Магия математики в искусстве Проект по теме «Математика и искусство» 2008 г.
В наслаждении красотою есть элемент наслаждения мышлением. Аристотель
Математика – это не только стройная система законов, теорем, задач, но и уникальное средство познания красоты. А красота многогранна и многолика. Она выражает высшую целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических закономерностей, которые действуют одинаково эффективно в кристаллах и в живых организмах, в атомах и во Вселенной, в произведениях искусства и научных открытиях.
Красота помогает с радостью воспринимать окружающий мир, математика даёт возможность осознать явления и упрочить знания о гармонии всего мира. Изучая математику, мы открываем всё новые и новые слагаемые красоты, приближаясь к пониманию, а затем и к созданию красоты и гармонии. Когда раскрывается эффективность применения математических методов в различных областях науки, культуры, искусства, не ущемляется роль математики, не подменяется другими предметами, а, наоборот, повышается интерес к предмету, выявляется высокое значение математики, процесс познания её делается увлекательным.
Ничто не нравится, кроме красоты, в красоте – ничто, кроме форм, в формах – ничто, кроме пропорций, в пропорциях – ничто, кроме числа. А. Августин
Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства, и, фактически, многие художники редко или вообще никогда не используют даже использование перспективы. Однако, есть много художников, у которых математика находится в центре внимания.
Маги в мире искусства Морис Корнелис Эшер Морис Корнелис Эшер Леонардо да Винчи Леонардо да Винчи Иоганн Кеплер Иоганн Кеплер Коломан Мозер Коломан Мозер Пит Мондриан Пит Мондриан Сальвадор Дали Сальвадор Дали Макс Биль Макс Биль Виктор Васарели Виктор Васарели Бенуа Мандельброт Бенуа Мандельброт Висенте Мевилла Сегуи Висенте Мевилла Сегуи Оскар Реутерсвард Оскар Реутерсвард Иштван Орос Иштван Орос
1. 1.Морис Корнелис Эшер ( ) Голландский художник М.К. Эшер в некотором роде является отцом математического искусства. В период с 1950 по 1960 годы он создал свои наиболее известные картины в том числе и с невозможными конструкциями.
Творчество Эшера оказало огромное влияние на несчетное количество художников в разных странах мира. Работы Эшера являются наиболее излюбленными среди математиков, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования. В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии.
Регулярное разбиение плоскости, называемое "мозаикой" - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Эскиз из Альгамбры Мозаики
Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. Он провел много времени в Альгамбре, зарисовывая арабские мозаики, и впоследствии сказал, что это было для него "богатейшим источником вдохновения". Позже в 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал: В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически... Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней.
Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.
Регулярное разбиение плоскости птицами Рептилии Цикл Эволюция 1
Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. Во его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Многогранники
Платон ( до н.э.) описал пять правильных многогранников, которые также иногда называются телами Платона. Однако открыты они были раньше Платона, и детали открытия правильных многогранников остаются загадкой. Платон соотносил эти тела с четырьмя элементами: огонь - тетраэдр, воздух - октаэдр, вода - икосаэдр, земля - куб. Далее, он писал, что существует пятая комбинация, которой Бог ограничил Мир, это додекаэдр.
Архимед (290/ /211 до н.э) описал 13 полуправильных многогранников. Так же как правильные многогранники называют Платоновыми, полуправильные многогранники называют архимедовыми. Записи Архимеда об этих многогранниках были утеряны вместе с фигурами многогранников. Они были открыты вновь лишь в эпоху Ренессанса, и описание всех 13 многогранников было впервые опубликовано в книге Иоганна Кеплера "Harmonices Mundi" в 1619 году, почти через две тысячи лет после смерти Архимеда.
На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.
Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором.
Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.
Кроме этого существует бесконечное множество призм и антипризм с гранями в виде правильных многоугольников. Эшер использовал многогранники во многих своих работах, включая "Рептилии" (1949), "Двойной планетоид" (1949) и "Гравитация" (1952).
Тесселляции Тесселляции, известные также как покрытие плоскости плитками, являются коллекциями фигур, которые покрывают всю математическую плоскость, совмещаясь друг с другом без наложений и пробелов. Правильные тесселляции состоят из фигур в виде правильных многоугольников, при совмещении которых все углы имеют одинаковую форму. Существует всего три многоугольника, пригодные для использования в правильных тесселляциях. Это - правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник.
