Дискретизация Свертка ДПФ Лектор: Лукин Алексей Сергеевич

План Звуковые сигналы и их восприятие Звуковые сигналы и их восприятие Цифровые и аналоговые сигналы. Дискретизация. Цифровые и аналоговые сигналы. Дискретизация. Теорема Котельникова. Алиасинг. Фильтрация звука. Теорема Котельникова. Алиасинг. Фильтрация звука. Линейные системы. Свертка. Линейные системы. Свертка. Простейшие двумерные фильтры для изображений Простейшие двумерные фильтры для изображений Дискретное преобразование Фурье Дискретное преобразование Фурье Спектральный анализ Спектральный анализ

Звук и слух Диапазон звуковых сигналов и пороги восприятия Диапазон звуковых сигналов и пороги восприятия

Основы слухового восприятия Звуковые волны поступают на улитку, возбуждая ее колебания Звуковые волны поступают на улитку, возбуждая ее колебания Жесткость улитки меняется с расстоянием, поэтому каждая часть резонирует в своем частотном диапазоне Жесткость улитки меняется с расстоянием, поэтому каждая часть резонирует в своем частотном диапазоне image from Wikipedia

Основы слухового восприятия К разным частям улитки подходят различные группы нервов, передающие в мозг информацию об амплитуде и фазе колебаний К разным частям улитки подходят различные группы нервов, передающие в мозг информацию об амплитуде и фазе колебаний Таким образом, улитка раскладывает звук на частотные составляющие Таким образом, улитка раскладывает звук на частотные составляющие image from Wikipedia

Сигналы Сигнал – скалярная функция от одного или нескольких аргументов. Сигнал – скалярная функция от одного или нескольких аргументов. s(t) – звук Примеры сигналов f(x,y) – изображение

Сигналы Аналоговые (непрерывные) Аналоговые (непрерывные) Примеры: Примеры: звук в воздухе или в проводе, идущем от микрофона звук в воздухе или в проводе, идущем от микрофона изображение (до ввода в компьютер) изображение (до ввода в компьютер) запись показаний датчика запись показаний датчика Цифровые (дискретные) Цифровые (дискретные) Примеры: Примеры: звук в компьютере (одномерный массив чисел) звук в компьютере (одномерный массив чисел) изображение в компьютере (двумерный массив чисел) изображение в компьютере (двумерный массив чисел) запись показаний датчика в компьютере (одномерный массив) запись показаний датчика в компьютере (одномерный массив) Одномерный цифровой сигнал

Оцифровка сигналов 1. Дискретизация по времени (аргумент функции) 2. Квантование по амплитуде (значение функции) АЦП (ADC) – аналогово-цифровой преобразователь Параметры: частота дискретизации, разрядность квантования (пример: 44.1 кГц, 16 бит – формат Audio CD)

Оцифровка сигналов При каких условиях по цифровому сигналу можно точно восстановить исходный аналоговый? При каких условиях по цифровому сигналу можно точно восстановить исходный аналоговый? Предположим, что значения амплитуд в цифровом сигнале представлены точно. Предположим, что значения амплитуд в цифровом сигнале представлены точно. Введем понятие спектра аналогового сигнала: Введем понятие спектра аналогового сигнала: (разложение на синусоиды с различными частотами) x(t) – исходный сигнал X(ν) – спектр, т.е. коэффициенты при гармониках с частотой ν

Теорема Котельникова Пусть Пусть 1. спектр сигнала x(t) не содержит частот выше F, т.е. X(ν)=0 за пределами отрезка [-F, F] 2. дискретизация сигнала x(t) производится с частотой F s, т.е. в моменты времени nT, здесь T= F s F s >2F Тогда исходный аналоговый сигнал x(t) можно точно восстановить из его цифровых отсчетов x(nT), пользуясь интерполяционной формулой Тогда исходный аналоговый сигнал x(t) можно точно восстановить из его цифровых отсчетов x(nT), пользуясь интерполяционной формулой

Теорема Котельникова Как выглядят интерполирующие sinc-функции? Как выглядят интерполирующие sinc-функции? Бесконечно затухающие колебания

Теорема Котельникова Реконструкция аналоговых сигналов. Sinc-интерполяция. Реконструкция аналоговых сигналов. Sinc-интерполяция.

