Тема 4. Моделирование и прогнозирование на основе анализа временных рядов

4.1. Основные характеристики и общие модели временных рядов Регрессионный анализ позволяет выявить закономерности в динамике тех или иных процессов на уровне общей (средней) тенденции. Если в исследуемом процессе имеется дополнительная изменчивость, связанная с регулярными изменениями тех или иных признаков во времени (например, сезонное изменение спроса на прохладительные или слабоалкогольные напитки, мороженое и др.), то регрессионный анализ может эту изменчивость не отследить. Для более тщательного анализа и точного прогнозирования динамики процессов, характеристики которых определенным образом зависят от времени, применяют методы анализа временных рядов.

Временным рядом называется последовательность наблюдений, упорядоченная по времени: у 1, у 2,..., у n, где у t – измерения некоторой переменной в n равностоящих моментов времени t = 1, 2,..., n. Примерами временных рядов являются регулярно фиксируемые (каждый час, ежедневно, еженедельно и т.п.) данные об объеме продаж и цене на товар, количестве заказов в кафе и ресторанах, количестве звонков в сервисный центр, потреблении электроэнергии, биржевой активности, котировках валют, транспортных перевозках. Все эти процессы меняются во времени и подвержены случайным колебаниям.

Пример процесса, заданного временным рядом

Основные задачи анализа временных рядов 1) анализ характерных особенностей ряда для понимания закономерностей процесса, отраженного рядом; 2) прогнозирование характеристик ряда в будущие периоды времени.

Сложности прогнозирования на основе анализа временных рядов Прогнозирование характеристик ряда – это всегда экстраполирование, поскольку исследователя интересует динамика процесса в будущем (экстраполяция обычно обеспечивает меньшую точность, чем интерполяция). Не всегда просто выявить «скрытые» закономерности и регулярности в истории развития процесса, на основе которых можно было бы строить прогноз. Эти закономерности (если они действительно есть) необходимо отделять от «шума» – случайных изменений изучаемого признака. То или иное развитие процесса в прошлом отнюдь не гарантирует аналогичное поведение в будущем, которое может значительно измениться из-за влияния некоторых факторов, не отраженных в истории процесса. –Например, динамика роста цен на нефть на мировом рынке может резко измениться из-за решения стран OPEC изменить квоты на добычу нефти или появления признаков смены политического курса одной из ведущих «нефтяных» стран. Но если у исследователя нет дополнительной информации о возможном поведении изучаемого процесса в будущем, принимается предположение о продолжении действия закономерностей, выявленных в прошлые периоды (принцип «самоповторения истории»).

Прогнозирование на основе анализа временных рядов Построение модели, адекватной данным прошлых периодов Пусть имеется временной ряд у 1, у 2,..., у n. Предположим, мы построили некоторую модель, позволяющую предсказывать значение уt по предыдущим значениям ряда. Как и в случае регрессионного анализа можно использовать понятие ошибки прогноза e t, определяемой как разность предсказанного и действительного значения признака в момент времени t. Если модель обеспечивает небольшие суммарные ошибки в прошлом (для моментов времени t = 1, 2,..., n), то ошибки останутся небольшими и для будущих моментов времени (t>n).

Показатели адекватности прогнозной модели MAE (mean absolute error – средняя абсолютная ошибка) MSE (mean square error – среднеквадратическая ошибка) MAPE (mean absolute percentage error – средняя абсолютная процентная ошибка)

При подборе соответствующей модели временного ряда следует ориентироваться на минимальные значения показателей адекватности. Но следует помнить, что минимальные значения этих показателей свидетельствуют об адекватности модели для известных моментов времени, но не гарантируют точность прогноза для будущих периодов!

Общий вид временного ряда y t =f(u t, S t, ε t ), y t – значение изучаемого признака в момент t, u t – тренд (систематическая (линейная или нелинейная) тенденция временного ряда, которая может изменяться во времени ), S t – соответственно сезонная составляющая (периодически повторяющиеся колебания значений временного ряда), ε t – случайная составляющие ряда.