Тесселляции, в которых отдельные плитки являются узнаваемыми фигурами, являются одной из основных тем творчества Эшера. Он использовал их в огромном количестве своих картин, среди которых "День и ночь" (1938), серия картин "Предел круга" I-IV, и знаменитые "Метаморфозы" I-III ( ).
Тесселляции в своих работах использовали и другие художники.
На этой картине изображены семь птиц, две из которых изображены в негативе на фоне ландшафта города Ахо в Аризоне. Последовательно уменьшающиеся фигуры птиц совмещаются друг с другом в виде фрактальной тесселляции. Хвостовые перья каждой птицы разделяют конструкцию напополам, отсекая примерно треть расстояния между кончиками крыльев. Каждая меньшая птица в свою очередь делит свою область аналогичным образом. Если этот процесс продолжать до бесконечности, получится набор точек, известный как множество Кантора или Канторова пыль. Hollister David "Семь птиц"
Это компьютерная работа, распечатанная на фотобумаге. Сквозь иллюминатор видны волны, но при ближайшем рассмотрении видно, что волны являются на самом деле фрактальной тесселляцией, состоящей из рыб. Robert Fathauer "Фрактальные рыбы - сгруппированные группы"
Невозможные фигуры Невозможные фигуры - эти фигура, изображенная в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве. Эшер изобразил невозможные фигуры на своих известных картинах «Бельведер» (1958), «Восхождение и спуск» (1960) и «Водопад» (1961) и др.
Бельведер (1958) Слева на переднем плане лежит лист бумаги с чертежом куба. Места пересечения граней отмечены двумя кружками. Какая грань впереди, какая позади? В трехмерном мире невозможно увидеть переднюю и заднюю стороны одновременно, поэтому их невозможно изобразить. Однако есть возможность нарисовать предмет, передающий иную реальность, если смотреть на него сверху и снизу. Сидящий на скамье юноша держит в руках именно такое абсурдное подобие куба. Он задумчиво разглядывает этот непостижимый предмет, оставаясь безразличным к тому, что бельведер за его спиной выстроен в том же невероятном, абсурдном стиле. На полу нижней площадки, то есть внутри, стоит лестница, на которую взбираются двое. Однако, достигнув верхней площадки, они снова окажутся снаружи, под открытыми небом, и снова им придется входить внутрь бельведера.
Восхождение и спуск (1960) Бесконечные лестницы, представляющие главный мотив этой картины, навеяны статьей Л.С. и Р. Пенроузов, напечатанной в "Британском журнале психологии" в феврале 1958 года. Прямоугольник внутреннего двора замкнут стенами здания, у которого вместо крыши – бесконечная лестница. Скорее всего, в этом дому живут монахи, приверженцы некой религиозной секты. Возможно, ежедневный ритуал предписывает им подниматься по ступеням несколько часов подряд. Кажется, если они устанут, им разрешается повернуть в обратную сторону и спускаться, вместо того чтобы подниматься. Однако оба направления, хотя и выразительны, но одинаково бесполезны. Двое непокорных индивидов в этот момент отказываются участвовать в ритуале. Им это совершенно не нужно, но нет сомнения, что раньше или позже их заставят раскаяться в своем нонконформизме.
Водопад (1961) В статье "Британского журнала психологии" Р. Пенроуз опубликовал чертеж треугольника в перспективе, копия которого воспроизводится здесь. Конструкция составлена из перекладин, положенных одна на другую под прямым углом. Следя глазами за ее элементами поочередно, мы не заметим несоответствия между ними. Однако перед нами – совершенно невозможное целое, поскольку в интерпретации расстояния между объектами и наблюдателем возникают неожиданные изменения. Эта немыслимая конструкция трижды "вмонтирована" в картину. Падающая вода приводит в движение мельничное колесо и течет по наклонному зигзагообразному желобу между двумя башнями, возвращаясь к точке, где водопад начинается снова. Мельнику достаточно время от времени плеснуть туда ведерко воды, чтобы компенсировать испарение. Кажется, что обе башни одинаковой высоты; тем не менее, та, что справа, оказывается этажом ниже, чем башня слева.
