Линейная алгебра для экономистов 2006 – 2007 учебный год Владимир Георгиевич Халин доцент, кандидат физ.-мат.н.

ПРОГРАММА КУРСА Множества. Алгебраические структуры Векторные пространства Матрицы Системы линейных уравнений Определители матриц Квадратичные формы Экономические приложения

Рекомендуемая литература Д.К.Фаддеев. Лекции по алгебре.Наука.М.1984 Н.Ш.Кремер. Высшая математика для экономистов. Москва А.С.Солодовников.. Математика в экономике. М.Финансы и статистика В.И.Малыхин. Математика в экономике.М.2002 З.И.Боревич. Определители и матрицы.М.2004 Учебные и контрольные задания по математике (высшая алгебра). Изд. ЭСФ СПбГУ. 2005

Источники в сети Интернет 1. – экономический ф-т СПбГУ МФПА – 5. МЭСИ –

Контроль знаний и навыков 1. Выполнение персональных контрольных заданий и самостоятельных работ 2. Представление до экзамена выполненных персональных контрольных работ 3. Экзамен все определения и формулировки демонстрация навыков решения примеров не используются пособия, учебники и т.п.

Критерии оценки знаний и навыков 1. Выполнение персональных контрольных заданий и самостоятельных работ – 20% 2. Экзамен (в т.ч. письменный) – 80% 3. Коллоквиум – 20% + Экзамен – 60% 4. Коллоквиумы – 10% +10% + Экзамен – 60% Дополнительно. + 20% решение задач пакетом «Математика 5.0»

БИЛЕТ Модель Леонтьева межотраслевого баланса 2. Системы линейных однородных уравнений 3. Практикум. найти обратную матрицу найти координаты вектора в данном базисе найти соотношения бюджетов стран при условии бездефицитности торговли

Полезная информация 1. Вычисления без проблем: Компьютерный пакет «MATHEMATICA 5.0» 3. Интернет-класс с электронным пособием «Линейная алгебра» на сайте 2. Н.А.Вавилов, В.Г.Халин «MATHEMATICA 5.* для нематематика.» Выпуски 1 и 2. СПб.: ОЦЭиМ, 2005

Владимир Георгиевич Халин зав.кафедрой информационных систем в экономике ЖЕЛАЮ УДАЧИ! Контакты кафедра 411, т (Ольга Михайловна)

Nobel Prize winners 1975 Леонид Витальевич Канторович

Nobel Prize winners 1973 Василий Васильевич Леонтьев

НАИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. «Под множеством мы понимаем любое соединение М определенных различных (различимых) объектов нашего умозрения или нашей мысли (которые будут называться элементами М) в единое целое»,- Георг Кантор. Множество – это то, что имеет элементы, или, если угодно, состоит из элементов, но при этом само мыслится как некое новое единство, некий новый объект более высокого уровня.

Способы задания множеств 1. Множество А определяется непосредственно перечислением всех своих элементов а,b, …c, т.е. записывается в виде: А = а, b, …c ; 2. Множество А определяется как совокупность элементов из множества Т, которые обладают свойством. В этом случае используется обозначение: А = х Т (х), где запись (х) означает, что элемент х обладает свойством.

2.Пересечение Х и Y (множество, состоящее из элементов принадлежащих множеству Х и множеству Y) C = Х Y = {x : x Х и x Y} 1.Объединение Х и Y (множество состоящее из элементов, принадлежащих множеству Х или Y),т.е. С = Х У= {x: x Х или x Y} 3.Разность Х и У (множество, состоящее из элементов принадлежащих Х и не принадлежащих У) C = Х \ У= {x : x Х и x Y} Операции над множествами 4.Прямое произведение Х и У (множество состоящее из упорядоченных пар двух элементов C = Х*У = {(х, у) : х Х, у У}

Алгебраические структуры Алгебраическая операция ( +, * ) Кольцо (ассоциативное, с единицей) Примеры: Z, Z [i], R [x] Поле Примеры: Q, R, C, Q (x)