Модели временного ряда Аддитивная модель y t = u t + S t + ε t Мультипликативная модель y t =u t S t ε t

Аддитивные модели предполагают прогнозирование данных путем рекурсивного прибавления или вычитания определенных значений к известным значениям Мультипликативные модели – путем умножения известных значений на определенные коэффициенты Пример. Допустим, по имеющимся данным определено, что среднемесячное увеличение спроса составляет 20 единиц. Тогда в следующем месяце прогнозное значение спроса должно составить предыдущее значение плюс 20 единиц. Если же мы определили, что, допустим, среднемесячное увеличение спроса составляет 5%, то в следующем месяце прогнозное значение составит предыдущее значение, умноженное на 1,05.

Сезонная закономерность, повторяющаяся в ряду с определенной периодичностью, также может быть аддитивной или мультипликативной. Если, например, каждый год объем продаж некоторого товара может увеличиваться в декабре на 1 миллион рублей, можно учесть эти сезонные изменения, прибавляя к прогнозу на декабрь этот 1 миллион (аддитивная сезонность). Если же каждый год в декабре объем продаж данного товара увеличивается примерно на 40%, то прогноз нужно умножать на 1,4. То есть если средний объем продаж этого товара невелик, то абсолютное (в денежном выражении) увеличение этого объема в декабре также будет относительно небольшим (но в процентном исчислении оно будет постоянным); если же товар продается хорошо, то и абсолютный рост объема продаж будет значительным (мультипликативная сезонность). На графиках временных рядов различие между этими двумя видами сезонности будет проявляться следующим образом: при аддитивной сезонности ряд будет иметь постоянные сезонные колебания, величина которых не зависит от общего уровня значений ряда; при мультипликативной сезонности величина сезонных колебаний будет меняться в зависимости от общего уровня значений ряда

4.2. Простейшие модели временных рядов и автокорреляционный анализ Модель случайных изменений y t = µ + ε t Модель предполагает, что значения изучаемого показателя изменяются относительно постоянного среднего значения µ (нет восходящего или нисходящего тренда) с постоянной дисперсией и не зависят друг от друга (результаты работы генератора случайных чисел) Если при этом значения временного ряда можно считать нормально распределенными, то для прогнозирования данных с помощью этой модели достаточно определить на основе имеющихся наблюдений среднее значение и дисперсию s2, после чего построить доверительный интервал с заданной вероятностью. Например, с вероятностью 95% любое последующее наблюдение будет лежать в интервале приблизительно 2s.

Автокорреляция Корреляции между самими членами ряда называется автокорреляцией, а период k между коррелируемыми элементами ряда называется лагом (иногда используют термин «сдвиг»). Позволяет более точно проверить предположение о связанности элементов ряда и наличии периодических составляющих Если во временном ряду имеется некоторая регулярность, т.е. повторяющаяся с определенным периодом компонента, то между наблюдениями через этот период повторения должна наблюдаться корреляция, т.е. такие наблюдения должны коррелировать. Если, например, объем продаж подарков для мужчин возрастает в феврале, то должна обнаруживаться корреляция между февральскими объемами продаж каждый год. Если во временном ряду есть периодическая зависимость, повторяющаяся через k временных интервалов, то такая зависимость может быть формально определена как корреляционная зависимость порядка k между каждым i-ым элементом ряда и (i-k)-ым элементом. Эту зависимость можно обнаружить и определить ее силу, вычисляя корреляцию между соответствующими элементами ряда, отстоящими друг от друга на k интервалов.

Коррелограмма Показывает численно и графически автокорреляционную функцию (AКФ), т.е. коэффициенты автокорреляции и их стандартные ошибки для последовательности лагов из определенного диапазона (например, от 1 до 30). На коррелограмме обычно отмечается диапазон в размере двух стандартных ошибок на каждом лаге, что позволяет оценить и статистическую значимость коэффициентов автокорреляции. Интерес представляют сильные и значимые автокорреляции, поскольку они указывают на наличие периодических связей.