Эффект Гиббса Применимость sinc-интерполяции для изображений Применимость sinc-интерполяции для изображений Эффект Гиббса Эффект Гиббса Цифровые отсчетыsinc-интерполяция другая интерполяция

Наложение спектров Что будет, если условия теоремы Котельникова не выполнены? Что будет, если условия теоремы Котельникова не выполнены? Пусть звук не содержит частот выше 20 кГц. Тогда, по теореме Котельникова, можно выбрать частоту дискретизации 40 кГц. Пусть звук не содержит частот выше 20 кГц. Тогда, по теореме Котельникова, можно выбрать частоту дискретизации 40 кГц. Пусть в звуке появилась помеха с частотой 28 кГц. Условия теоремы Котельникова перестали выполняться. Пусть в звуке появилась помеха с частотой 28 кГц. Условия теоремы Котельникова перестали выполняться.

Наложение спектров Проведем дискретизацию с частотой 40 кГц, а затем – восстановим аналоговый сигнал sinc-интерполяцией. Проведем дискретизацию с частотой 40 кГц, а затем – восстановим аналоговый сигнал sinc-интерполяцией. Помеха отразилась от половины частоты дискретизации в нижнюю часть спектра и наложилась на звук. Помеха переместилась в слышимый диапазон. Это называется наложением спектров (алиасинг). Помеха отразилась от половины частоты дискретизации в нижнюю часть спектра и наложилась на звук. Помеха переместилась в слышимый диапазон. Это называется наложением спектров (алиасинг).

Наложение спектров Как избежать наложения спектров? Как избежать наложения спектров? Применить перед оцифровкой анти-алиасинговый фильтр Применить перед оцифровкой анти-алиасинговый фильтр Он подавит все помехи выше половины частоты дискретизации (выше 20 кГц) и пропустит весь сигнал ниже 20 кГц. Он подавит все помехи выше половины частоты дискретизации (выше 20 кГц) и пропустит весь сигнал ниже 20 кГц. После этого условия теоремы Котельникова будут выполняться и алиасинга не возникнет. После этого условия теоремы Котельникова будут выполняться и алиасинга не возникнет. Следовательно, по цифровому сигналу можно будет восстановить исходный аналоговый сигнал. Следовательно, по цифровому сигналу можно будет восстановить исходный аналоговый сигнал.

Линейные системы Система – преобразователь сигнала. Система – преобразователь сигнала. Линейность: Линейность: Инвариантность к сдвигу: Инвариантность к сдвигу: H x(t)y(t)

Импульсная характеристика Единичный импульс δ[n] Единичный импульс δ[n] Разложение произвольного сигнала на взвешенную сумму единичных импульсов Разложение произвольного сигнала на взвешенную сумму единичных импульсов

Импульсная характеристика Отклик системы на единичный импульс Отклик системы на единичный импульс h[n] – импульсная характеристика системы (импульсный отклик системы) h[n] – импульсная характеристика системы (импульсный отклик системы)

Импульсная характеристика Вычисление отклика линейной системы на произвольный входной сигнал Вычисление отклика линейной системы на произвольный входной сигнал Свертка Свертка h[n] – ядро свертки

Линейные системы Итак, любая линейная инвариантная к сдвигу система производит операцию свертки входного сигнала со своей импульсной характеристикой. Итак, любая линейная инвариантная к сдвигу система производит операцию свертки входного сигнала со своей импульсной характеристикой. Важное свойство линейных систем: Важное свойство линейных систем: При подаче на любую линейную систему синусоиды, на выходе получается синусоида той же частоты, что и на входе. Измениться могут только ее амплитуда или фаза. Следствие: линейные системы удобно анализировать, раскладывая любые входные сигналы на синусоиды. Следствие: линейные системы удобно анализировать, раскладывая любые входные сигналы на синусоиды.

Двумерные фильтры Как работают фильтры Как работают фильтры Коэффициенты фильтра, ядро свертки 3x3, «функция размытия точки» -1 k 1, -1 p 1

Двумерные фильтры Свертка Свертка // Обнулить изображение Dest[i][j]... // Выполнить свертку for (i=0; i

Двумерные фильтры Свойства фильтров Свойства фильтров 1.Результат фильтрации однотонного (константного) изображения – константное изображение. Его цвет равен 2.Следствие: чтобы фильтр сохранял цвет однотонных областей, нужно чтобы 3.Следствие: если сумма коэффициентов фильтра равна нулю, то он переводит однотонные области в нулевые.