- Матрица m x n МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Операции над матрицами 1)А+В = В+А 4) A(B+C) = AB + AC 2)(A+B)+C = A+(B+C)5) (A+B)C = AC + BC 3) λ(A+B) = λA+λB6)λ(AB)=(λA)B=A(λB) 7) А(ВС)=(АВ)С - ассоциативность

Единичная матрица Для квадратных матриц определена единичная матрица – Е квадратная матрица, все диагональные элементы которой единицы, а остальные – нули. Для любой матрицы А выполнено: А* Е = Е* А = А

Единичная матрица Пример:

Некоммутативность умножения Для матриц вообще говоря А*В В*А

Некоммутативность умножения Пример:

Обратная матрица Квадратная матрица А называется обратимой – если найдётся квадратная матрица В, что выполняются равенства: А* В = В * А = Е В этом случае матрица В называется обратной к матрице А и обозначается В = А

ТЕОРЕМА 1. Множество M n x n (R) - квадратных матриц размера nxn с вещественными коэффициентами образуют некоммутативное ассоциативное кольцо с единицей, в котором не всякий ненулевой элемент обратим.

Многочлен от матрицы Если А - квадратная матрица n-го порядка и - многочлен m – й степени, то выражение называется многочленом от матрицы А

Транспонирование матриц A - матрица размера m x n - матрица размера n x m и называется транспонированной для A

Некоторые свойства обратимых матриц Если квадратные матрицы А и В обратимы, то справедливы следующие соотношения:

Некоторые свойства операции транспонирования матриц

Определители, их свойства Определителем матрицы А= n-го порядка называется сумма всех произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки и снабженных знаком «+» или «-» по определённому знаку.

Определители, их свойства Определитель матрицы А= n-го порядка это: где перестановка на множестве {1,2,…,n}

Свойства определителей 1.Умножение некоторой строки (столбца) матрицы определителя на некий коэффициент равносильно умножению самого определителя на этот коэффициент. 2.Если все элементы некоторой строки (столбца) матрицы равны нулю, то и определитель равен нулю. 3.Определитель не меняется при транспонировании (свойство равноправности строк и столбцов матрицы).

Свойства определителей 4.При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. 5.Определитель с двумя одинаковыми строчками (столбцами) равен нулю. 6.Определитель с двумя пропорциональными строчками (столбцами) равен нулю.

Свойства определителей 7.Если в определителе некоторая строка есть сумма двух других строк, то определитель равен сумме двух определителей с этими строками, а все остальные строки этих определителей равны строкам исходного определителя. 8.Если к некоторой строке (столбцу) определителя прибавить другую строку (столбец), умноженную на произвольное число, то величина определителя не изменится. 9.Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали..

Свойства определителей Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются: 1)умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля, 2)прибавление к одной строке (столбцу) другой, умноженной на любое число, 3)перемена местами двух строк (столбцов).

Свойства определителей 10.Алгоритм вычисления определителя. Матрица определителя приводится элементарными преобразованиями над строками (или столбцами) к верхнетреугольному виду. Вычисляется определитель полученной матрицы с учетом сделанных преобразований.

Свойства определителей Алгебраическим дополнением элемента называется следующий определитель n-го порядка

Свойства определителей Минором соответствующим элементу определителя n-го порядка, называется определитель (n-1)-го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. 11.Справедливо следующее равенство

Свойства определителей 12.Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения равна этому определителю, т.е.

Свойства определителей 13.Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю, т.е. при

Свойства определителей 15.Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е. 14.Определитель клеточно-диагональной матрицы равен произведению определителей матриц, являющихся клетками исходной матрицы.