Построение коррелограммы в SPSS Меню Graphs Time Series и Autocorrelations В диалоговом окне Autocorrelations выбирается переменная, соответствующая значениям временного ряда, и указывается параметр Display Autocorrelations (вывести значения коэффициентов автокорреляции) OK

Модель случайных блужданий (random walk model) y t = y t-1 + µ + ε t Модель предполагает присутствие тренда, но отсутствие сезонной составляющей. В этой модели изменение значений элементов ряда не случайно, но разности значений описываются случайной моделью: dy t = y t - y t-1 = µ + ε t Прогнозирование на основе данной модели осуществляется на основе нахождения среднего значения и стандартного отклонения для разностей dy t по всем элементам ряда. Прогнозное значение изучаемого признака для следующих периодов определяется как y t+1 = y t +

Динамика индекса Доу-Джонса

Коррелограмма для ряда, описываемого моделью случайных блужданий

Частные автокорреляции Позволяют исключить «ложные» периодические составляющие ряда Частная автокорреляция на данном лаге аналогична обычной автокорреляции, за исключением того, что при вычислении из нее удаляется влияние автокорреляций с меньшими лагами На лаге 1 частная автокорреляция равна «обычной» автокорреляции. Частная автокорреляция дает более отчетливое представление о периодических зависимостях временного ряда.

Частные автокорреляции

Построение коррелограммы для частных автокорреляций не отличается от процедуры вычисления автокорреляции за исключением того, что в диалоговом окне Autocorrelations программы SPSS указывается параметр Display Partial autocorrelations (вывести значения коэффициентов частной автокорреляции)

Другой способ исключить формальную зависимость последовательных лагов между собой при автокорреляционном анализе временных рядов заключается в удалении автокорреляций первого порядка, т.е. взятии разностей с лагом 1 (фактически это означает, что строится новый ряд с числом элементов n-1 путем вычитания из каждого элемента ряда значения предыдущего элемента) Построить автокорреляционную функцию по разностям первого и других порядков можно используя инструменты SPSS, выбирая при этом в диалоговом окне Autocorrelations параметр Difference (разность) и указывая лаг (по умолчанию устанавливается 1).

Коррелограмма разностей первого порядка

Удаление сезонных составляющих делает ряд стационарным, т.е. имеющим постоянные по времени среднее значение, дисперсию и автокорреляции. стационарным Разности dy t по элементам ряда (t=2, …, n) могут быть вычислены в Excel, SPSS или другой программе. В SPSS это может быть сделано выбором из меню Transform (преобразовать) – Create Time Series (создать временной ряд) – Difference (разность). Для рассматриваемого примера среднее значение по остаточным разностям первого порядка равняется 26, а стандартное отклонение – около 85. Следовательно прогнозируемое на основе данной модели значение индекса Доу-Джонса, например, на апрель 1992 г. должно составить 3247 (значение на март 1992 г.) плюс 26, т.е. 3273; а с учетом возможной ошибки, определяемой по величине стандартного отклонения: с вероятностью 95%.

3. Методы сглаживания временных рядов Сглаживание на основе скользящего среднего (moving averages) - представление тренда в данной точке посредством среднего значения ряда, вычисленного в окрестности данной точки. Используемое для сглаживания количество точек в окрестности называют базой (span). Как правило, в качестве окрестности точки принимаются значения ряда, предшествующие данной точке. То есть сглаженный ряд меньше исходного ряда на величину базы. Если значения ряда из окрестности данной точки входят с одним и тем же весом, то такая операция сглаживания ряда называется методом простого скользящего среднего.

