроби (2,5; -0,46), бесконечные десятичные периодические дроби (-2,333…; 0,2424…)

Иррациональные числа I Множество иррациональных чисел – это множество бесконечных десятичных непериодических дробей

Иррациональные числа I Например, иррациональными являются числа: = 3,14159…; 2 = 1, …

Действительные числа R Множество действительных чисел образовано из множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел, которые между собой не имеют общих элементов.