Другой мир II (1947) Интерьер кубического здания. Сквозь проемы сдвоенных арок в пяти видимых нам стенах видны три разных пейзажа. Через верхние арки вы можете смотреть вниз, на землю – почти вертикально; в двух средних линия горизонта находится на уровне глаз; сквозь нижнюю пару арок можно любоваться звездами. Каждая плоскость этого здания, объединяющая надир, горизон и зенит, исполняет тройную функцию. Например, задний план (в центре) служит стеной относительно горизонта, полом – относительно вида, открывающегося из верхних арок, и потолком – мы видим звездное небо.
Куб Эшера
Невозможные фигуры других авторов
Одним из примеров невозможной фигуры служит картина современного венгерского художника Иштвана Ороса.
Репродукция гравюры по металлу. На картине изображены мосты, которые не могут существовать в трехмерном пространстве. Например, есть отражения в воде, которые не могут быть исходными мостами. Иштван Оросо "Перекрестки" (1999).
Karina Taurus Щенок сидит на невозможной конструкции, основанной на невозможном треугольнике.
Носорог идет сквозь невозможную конструкцию по странной дороге. Бруски дороги на переднем плане превращаются в провалы на заднем плане, а промежутки на переднем плане образую дорогу, по которой идет носорог.
Pete Kelly
Jason Cannon
Сандро дель Пре
Любовь Николаева
Жос де Мей
Chris Miles
Крис Майлз
Фреска из церкви Марии города Бреда (Голландия) "Возвещение" Данная фреска находится в церкви The Big or Our Lady's Church в городе Бреда (Голландия). Фреска была вскрыта под более поздними слоями в 1902 году и датируется концом XV в.
Невозможный треугольник в церкви Святой Троицы в Баррингтоне (Англия, графство Девон) Изображение невозможного треугольника расположен на экране перед алтарем.
Искаженные и необычные перспективы Необычные системы перспективы, содержащие две или три исчезающие точки, также являются излюбленной темой многих художников. К ним также относится родственная область - анаморфное искусство. Эшер использовал искаженную перспективу в нескольких своих работах "Наверху и внизу" (1947), «Дом лестниц» (1951) и «Картинная галерея» (1956) и др.
Наверху и внизу На картине "Cверху и cнизу" художник разместил сразу пять точек исчезновения - по углам картины и в центре. В результате, если мы смотрим на нижнюю часть картины, то создается впечатление, что мы смотрим вверх. Если же обратить взгляд на верхнюю половину картину, то кажется, что мы смотрим вниз. Чтобы подчеркнуть этот эффект, Эшер изобразил два вида одной и той же композиции.
Дом лестниц (1951) Верхняя половина литографии представляет зеркальное отражение нижней. Верхний пролет лестницы, по которому существо ползет вниз, слева направо, дважды представлен в зеркальном повороте – один раз в середине и один раз – в нижней части листа. На лестнице, в правом верхнем углу, мы не отличим поднимающихся от спускающихся: оба ряда движутся бок о бок, только один ряд ползет вверх, а другой – вниз.
Картинная галерея (1956) Другая интересная литография назавается "Картинная галерея", в которой изменены одновременно и топология и логика пространства. Мы видим мальчика, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город с магазином на берегу, а в магазине - картинная галерея, а в галерее стоит мальчик, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город... стоп! Что-то не так...
Необычные системы перспективы, содержащие две или три исчезающие точки, также являются излюбленной темой многих художников.
Это разукрашенная сфера, в процессе создания которой использовалась шеститочечная перспектива. На ней изображения геометрическая структура в виде сетки, сквозь которую виден ландшафт. Три ветки проникают внутрь клетки, а также по ней ползают рептилии. В то время как одни изучают мир, другие обнаруживают себя, находящимися в клетке. Дик Термес "Клетка для человека" (1978)
Слово анаморфный (anamorthic) сформировано из двух греческих слов "ana" (снова) и morthe (форма). К анаморфным относятся изображения настолько сильно искаженные, что разобрать их без специального зеркала бывает невозможно. Такое зеркало иногда называют анаморфоскопом. Если смотреть в анаморфоскоп, то изображение "формируется снова" в узнаваемую картину.
Европейские художники раннего Ренессанса были очарованы линейными анаморфными картинами, когда вытянутая картина становилась снова нормальном при обзоре под углом. Известный пример - картина Ганса Гольбейна "Послы" (1533), в которой изображен вытянутый череп.