При использовании данного метода большое значение имеет выбор базы. Если, например, имеются данные о ежемесячных объемах продаж, и в качестве базы выбрано 12 точек (12 месяцев), то тренд может оказаться излишне сглаженным (слишком усредненным). Если в качестве базы выбраны 3 точки, то излишнее влияние могут оказывать случайные «выбросы». При выборе в качестве базы одной точки эффекта сглаживания нет совсем. В этом случае предполагается, что значение характеристики ряда в последующий период будет таким же, что и в текущем периоде, поэтому такой подход к прогнозированию, когда база равна 1, называется наивным. В качестве индикаторов выбора оптимальной базы следует использовать графический вид ряда, по которому можно первоначально судить о его динамике и «зашумленности», а также показатели MAE, MSE и MAPE.

Недостатки метода простого скользящего среднего Значения ряда за предыдущие периоды, используемые для прогнозирования, имеют одинаковый вес. Но на последующее развитие процесса текущие его состояния могут оказывать более сильное влияние, чем относительно более ранние Для применения этого метода, как правило, требуется довольно большой массив данных (сотни наблюдений).

Серия методов экспоненциального сглаживания временного ряда Наиболее популярная серия методов прогнозирования временных рядов. Впервые была разработана и использована для решения военных, а затем и экономических задач в ые гг. Используются веса, убывающие по геометрическому или экспоненциальному закону. Самая простая процедура называется простым (simple) экспоненциальным сглаживанием. Она предполагает, что ряд не содержит ни тренда, ни сезонной составляющей. Если наблюдается тренд, но нет сезонной составляющей, используется метод Холта (Holts method). Если ряд содержит и сезонную компоненту, применяется метод Винтера (Winters method).

Модель простого экспоненциального сглаживания l t =αy t +(1-α)l t -1, f t +k =l t y t – значение ряда в момент времени t; f t+k – прогнозное значение y t+k ; l t – переменная, называемая уровень (level) ряда; α – постоянная сглаживания (smoothing constant), принимающая значения от 0 до 1.

В данной модели текущий уровень ряда представляется как взвешенное среднее текущего значения ряда y t (взятого с весом α) и предыдущего уровня ряда l t-1 (взятого с весом 1-α), а прогнозное значение на k периодов вперед определяется по последней оценке уровня ряда (прогнозное значение, следовательно, будет одним и тем же для любого k>1).

Учитывая что для момента времени t ошибка прогноза ε t определяется как ε t =y t -f t =y t -l t-1, модель простого экспоненциального сглаживания может быть переписана как: l t =l t-1 +αε t. Из этого следует, что текущее значения уровня ряда определяется на основе предыдущего значения уровня ряда с учетом текущего значения ошибки прогноза. То есть если предыдущий прогноз был завышенным (ε t 0) текущее значение уровня ряда увеличивается. Величина корректировки зависит от значения α: чем больше α, тем значительнее корректировка, т.е. тем чувствительнее прогноз к изменениям ряда.

Эффект влияния величины постоянной сглаживания Перепишем исходную модель, рекурсивно подставляя в нее значения l t-1, l t-2 и т.д. : l t =αy t +α(1-α)y t-1 +α(1-α)2y t-2 +α(1-α)3y t-3 +… Такой вид модели отчетливо демонстрирует, что текущий прогноз значения ряда зависит от всех предыдущих значений ряда, но берущихся с уменьшающимися весами. Если значение α близко к 0, то весовые коэффициенты перед предыдущими значениями ряда уменьшаются незначительно, то есть предыдущие значения ряда продолжают оказывать довольно сильное влияние на прогнозируемое значение; в результате сглаживание (усреднение) ряда получается довольно сильным. Если значение α близко к 1, то весовые коэффициенты перед предыдущими значениями ряда уменьшаются очень быстро, то есть лишь ближайшие значения ряда оказывают наиболее заметное влияние на прогнозируемое значение; в результате прогнозные значения весьма заметно реагируют на изменения значений ряда. В пределе, если α точно равно 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются. Если α точно равно 0, то игнорируются текущие наблюдения.