Примеры фильтров Размытие (blur) Размытие (blur)

Примеры фильтров Повышение четкости (sharpen) Повышение четкости (sharpen)

Примеры фильтров Нахождение границ (edges) Нахождение границ (edges)

Примеры фильтров Тиснение (embossing) Тиснение (embossing)

Примеры фильтров Простейшее размытие Простейшее размытие Константное размытие Константное размытие box-фильтр (любой размер фильтра) Гауссово размытие Гауссово размытие (любой размер фильтра)

Примеры фильтров Повышение резкости Повышение резкости Нахождение границ Нахождение границ Тиснение Тиснение + модуль, нормировка, применение порога… + сдвиг яркости, нормировка…

Двумерные фильтры Свойства двумерной свертки (повторение) Свойства двумерной свертки (повторение) 1.Линейность 2.Инвариантность к сдвигу Пусть X и Y – изображения, H – ядро свертки

Двумерные фильтры Сепарабельные (разделимые) фильтры Сепарабельные (разделимые) фильтры Гауссиан – сепарабельный фильтр, т.к. Если фильтр сепарабельный, то фильтрацию можно производить быстрее: 1.Отфильтровать все столбцы одномерным фильтром F(k) 2.Отфильтровать все строки одномерным фильтром G(p) Еще один сепарабельный фильтр – box-фильтр

Двумерные фильтры Unsharp Mask Unsharp Mask Параметры: радиус, сила эффекта, порог срабатывания Параметры: радиус, сила эффекта, порог срабатывания Идея: вычесть из изображения его размытую копию, скомпенсировав уменьшение яркости Идея: вычесть из изображения его размытую копию, скомпенсировав уменьшение яркости Переменная сила эффекта α помогает избежать усиления шума. Обычно α уменьшают при малых значениях разности X – GX (меньше порога срабатывания) Переменная сила эффекта α помогает избежать усиления шума. Обычно α уменьшают при малых значениях разности X – GX (меньше порога срабатывания) α контролирует силу эффекта, GX – размытая копия изображения (обычно фильтр Гаусса)

Двумерные фильтры Медианный фильтр Медианный фильтр Каждый пиксель принимает значение, являющееся медианой значений пикселей в окрестности Каждый пиксель принимает значение, являющееся медианой значений пикселей в окрестности Медиана – средний элемент в отсортированном массиве Медиана – средний элемент в отсортированном массиве Позволяет подавить шум (особенно, единичные «выпадающие» пиксели), не размывая границ Позволяет подавить шум (особенно, единичные «выпадающие» пиксели), не размывая границ Медианный фильтр нелинейный (как доказать?) Медианный фильтр нелинейный (как доказать?) Векторная медиана – такой элемент массива, для которого сумма L1-расстояний до остальных элементов минимальна (для одномерного случая – совпадает с предыдущим определением) Векторная медиана – такой элемент массива, для которого сумма L1-расстояний до остальных элементов минимальна (для одномерного случая – совпадает с предыдущим определением)

Двумерные фильтры Медианный фильтр 5x5 Медианный фильтр 5x5

Двумерные фильтры Понятие о частотах в изображении и звуке Понятие о частотах в изображении и звуке Частоты и гармонические колебания (звук) Частоты и гармонические колебания (звук) Частоты и детали (изображение) Частоты и детали (изображение) Постоянная составляющая Постоянная составляющая Действие фильтров Действие фильтров Фильтр размытия – НЧ-фильтр Фильтр размытия – НЧ-фильтр Фильтр повышения четкости – ВЧ-фильтр Фильтр повышения четкости – ВЧ-фильтр Фильтр нахождения границ – ВЧ-фильтр Фильтр нахождения границ – ВЧ-фильтр Фильтры и обработка звука Фильтры и обработка звука

Преобразование Фурье Зачем раскладывать сигналы на синусоиды? Зачем раскладывать сигналы на синусоиды? Анализ линейных систем Анализ линейных систем Слух и синусоиды Слух и синусоиды Хорошо разработана теория и практика Хорошо разработана теория и практика Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) Для вещественного сигнала Для вещественного сигнала Прямое и обратное преобразования Фурье Прямое и обратное преобразования Фурье