Ганс Гольбейн Младший «Послы» (1533)
Череп перекошен с помощью приема, называемого аноморфоз – по- настоящему его можно было разглядеть только с двух ракурсов. Для этого нужно закрыть один глаз и посмотреть на него в направлении, указанном одной из стрелок. Такое искажение используется, чтобы захватить наше внимание. И конечно оно демонстрирует мастерство художника.
Попробуйте посмотреть на эту картину в направлении, указанном стрелками.
Анаморфные картины, для просмотра которых необходимы цилиндрические зеркала, были популярны в Европе и на Востоке в XVII-XVIII веках. Часто такие изображения несли сообщения политического протеста или были эротического содержания.
Эшер не использовал в своей работе классические анаморфные зеркала, однако, в некоторых своих картинах он использовал сферические зеркала. Самая известная его работа в этом стиле "Рука с отражающей сферой" (1935). Пример ниже показывает классическое анаморфное изображение работы Иштвана Ороса.
Картина "Колодец" полученная печатью с гравюры по металлу. Работа была создана к столетию со дня рождения М.К. Эшера. Эшер писал об экскурсиях в математическое искусство, как о прогулке по прекрасному саду, где ничто не повторяется. Ворота в левой части картины отделяют эшеровский математический сад, находящийся в мозге, от физического мира. В разбитом зеркале в правой части картины присутствует вид маленького городка Атрани на побережье Амалфи в Италии. Эшер любил это место и прожил там некоторое время. Он изобразил этот город на второй и третьей картинах из серии "Метаморфозы". Если поместить цилиндрическое зеркало на место колодца, как это показано справа, то в нем, как по волшебству, появится лицо Эшера. Иштван Оросо "Колодец" (1998)
2. Леонардо да Винчи ( ) Леонардо да Винчи известен своими достижениями в качестве изобретателя и художника. В его записных книгах содержатся первые из известных примеров анаморфного искусства, использующего искаженные сетки перспективы. Его наклонные анаморфные изображения представляют объекты, которые должны рассматриваться по углом, чтобы они выглядели неискаженными.
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
Золотое сечение Леонардо да Винчи – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды. Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них. Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де ле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.
Леонардо да Винчи "Джоконда" Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на"золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).
Золотое сечение в своих работах использовали многие художники
Жорж Сёра «Купание в Аньере» (1884) Композиция картины разработана весьма тщательно. Художник выполнил множество набросков – как на месте, так и в студии – и построил изображение в соответствии с геометрическим правилом «золотого сечения». Это правило определяет пропорции фигур и предметов в картине и призвано служить созданию гормоничной и спокойной композиции.
На этой схеме показано, как картина строится в соответствии с правилом золотого сечения. Это значит, что соотношение между А и В равно соотношению между В и С, а D также относится к Е, как E к F.
Золотая спираль в картине Рафаэля"Избиение младенцев" В отличии от золотого сечения ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре - спирали. Многофигурная композиция, выполненная в годах Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Ватикане, как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довел свой замысел до завершения, однако, его эскиз был гравирован неизвестным итальянским графиком Маркантинио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру"Избиение младенцев".
На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается...золотая спираль! Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.
Мы не знаем, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции"Избиение младенцев" или только"чувствовал" ее. Однако с уверенностью можно сказать, что гравер Раймонди эту спираль увидел. Об этом свидетельствуют добавленные им новые элементы композиции, подчеркивающие разворот спирали в тех местах, где она у нас обозначена лишь пунктиром. Эти элементы можно увидеть на окончательной гравюре Раймонди: арка моста, идущая от головы женщины, - в левой части композиции и лежащее тело ребенка - в ее центре. Первоначальную композицию Рафаэль выполнил в рассвете своих творческих сил, когда он создавал свои наиболее совершенные творения. Глава школы романтизма французский художник Эжен Делакруа ( ) писал о нем:"В сочетании всех чудес грации и простоты, познаний и инстинкта в композиции Рафаэль достиг такого совершенства, в котором с ним еще никто не сравнился. В самых простых, как и в самых величественных, композициях повсюду его ум вносит вместе с жизнью и движением совершенных порядок в чарующую гармонию". В композиции"Избиение младенцев" очень ярко проявляются эти черты великого мастера. В ней прекрасно сочетаются динамизм и гармония. Этому сочетанию способствует выбор золотой спирали за композиционную основу рисунка Рафаэля: динамизм ему придает вихревой характер спирали, а гармоничность - выбор золотого сечения как пропорции, определяющей развертывание спирали.