Какое значение α выбирать? Некоторые специалисты рекомендуют значения α=0,1 или α=0,2 [54], или во всяком случае не больше 0,3. Другие исследования показывают, что значения α>0,3 для некоторых рядов обеспечивают лучший прогноз, чем меньшие значения α. Поэтому лучше оценить качество прогноза для нескольких различных значений α. Многие статистические пакеты включают в себя оптимизационные процедуры для подбора такого значения α, которое минимизирует значения MSE или MAPE. Простейшая из таких процедур (поиск по сетке) работает следующим образом: возможные значения параметра α разбиваются сеткой с определенным шагом. Например, рассматривается сетка значений от α=0,1 до α=0,9, с шагом 0,1. Затем выбирается α, для которого значение MSE или MAPE является минимальным.

Инициализация Для вычисления первого уровня ряда (l 1 ) нужно знать значение l 0, но оно не известно. Выбор начального значения (initial value) уровня ряда (l1) называется инициализацией. В зависимости от выбора параметра α (особенно, если α близко к 0), начальное значение сглаженного процесса может оказать существенное воздействие на прогноз для многих последующих наблюдений. Обычно начальное значение l 1 принимается равным значению y 1. Статистические пакеты включают в себя специальные процедуры автоматического поиска «оптимального» начального значения. Влияние эффекта инициализации значительно уменьшается с длиной ряда и становится некритичным при большом числе наблюдений.

Использование процедуры простого экспоненциального сглаживания в SPSS Analyze (анализ) - Time Series (временные ряды) – Exponential Smoothing (экспоненциальное сглаживание) В поле Variables задается переменная В разделе Model (Модель) отмечается Simple (простое сглаживание)

Установка параметров сглаживания Диалоговое окно Exponential Smoothing: Parameters (вызывается нажатием на кнопку Parameters) В разделе General (Alpha) в поле Value по умолчанию указывается значение α=0,1. Если требуется подбор оптимального значения α, в этом разделе нужно выбрать параметр Grid Search (поиск по сетке) и указываются параметры метода поиска по сетке: Start (начальное значение α), Stop (конечное значение α) и Step (шаг). Continue (продолжить), чтобы вернуться в окно Exponential Smoothing. Если требуется построить прогноз на несколько периодов вперед, необходимо нажать на кнопку Save, после чего в разделе Predict Cases выбрать параметр Predict through (прогнозировать до) и в поле Observation (наблюдения) указать последний период, для которого строится прогноз. Если параметр Predict through не выбирается, то прогнозные значения ряда строятся для имеющегося диапазона наблюдений (t=1, …, n).

Исходный и сглаженный ряды (α=0,2)

Исходный и сглаженный ряды (α=0,9)

Модель Холта l t =αy t +(1-α)(l t-1 +m t-1 ), m t = γ(l t - l t-1 )+(1- γ)m t-1, f t +k=l t +k m t m t – значение тренда в момент времени t; γ – постоянная сглаживания

Константа γ определяет, насколько модель чувствительна к изменениям тренда. При небольших значениях γ модель менее чувствительна (более медленно реагирует на изменения тренда) и наоборот. Очевидно, что при использовании данной модели, вместо выбора (или подбора) значений одной константы в модели сглаживания, требуется подбирать значения двух констант. Некоторые специалисты советуют устанавливать значения α и γ равными друг другу и небольшими (0,1 или 0,2). Другие исследователи советуют использовать оптимизационные процедуры для подбора этих параметров.

Работа с моделью Холта в статистических пакетах аналогична работе с моделью простого экспоненциального сглаживания за исключением того, что в соответствующих разделах диалоговых окон выбирается режим Holt. Постоянная сглаживания тренда обозначается в этих пакетах как Gamma.