Преобразование Фурье Базисные функции дискретного преобразования Фурье для сигнала длины N = 8. Базисные функции дискретного преобразования Фурье для сигнала длины N = 8. Имеем N/2 + 1 = 5 различных базисных частот. Имеем N+2 базисные функции, 2 из которых тождественно равны нулю. Количество информации не изменяется: N чисел

Преобразование Фурье Базисные функции образуют N-мерный ортогональный базис в пространстве N-мерных векторов исходных сигналов. Базисные функции образуют N-мерный ортогональный базис в пространстве N-мерных векторов исходных сигналов. Следовательно, разложение обратимо, т.е. по коэффициентам разложения (A k, B k ) можно точно восстановить исходный дискретный сигнал. Следовательно, разложение обратимо, т.е. по коэффициентам разложения (A k, B k ) можно точно восстановить исходный дискретный сигнал. Обратное преобразование Фурье – вычисление суммы конечного ряда Фурье (сложить N штук N-точечных синусоид со своими коэффициентами). Обратное преобразование Фурье – вычисление суммы конечного ряда Фурье (сложить N штук N-точечных синусоид со своими коэффициентами).

Преобразование Фурье Прямое преобразование Фурье – вычисление скалярных произведений сигнала на базисные функции: Прямое преобразование Фурье – вычисление скалярных произведений сигнала на базисные функции: Для вычисления всех коэффициентов по этому алгоритму требуется примерно N 2 умножений: очень много при больших длинах сигнала N. Для вычисления всех коэффициентов по этому алгоритму требуется примерно N 2 умножений: очень много при больших длинах сигнала N.

Преобразование Фурье Быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT) – ускоренный алгоритм вычисления ДПФ Быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT) – ускоренный алгоритм вычисления ДПФ Основан на периодичности базисных функций (много одинаковых множителей) Основан на периодичности базисных функций (много одинаковых множителей) Математически точен (ошибки округления даже меньше, т.к. меньше число операций) Математически точен (ошибки округления даже меньше, т.к. меньше число операций) Число умножений порядка N·log 2 N, намного меньше, чем N 2 Число умножений порядка N·log 2 N, намного меньше, чем N 2 Ограничение: большинство реализаций FFT принимают только массивы длиной N = 2 m Ограничение: большинство реализаций FFT принимают только массивы длиной N = 2 m Существует и обратное БПФ (IFFT) – такой же быстрый алгоритм вычисления обратного ДПФ. Существует и обратное БПФ (IFFT) – такой же быстрый алгоритм вычисления обратного ДПФ.

Преобразование Фурье Входные данные FFT Входные данные FFT N = 2 m, размер FFT N = 2 m, размер FFT Входной вектор длины N, иногда в комплексном представлении Входной вектор длины N, иногда в комплексном представлении Выходные данные FFT Выходные данные FFT Коэффициенты A k и B k, иногда записанные в комплексном представлении Коэффициенты A k и B k, иногда записанные в комплексном представлении

Преобразование Фурье Двумерное ДПФ Двумерное ДПФ Базисные функции имеют вид двумерных синусоид с разными углами наклона и фазами Базисные функции имеют вид двумерных синусоид с разными углами наклона и фазами Вычисление двумерного ДПФ Вычисление двумерного ДПФ 1.Прямой способ – скалярные произведения со всеми базисными функциями. Очень много операций. 2.Быстрый способ – декомпозиция на одномерные ДПФ

Преобразование Фурье Быстрое вычисление двумерного ДПФ Быстрое вычисление двумерного ДПФ 1.Вычислить одномерные комплексные ДПФ от каждой строки изображения. Результаты записать в виде комплексных массивов «обратно» в промежуточное «комплексное» изображение. 2.Вычислить одномерные комплексные ДПФ от каждого столбца промежуточного комплексного изображения. Комплексные результаты записать «обратно». Это и есть коэффициенты двумерного ДПФ. Одномерные ДПФ можно считать с помощью FFT.