ТЕОРЕМА 2. Для того чтобы для матрицы А существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от нуля, т.е. А - невырожденная матрица. При этом:

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ Пусть дана интерполяционная задача с n узлами. Найти полином степени не выше чем (n-1):

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВАНДЕРМОНДА Матричный вид данных равенств:

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВАНДЕРМОНДА

Ранг матрицы, его свойства Рангом r матрицы А= называется целое число r, такое, что среди миноров r –го порядка матрицы А имеется хотя бы один, отличный от нуля, а все миноры (r+1) -го порядка равны нулю или миноров порядка (r+1 ) вообще нет.

Справедливы следующие свойства: если к матрице приписать строку или столбец из нулей, то ранг исходной матрицы не изменится. если в матрице все миноры k- го порядка равны нулю, то равны нулю и все миноры (k+1) -го порядка (если они существуют). при элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

Справедливы следующие свойства: Алгоритм вычисления ранга матрицы: приведение матрицы к трапециевидному виду

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Векторным или линейным пространством V над полем F=(R) называют множество объектов V, в котором определено действие «сложения» элементов и действие «умножения» на элементы поля F, причем выполняются аксиомы:

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Элементы векторного пространства V называются векторами или точками пространства V, а элементы поля F - скалярами. Наибольшее применение имеют векторные пространства над полем вещественных чисел R или над полем комплексных чисел C. В дальнейшем, если не оговорено специально, мы будем рассматривать только векторные пространства над полем вещественных чисел R.

ПРИМЕРЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 1.Пространство столбцов высоты n.

ПРИМЕРЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 2.Пространство матриц размера m x n.

ПРИМЕРЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 3.Пространство многочленов от одной переменной 4.Пространство V= C над полем R 5.Пространство V= R над полем F=Q

ПРИМЕРЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 6.Пространство направленных отрезков («векторов») на декартовой плоскости относительно сложения «векторов» по правилу «параллелограмма» (аналогично, в 3-х мерном пространстве):

ВЕКТОРНЫЕ ПОДРОСТРАНСТВА Векторным подпространством пространства V над полем F=(R) называют подмножество U из V, замкнутое относительно действий «сложения» и «умножения» на скаляр, определённых в V. Способы задания подпространств. Примеры. Линейной комбинацией векторов называют вектор при некоторых

ВЕКТОРНЫЕ ПОДРОСТРАНСТВА Подпространством порождённым векторами называют подмножество U всех линейных комбинаций этих векторов, т.е.

ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ Совокупность векторов называется линейно зависимой (ЛЗС), если найдутся не равные нулю одновременно числа, что выполняется равенство: В противном случае, семейство векторов называется линейно независимым (ЛНС).

БАЗИС ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА Совокупность векторов называется базисом векторного пространства V, если выполнено одно из эквивалентных утверждений: 1. M – линейно независимая система образующих V. 2. M – максимальная (по числу векторов) линейно независимая система векторов в V. 3. M – минимальная (по числу векторов) система образующих пространства V.

РАЗМЕРНОСТЬ ВЕКТРНОГО ПРОСТРАНСТВА Все базисы пространства V над полем R, имеют одинаковое число векторов, которое называется размерностью векторного пространства V и обозначается n=dim (V)=Card {M}

ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАЗМЕРНОСТИ

ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ БАЗИСА

В пространстве направленных отрезков («векторов») на декартовой плоскости базис образуют любые два неколлинеарные «вектора»

ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ БАЗИСА Множество верхнетреугольных матриц в пространстве вещественных квадратных матриц порядка n образует подпространство размерности n(n+1)/2

ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ БАЗИСА Множество симметричных матриц в пространстве вещественных квадратных матриц порядка n образует подпространство размерности n(n+1)/2

ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ БАЗИСА Для нахождения базиса в подпространстве, порожденном некоторой совокупностью векторов, достаточно выбрать из системы образующих векторов линейно независимую систему. Например,

АЛГОРИФМ НАХОЖДЕНИЯ БАЗИСА В 1.Столбцы, порождающие подпространство, записать в матрицу. 2.Элементарными преобразованиями над столбцами привести эту матрицу к «ступенчатому» виду. 3.Ненулевые столбцы данной «ступенчатой» матрицы и будут составлять базис исходного подпространства, а ранг матрицы будет равен его размерности.