Модель Винтера s t – значение сезонной компоненты в момент времени t; δ – постоянная сглаживания для сезонной компоненты; g – сезонный лаг, который соответствует временному периоду, через который наблюдается сезонное повторение значения ряда (например, g=4 для данных, фиксируемых каждый месяц, с периодом повторения через 4 месяца)

Константа δ определяет чувствительность модели к изменениям сезонной составляющей. Чем меньше эта величина, тем менее чувствительной будет модель к сезонным паттернам. Рекомендуемые специалистами «типовые» значения параметров модели: α=γ=0,2; δ=0,5. Но, как и в случае ранее рассмотренных моделей сглаживания, можно использовать специальные статистические процедуры определения «оптимальных» параметров модели. Сезонный лаг можно определить по графику ряда или построением коррелограммы

Применение модели Винтера в SPSS Данные предварительно нужно определить как значения временного ряда: меню Data (данные) нужно выбрать опцию Define Dates (определить временные периоды). В разделе Cases Are выбрать возможные временные составляющие ряда (например, изменение по годам (Years), изменение по годам и кварталам (Years, quarters), изменение по годам и месяцам (Years, months) и т.д.). После определения временной составляющей ряда в меню Analyze (анализ) выбирается опция Time Series (временные ряды), затем – Exponential Smoothing (экспоненциальное сглаживание), и в соответствующем окне – параметр Winter.

Оценка тренда временного ряда с использованием регрессионной модели Независимым фактором выступает время Например, линейная регрессионная модель для анализа временного ряда имеет вид: y t =α+β t +ε t Параметр β показывает предполагаемые изменения характеристики ряда от одного периода времени к другому. Если этот параметр положительный, то тренд возрастающий, если отрицательный – тренд убывающий Интерпретация параметра α в таких моделях менее важна или не важна совсем. Этот параметр соответствует величине характеристики ряда в момент времени t=0.

Временной ряд с линейным трендом

Временной ряд с экспоненциальным трендом

Можно ли использовать регрессионную модель для прогноза такого ряда?

Авторегрессия Авторегрессионная модель –линейное регрессионное уравнение, в котором в качестве результативного признака выступает значение временного ряда в момент времени t, а в качестве факторных признаков – значение ряда в моменты времени t-1 (авторегрессия первого порядка), t-2 (авторегрессия второго порядка), t-3 (авторегрессия третьего порядка) и т.д. Авторегрессия первого порядка y t = +α 1 y t-1 + ε t Авторегрессией второго порядка y t = +α 1 y t-1 + α 2 y t-2 + ε t, и т.д. для авторегрессий последующих порядков. α 1, α 2 – коэффициенты авторегрессии, – константа (постоянный член авторегрессии), ε t – случайная компонента.

Создание независимых переменных в SPSS и построение авторегрессионной модели Меню Transform (преобразовать) Create Time Series (создать временной ряд) Исходная переменная (напр. sales) переносится в поле New Variables В поле Name (раздел Name and Function) задается новое имя переменной, например sales_1. В поле Function этого же раздела выбирается функция Lag (лаг) В поле Order (порядок) задается значение лага (напр., 1) Нажать кнопку Change и затем OK В рабочей области данных появляются значения новой переменной, со значениями исходного ряда, но «сдвинутыми» вниз на 1 период Аналогично создаются другие переменные (напр., sales_2 и sales_3 со значениями, смещенными соответственно на 2 и 3 периода). Эти переменные будут выступать в качестве независимых переменных регрессионной модели Строится линейная регрессионная модель (меню Analyze – Regression – Linear) и оценивается ее адекватность и значимость

Специальные инструменты построения авторегрессионной модели в SPSS Меню Analyze – Time series Autoregression В качестве зависимой переменной (Dependent) задается переменная, соответствующая исходному ряду, в качестве независимой (Independent) переменной (для авторегрессии первого порядка) или независимых переменных (для авторегрессии более высокого порядка) указываются переменные, полученные из исходного ряда со значениями, смещенными на соответствующее число периодов По умолчанию в рабочую область данных в качестве новых переменных выводятся прогнозные значения, абсолютная ошибка прогноза для каждого периода, значения стандартной ошибки оценки, а также нижние и верхние границы 95% доверительного интервала.