Золотое сечение в картине И. И. Шишкина"Сосновая роща" На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.
Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.
3. Иоганн Кеплер ( ) Иоганн Кеплер более известен своими работами в астрономии, но также имел большой интерес к геометрическим тесселяциям и многогранникам. В своей книге "Harmonices Mundi" (1619) он опубликовал примеры заполнения плоскости плитками в виде правильных и звездчатых многоугольников в дополнение к многогранникам, о которых было сказано выше.
4. Коломан Мозер ( ) Коломан Мозер - художник-график, преподававший в Вене и работавший в стиле модернизма. Он исполнил пару тесселляций в виде рыб в период гг., выглядящие вполне в стиле Эшера. Однако, несомненно, Эшер не мог знать о работах Мозера вплоть до 1964 года.
5. Пит Мондриан ( ) Пит Мондpиан по пpаву считается одним из кpупнейших живописцев ХХ века. Он способен удивлять и шиpокую публику, и художников, и ученых – истоpиков искусства.
Мондpиан – создатель так называемого геометрического абстракционизма. В течение тридцати последних (и самых плодотворных) лет своей жизни он священнодействовал над холстами, pазгpафлял их на прямоугольники и квадраты и закрашивал получившиеся геометрические поля то интенсивными яркими красками, то (позднее) облегченными и прозрачными оттенками белого, серого, бежевого или голубоватого. С годами строгость и простота его геометрических решеток возрастала, а изысканность и благородство цветовых сочетаний медленно, но неукоснительно совершенствовались.
6. Сальвадор Дали ( ) Сальвадор Дали - яркий и парадоксальный испанский художник использовал математические идеи в некоторых своих картинах. На картине "Распятие" (1954) изображен Иисус распятый на развертке тессеракта (гиперкубе).
Гиперкуб В геометрии гиперкуб - это n- мерная аналогия квадрата (n = 2) и куба (n = 3). Это замкнутая выпуклая фигура, состоящая из групп параллельных линий, расположенных на противоположных краях фигуры, и соединенных друг с другом под прямым углом. Эта фигура также известная под названием тессеракт. Тессеракт относится к кубу, как куб относится к квадрату. Более формально, тессеракт может быть описан как правильный выпуклый четырехмерный политоп (многогранник), чья граница состоит из восьми кубических ячеек. Проекция куба на плоскость
Тессеракт может быть развернут в восемь кубов, подобно тому как куб может быть развернут в шесть квадратов. Многогранник- развертка гиперкуба называется сетью. Существует 261 различных вариантов сетей. Справа показан один из вариантов Развертка тессеракта
7. Макс Биль ( ) Макс Биль - художник-график и скульптор, обучавшийся в Баухаузе, создавал скульптуры, основанные на ленте Мебиуса, многие из которых выставлены в общественных местах.
Лента Мебиуса Лента Мебиуса - это трехмерный объект, имеющий только одну сторону. Такая лента может быть легко получена из полоски бумаги, перекрутив один концов полоски, а затем склеив оба конца друг с другом. Она была открыта независимо одновременно двумя математиками из Германии Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году.
Лента Мебиуса может быть представленная параметрической системой уравнений: Параметрическое изображение ленты Мебиуса гдеи. В Евклидовом пространстве, фактически, существует два типа ленты Мебиуса, развернутой вполоборота: одна - развернутая по часовой стрелке, другая - против часовой стрелки.
Иным способом ленту можно представить выражением в полярных координатах: Для получения ленты Мебиуса необходимо совместить два конца полоски так, чтобы направления красных стрелок совпали. Топологически, лента Мебиуса может быть определена как квадрат [0,1] x [0,1], верх которого соединен с низом в соотношении (x,0) ~ (1-x,1) for 0 x 1, как показано на рисунке справа.
Лента Мебиуса вдохновила многих художников на создание известных скульптур и картин. Голландский художник М.К. Эшер создал несколько литографий с использованием ленты. Один из известнейших примеров - литография "Лента Мебиуса II", в которой красные муравьи бесконечно ползут по ленте. Эшер изобразил также ленту Мебиуса на работах "Всадники" (1946) и "Узлы" (1965).
Картина Пола Билацика называется "Кельтская лента Мебиуса. Как говорит автор, эта картина - объединение различных аспектов его жизни.