Спектральный анализ Как вычислить и отобразить спектр сигнала? Как вычислить и отобразить спектр сигнала? 1.Взять нужный отрезок сигнала длины 2 m ; если нужный отрезок короче – дополнить его нулями. 2.Если нужно – домножить сигнал на весовое окно, плавно спадающее к краям (для уменьшения размытия спектра). 3.Вычислить FFT. 4.Перевести комплексные коэффициенты в полярную форму: получить амплитуды. 5.Отобразить график зависимости амплитуды от частоты. Примеры весовых окон

Спектральный анализ Отображение спектров изображений Отображение спектров изображений Спектр – это картинка, показывающая зависимость амплитуды от частоты и от направления синусоиды. Спектр – это картинка, показывающая зависимость амплитуды от частоты и от направления синусоиды. Амплитуды отображаются в виде яркостей. Амплитуды отображаются в виде яркостей. Нулевая частота – в центре спектра, низкие частоты вокруг центра, высокие – дальше от центра. Нулевая частота – в центре спектра, низкие частоты вокруг центра, высокие – дальше от центра. Спектр обычно продублирован отражением от нулевой частоты. Спектр обычно продублирован отражением от нулевой частоты. В реальных изображениях чаще всего гораздо большие амплитуды имеют низкие частоты (и постоянная составляющая). Поэтому постоянную составляющую иногда удаляют, или применяют логарифмический масштаб отображения амплитуд, чтобы пара самый мощных гармоник не скрыла остальные, менее мощные, но тоже существенные гармоники. В реальных изображениях чаще всего гораздо большие амплитуды имеют низкие частоты (и постоянная составляющая). Поэтому постоянную составляющую иногда удаляют, или применяют логарифмический масштаб отображения амплитуд, чтобы пара самый мощных гармоник не скрыла остальные, менее мощные, но тоже существенные гармоники. ωyωy ωxωx

Спектральный анализ Примеры изображений и их спектров Примеры изображений и их спектров Видно, что спектр одной синусоиды – это точка (не забываем про симметричное отражение спектра) Две синусоиды – две точки ωyωy ωxωx ωyωy ωxωx

Спектральный анализ Примеры изображений и их спектров Примеры изображений и их спектров По спектру прослеживаются преобладающие направления в исходной картинке Много высоких частот в спектре – много мелких деталей в исходном изображении

Спектральный анализ Отображение спектра звука: спектр Отображение спектра звука: спектр Спектр – график зависимости амплитуды от частоты Спектр – график зависимости амплитуды от частоты Низкие частоты – слева, высокие – справа Низкие частоты – слева, высокие – справа Часто применяется логарифмический масштаб частот и амплитуд: log-log-спектр Часто применяется логарифмический масштаб частот и амплитуд: log-log-спектр Временное и частотное разрешение спектра Временное и частотное разрешение спектра Децибелы: A 1 – амплитуда измеряемого сигнала, A 0 – амплитуда сигнала, принятого за начало отсчета (0 дБ) Разница на 6 дБ – разница по амплитуде в 2 раза, разница на 12 дБ – разница по амплитуде в 4 раза. Часто за 0 дБ принимается либо самый тихий слышимый звук, либо самый громкий звук, который может воспроизвести аудио-устройство.

Спектральный анализ Примеры звуков и их спектров Примеры звуков и их спектров Фрагмент песни (стерео запись) Нота на гитаре сигнал близок к периодическому его спектр линейчатый

Спектральный анализ Отображение спектра звука: спектрограмма (сонограмма) Отображение спектра звука: спектрограмма (сонограмма) Спектрограмма – график зависимости амплитуды от частоты и от времени, показывает изменение спектра во времени Спектрограмма – график зависимости амплитуды от частоты и от времени, показывает изменение спектра во времени Short Time Fourier Transform (STFT) Short Time Fourier Transform (STFT)

Спектральный анализ Отображение спектра звука: спектрограмма (сонограмма) Отображение спектра звука: спектрограмма (сонограмма) Спектрограмма – график зависимости амплитуды от частоты и от времени, показывает изменение спектра во времени Спектрограмма – график зависимости амплитуды от частоты и от времени, показывает изменение спектра во времени Низкие частоты – снизу, высокие – сверху Низкие частоты – снизу, высокие – сверху Время идет справа налево Время идет справа налево Амплитуда – яркость или цвет Амплитуда – яркость или цвет Частотное и временное разрешение Частотное и временное разрешение Short Time Fourier Transform (STFT) Short Time Fourier Transform (STFT) Показывает изменение спектра во времени

Спектральный анализ Примеры звуков и их спектрограмм Примеры звуков и их спектрограмм Нота на гитаре линейный масштаб частот логарифмический масштаб частот