Математическое моделирование Математическая модель – это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики.

a b S = a b φ d1d1 d2d2 S = d 1 d 2 sin φ Пример: определение площади поверхности письменного стола

Классификация моделей 1. По характеру решаемых проблем: функциональные – все величины выражаются количественно, математическая модель представляет собой систему уравнений разного типа; Пример. Закон Ома: U = R I. Простейшая математическая модель процесса протекания зарядов через проводник. структурные – модель характеризует структуру сложного объекта, для построения моделей используют теорию графов. Пример. Граф авиатрасс между городами.

2. По принципам построения: аналитические - процессы функционирования реальных объектов записываются в виде явных функциональных зависимостей. Типы моделей: – уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифференциальные, интегральные) (например, рост колонии микроорганизмов), – аппроксимационные задачи (интерполяция, экстраполяция, численное интегрирование и дифференцирование) (например, прорисовка движения в сетевых компьютерных играх), – задачи оптимизации (например, подбор теплового режима в зернохранилище), – стохастические проблемы (например, задачи теоретической популяционной генетики).

имитационные - функционирование объектов, процессов или систем описывается набором алгоритмов, прогнозирование поведения затруднительно. Пример. Модель экосистемы Азовского моря. 3. В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем: детерминированные; Используются законы физики, химии и т.д. Может вводиться ряд допущений, упрощающих описание реального процесса. стохастические. Например, нельзя указать точное число молекул воздуха в 1 3 см, имеющих данную скорость. Можно указать вероятность обнаружения молекул со значениями скоростей из некоторого интервала или о математическом ожидании числа таких молекул.

4. По виду входной информации: непрерывные; Например, линейная химическая реакция. дискретные. Дискретные модели связаны с дискретными способами обработки информации, которые стали преобладающими в кибернетике.

5. По поведению во времени: статические; Пример. Модели равновесия в экономических системах (например, модель «затраты-выпуск»). Закон Ома. динамические. Используются для моделирования динамических систем. Математическое представление динамической модели в общем случае может быть выражено системой дифференциальных уравнений, а статической - системой алгебраических уравнений.

6. По степени соответствия между математической моделью и реальным объектом: изоморфные (одинаковые по форме) – между моделью и реальным объектом существует полное поэлементное соответствие; То есть объект и модель одинаково описываются математически. Примеры из других областей моделирования: изоморфны местность и географическая карта, объект съемки и фотография, снимок и негатив и т.д. гомоморфные (разные по форме) – соответствие лишь между наиболее значительными составными частями объекта и модели; в основе лежит частичное подобие. Например, использование модели идеального газа для неидеального и т.п.

Генерация случайных чисел Последовательности случайных чисел, вырабатываемые детерминистскими способами (т.е. с помощью специальных алгоритмов) называются псевдослучайными или квазислучайными. Этапы генерирования случайных чисел на ЭВМ с заданным законом распределения: Вначале получают последовательность равномерно распределенных на интервале [0, 1] псевдослучайных чисел. Из этой последовательности получают последовательность псевдослучайных чисел с заданным законом распределения в заданном интервале.

Общими для всех методов получения случайных чисел являются требования: 1.Количество операций для получения каждого псевдослучайного числа должно быть минимальным. 2.Случайные числа генерируются как можно менее коррелированными, а их распределение – близким к равномерному.

Метод середины квадрата Предыдущее случайное число возводится в квадрат, а затем из результата извлекаются средние цифры. Например: пусть х 0 = , тогда х 0 2 = 0.04|2477|21 ; х 1 = , х 1 2 = 0.06|1355|29; х 2 = , х 2 2 = 0.01|8360|25; и т.д. Свойство "зацикливаться" присуще всем последовательностям, построенных по рекуррентной формуле x i+1 = f (x i ).

Линейный конгруэнтный метод Выбираем четыре числа: х 0 – начальное значение, х 0 0 а – множитель, а 0 с – приращение, с 0 m – модуль, m > x 0, m > a, m > c Тогда искомая последовательность случайных чисел получается из соотношения: x i+1 = (ax i + c) mod (m) Последовательность, полученная из этого соотношения, называется линейной конгруэнтной последовательностью. Пример: x 0 = a = c = 7, m = 10. Тогда последовательность имеет вид: 7, 6, 9, 0, 7, 6, 9, 0,…

Метод получения случайных чисел при c = 0 называется мультипликативный конгруэнтный метод, при с 0 – смешанный конгруэнтный метод. При c = 0, выработка последовательностей происходит быстрее, но при этом уменьшается длина периода последовательностей. Для получения длинных последовательностей и для увеличения скорости вычисления рекомендуется m выбирать соответственно размеру машинного слова. Для 32-х разрядного машинного слова m = 2 31 =

Квадратичные конгруэнтные методы : x i+1 = (dx aX n + c) mod (m) x i+1 = x i (x i + 1) mod (2 e ) Метод получения случайных чисел, где реализуется последовательность Фибоначчи: x i+1 = (x i + x i -1 ) mod (m) Метод получения случайных чисел, предложенный Грином: x i+1 = (x i + x i - k ) mod (m)

Пример построения математической модели Пусть существует некая рыболовецкая компания. Определить оптимальный объем улова в каждом конкретном году с целью максимизации прибыли компании. Прибыль рассчитывается по формуле P = V – Z, где V – выручка, полученная за проданный товар, Z – затраты, понесенные компанией на производство данного товара. Возникает задача планирования эффективного использования рыбных ресурсов с учетом скорости их возобновляемости и объемов лова (задача прогнозирования величины популяции). Объем рыбных запасов z(t) зависит от количества рыбы на данный момент времени x(t) и от того, сколько планируется выловить u(t): z(t) = x(t) – u(t)

Количество рыбы: x(t) = x(t 0 ) + pr где t 0 – некоторый начальный момент времени, pr = αx(t 0 ) – прирост рыбы, α – коэффициент, характеризующий скорость прироста. Обозначим количество икринок через kоl α = ½ kol β, где β – коэффициент выживаемости икринок и мальков, зависящий от агрессивности окружающей среды. Прирост: pr = ½ kol β x(t 0 ) Следовательно, величина популяции: x(t) = x(t 0 ) (1 + ½ kol β)