Также лента Мебиуса часто используется в изображениях различных логотипах и торговых марках. Самых яркий пример - международный символ повторного использования. Интернациональный символ повторного использования Логотип The Power Architecture
8. Виктор Васарели ( ) Виктор Васарели - художник, родившийся в Венгрии, известен как пионер и практик направления оптического искусства Оп-арт. Он использовал окрашенные простые геометрические формы, часто объединенные в массивы, для создания эффекта движения, выпуклости или вогнутости на плоском рисунке.
9. Бенуа Мандельброт ( ) Бенуа Мандельброт - математик, в значительной степени ответственный за формализацию и популяризация концепции фракталов. Он изобрел термин "фрактал", полученный из латинского слова "fractus", означающий "разбитый на куски", "сломанный". О его понимании эстетического содержания фракталов говорит следующая цитата: "Может ли чистая геометрия 'человеку с улицы' показаться прекрасной? Точнее, может ли фигура, описываемая простым уравнением или правилом построения, быть воспринята человеком, не связанным с геометрией, как фигура имеющая эстетическое значение, а именно, быть декоративной, а возможно и видом искусства? Если эта геометрическая фигура - фрактал, то ответ - да."
Фракталы Фрактал - это объект, повторяющий сам себя в различных масштабах, которые связаны математическим способом. Фракталы формируются итерационно, многократно повторяя вычисления так, что получается объект высокой сложности с множеством мелких деталей.
В настоящее время фракталы изучаются не только как математическое явление, но и с художественной точки зрения - они очень красивы. С помощью фракталов рисуют картины, создают узоры и даже синтезируют искусственные природные ландшафты виртуальной реальности.
Kerry Mitchell "Будда" - компьютерная картина основанная на множестве Мандельброта, исследованного Бенуа Мандельбротом
Robert Fathauer "Композиция кругов" (2001) - не является вычисляемым фракталом, однако может быть получен графически, упаковывая меньшие круги в больших.
10. Висенте Мевилла Сегуи Висенте Мевилла Сегуи родился в городе Махон в Испании 26 апреля 1949 года. Имеет степень бакалавра в области математики, полученную в Университете г. Сарагоса (Испания), и докторскую степень в области преподавания художественных искусств, полученную в Автономном Университете Барселоны (Испания).
Висенте является автором семи книг об истории математики и одной книги о дискретной математике. Им также написано большое количество статей о преподавании и изучении математики. Свои сюрреалистические работы он создает, используя специальные войлочные кисти, при помощи которых получается уникальный в своем роде точечный рисунок. Тематика его работ в основном сконцентрирована в области невозможных фигур.
11. Оскар Реутерсвард Оскар Реутерсвард родился в 1915 году в Стокгольме (Швеция). Он обучался рисованию под русководством русского иммигранта профессора Академии Искусств в Санкт-Петербурге Михаила Каца. Он создал свою первую невозможную фигуру – невозможный треугольник, составленный из кубов - случайно в 1938 году. За годы творчества он создал более 2500 различных невозможных фигур. Все они представлены в параллельной (японской) перспективе и составлены из блоков.
12. Иштван Орос Иштван Орос родился в Венгрии в 1951 году. Он обучался графическому дизайну в Университете Художественного Искусства и Дизайна в Будапеште. Иштван любит использовать в своих работах визуальные парадоксы и иллюзии, следуя, однако, традиционным техникам рисования таким как ксилография и гравюра. Также он пытается возродить технику анаморфного (искаженного) изображения.
Математик так же, как художник или поэт, создаёт узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей… Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идея так же, как цвета или слова, должны гармонически соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики. Великий математик Г. Харди
Ничто так прочно не отрешает от мира, как искусство, и ничто так прочно с ним не связывает, как искусство. И. В. Гёте
Литература Двадцать уроков гармонии. Гуманитарно- математический курс. А.И.Азевич. Москва Школа- Пресс, Математика и искусство А. В. Волошинов, Москва, Просвещение, Математическое путешествие в мир гармонии (устный журнал) Е.С.Смирнова, Н.А. Леонидова (Москва). © Школа-Пресс. Ж. Математика в школе 3, Гипотеза об истоках золотого сечения Н.Н.Нафиков. © Школа-Пресс. Ж. Математика в школе 3, Дикинс Р., Гриффит М. Что такое искусство/Пер. с англ. Н.А. Сашиной.-М.: ООО «Издательство «РОСМЭН- ПРЕСС», 2004