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В БАЗИСЕ Пусть дан базис векторного пространства V и вектор X из V. Координатами вектора Х в этом базисе называют коэффициенты в данном разложении:

ПРИМЕР НАХОЖДЕНИЯ КООРДИНАТ ВЕКТОРА В КОНКРЕТНОМ БАЗИСЕ

СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Под системой линейных уравнений (СЛУ) мы будем понимать следующую запись: где - «неизвестные» системы, - коэффициенты системы, m – число уравнений, n - число неизвестных

МАТРИЦА СЛУ Матрицей коэффициентов системы, столбцом свободных членов системы, столбцом неизвестных(переменных) называются:

МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СЛУ СЛУ может быть записана в матричном виде: AX=B

РЕШЕНИЕ СЛУ Решением (одним) СЛУ называется последовательность чисел удовлетворяющая всем уравнениям системы, т.е. обращающая их в верные числовые равенства:

МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ РЕШЕНИЯ Решением СЛУ в матричном виде является:

МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ РЕШЕНИЯ Решением СЛУ в матричном виде является (2):

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СЛУ называется СОВМЕСТНОЙ, если у неё имеется хотя бы одно решение, в противном случае СЛУ называется НЕСОВМЕСТНОЙ. Совместная СЛУ называется ОПРЕДЕЛЁННОЙ, если она имеет одно единственное решение и НЕОПРЕДЕЛЁННОЙ в противном случае. Две системы называются РАВНОСИЛЬНЫМИ, если их множество решений совпадают.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Вся информация о СЛУ содержится в РАСШИРЕННОЙ МАТРИЦЕ СИСТЕМЫ:

ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ Система линейных уравнений совместна (т.е. имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы системы, т.е.

ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ На «языке» векторных пространств: СЛУ совместна тогда и только тогда, когда подпространство порождённое столбцами матрицы коэффициентов совпадает с подпространством, порождённым столбцами расширенной матрицы системы, т.е.

ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ

ТЕОРЕМА О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ Пусть дана совместная СЛУ от n неизвестных с матрицей коэффициентов ранга r. Тогда: 1. если r = n, то система имеет единственное решение; 2. если r < n, то система имеет бесконечно много решений, причем (n – r) неизвестным можно присвоить произвольные значения, а остальные r неизвестных выражаются через них единственным образом.

СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ 1.Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрица коэффициентов системы невырожденная. 2. Столбцы квадратной матрицы размера n x n образуют базис в пространстве тогда и только тогда, когда данная матрица будет невырожденной.

МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СЛУ Метод Гаусса заключается в приведении расширенной матрицы данной СЛУ элементарными преобразованиями над строками, к некоторому специальному виду (почти трапециевидному)- прямой ход схемы Гаусса, и нахождению затем множества решения системы с полученной расширенной матрицей (эта система равносильна исходной)-обратный ход схемы Гаусса.

СХЕМА ГАУССА РЕШЕНИЯ СЛУ

ТЕОРЕМА ОБ ОДНОРОДНОЙ СЛУ Пусть дана однородная СЛУ от n неизвестных с матрицей коэффициентов ранга r. Тогда: 1.Все решения линейной однородной системы являются линейными комбинациями линейно независимых (n - r) решений. 2. Множество всех решений однородной СЛУ образует подпространство в пространстве размерности (n – r).

НЕОДНОРОДНЫЕ СЛУ ТЕОРЕМА Общее решение неоднородной системы линейных уравнений равно сумме частного решения и общего решения однородной системы линейных уравнений с той же матрицей коэффициентов.

СТРОЕНИЕ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ НЕОДНОРОДНОЙ СЛУ

ЛИНЕЙНЫЕ МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ПРИМЕР НАХОЖДЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши. Ортогональные вектора.

ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Теорема (Об ортогонализации): В любом подпространстве пространства можно выбрать ортонормированный базис. Ортонормальным базисом называется базис, состоящий из попарно ортогональных векторов, каждый из которых имеет длину равную единице.

ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Ортогональным дополнением подпространства U из называется подпространство, состоящее из векторов, ортогональных любому вектору из U.

ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Связь множества решений ОСЛУ и ортогонального дополнения в пространстве

ПРИМЕР. Найти расстояние и угол между вектором X и подпространством

Находим проекцию и ортогональную составляющую вектора X и косинус угла

МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА Рассматривается n отраслей, каждая из которых производит свою продукцию. Пусть - общий (валовый) объем продукции i-й отрасли; объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства; объем конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления. Уравнение межотраслевого баланса:

МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА Рассматриваем стоимостной межотраслевой баланс. Определим матрицу коэффициентов прямых затрат:

МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА Эквивалентные формулировки уравнения межотраслевого баланса.

МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА ЗАДАЧА 2. Дана матрица А - прямых затрат и вектор X – валового выпуска. Найти вектор конечного продукта Y? РЕШЕНИЕ: Y = (E-A)X Перечислим основные задачи, возникающие при изучении межотраслевого баланса. ЗАДАЧА 1. Найти матрицу А - прямых затрат.

МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА ЗАДАЧА 3. (Основная). Дана матрица А - прямых затрат и вектор Y – конечного продукта. Найти вектор валового выпуска X? РЕШЕНИЕ: 1-й способ. Решение СЛУ (Е-А)X=Y 2-й способ.

ПРОДУКТИВНОСТЬ МАТРИЦЫ ПРЯМЫХ ЗАТРАТ МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА Матрица прямых затрат модели Леонтьева называется продуктивной, если для любого неотрицательного вектора конечного выпуска найдётся неотрицательный вектор валового выпуска с данной матрицей прямых затрат. ТЕОРЕМА. Модель Леонтьева с неотрицательной матрицей А – продуктивна тогда и только тогда, когда существует неотрицательная матрица, обратная к матрице (Е – А).

ПРИМЕРЫ НА МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА Пример 1. Дано уравнение межотраслевого баланса. Найти: 1. Матрицу А - прямых затрат. 2. Вектор валового выпуска, если конечный продукт 1-й отрасли должен увеличиться вдвое, а 2-й – на 20%? РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕРЫ НА МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕРЫ НА МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА Пример 2. Дана матрица А - прямых затрат и вектор конечный продукта Y. Найти вектор валового выпуска X. РЕШЕНИЕ:

СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ При этом столбец называется собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу Пусть дана квадратная матрица А размера n на n. Собственным числом матрицы А называется такое число, для которого выполняется следующее условие:

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН МАТРИЦЫ Пусть дана квадратная матрица А размера n на n. Характеристическим многочленом матрицы А называется следующий многочлен:

УПРАЖНЕНИЯ НА СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА Пусть А, В,С квадратные матрицы размера n на n. Доказать следующие свойства:

ТЕОРЕМА Пусть дана квадратная матрица А размера n на n и её характеристический многочлен Тогда

ПРИМЕР Дана матрица А. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы. РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР

МОДЕЛЬ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ Какими должны быть соотношения между бюджетами торгующих между собой стран, чтобы торговля была взаимовыгодной?

УСЛОВИЕ БЕЗДЕФИЦИТНОСТИ ТОРГОВЛИ ТЕОРЕМА. Пусть А – структурная матрица торговли, а X – вектор бюджетов торгующих стран. Тогда условием бездефицитной торговли является следующее равенство: АX=X т.е. вектор X должен быть собственным вектором матрицы А для собственного числа 1.

ПРИМЕР

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ Квадратичной формой называется однородный многочлен от нескольких переменных (букв) над полем вещественных чисел.

МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ Матричной записью квадратичной формы называется следующее выражение:

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ Квадратичной формой называется однородный многочлен от нескольких переменных (букв) над полем вещественных чисел.