L/O/G/O Многочлены МОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный Автор: учитель математики Е.Ю. Семёнова

Многочлены от одной прямой переменной р(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +…+ a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a o - стандартный вид многочлена р(х) a n x n – старший член многочлена р(х) a n – коэффициент при старшем члене Если a n = 1, то многочлен р(х) называется приведенным Если a n 1, то многочлен р(х) называется неприведенным a о – свободный член многочлена р(х) n – степень многочлена

Деление многочленов р(x) = s(x) q(x) Говорят, что многочлен р(х) делится на многочлен s(x), если существует такой многочлен q(x), что выполняется тождество p(x) – делимое (или кратное) s(x) – делитель q(x) – частное

частное делитель Деление многочленов х х 3 + 5х 3х 2 15 х 0 т. к. х 3 3х 2 + 5х 15 = (х 2 + 5)(х 3), то многочлен х 3 3х 2 + 5х 15 делится на многочлены х и х 3. Пример 1 3 делимое х 3 3х 2 + 5х 15

Деление многочленов с остатком р(x) = s(x) q(x) + r(х) Для любых двух многочленов ненулевой степени р(х) и s(x) существует пара многочленов q(x) и r(x) такая, что степень многочлена r(x) меньше степени многочлена s(x) и выполняется тождество p(x) – делимое (или кратное) s(x) – делитель q(x) – неполное частное r(x) – остаток

остаток частное делительделимое 2х 2 х 3 х 2 2х 2 4х 3х 6 2х 3х 3 3 т. к. 2х 2 х 3 = 2х 2 4х + 3х = = 2х(х 2) + 3(х 2) + 3 = (х 2)(2х + 3) + 3, Пример Деление многочленов с остатком то 2х 2 х 3 = (х 2)(2х + 3) + 3

Теорема Безу р(x) = (x а) q(x) + r Остаток от деления многочлена р(х) ненулевой степени на двучлен x а равен р(а) (т.е. значению многочлена р(x) при х = а ) p(x) – делимое (или кратное) q(x) – частное r – остаток (число) x а – делитель

По теореме Безу: р(2) = = 3 2х 2 х 3 х 2 2х 2 4х 3х 6 2х 3х 3 3 Найдем остаток от деления многочлена р(х) = 2х 2 х 3 на двучлен х 2. Пример Деление многочленов с остатком остаток

Следствие теоремы Безу Если число а является корнем многочлена р(х), то р(х) делится на двучлен x а. Если при х = а многочлен р(х) обращается в нуль, т.е. выполняется равенство р(а) = 0, то число а называют корнем многочлена. Следствие Определение

Схема Горнера Пусть р(x) = bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f. Разделим р(х) на x а получим р(x) = (х а )q(x) + r, где q(x) некоторый многочлен третьей степени q(x) = kx 3 + mx 2 + nx + s, коэффициенты которого вычисляются с помощью схемы Горнера : bcdef ak = bm = ka + cn = ma + ds = na + er = sa + f k = b m = ka + c n = ma + d s = na + e r = sa + f

Коэффициенты частного: 2, 3, 3, 4, 8, а остаток r = 11. Значит, 2x 5 + x 4 3x 3 + 2x = = (х + 2)(2x 4 3x 3 + 3x 2 4x + 8) 11 Разделим р(x) = 2x 5 + x 4 3x 3 + 2x на x + 2. Здесь a = 2 ; Коэффициенты равны соответственно 2, 1, 3, 2, 0, 5. Строим таблицу для применения схемы Горнера: остаток Пример ( 2)+1 3 ( 2)+( 3)3 ( 2)+2 4 ( 2)+08 ( 2)

Разложение многочлена на множители

Применяя распределительный закон умножения относительно сложения: (a + b)c = ac + bc В обратном порядке: ac + bc = c(a + b) Пример 4 8х 4 + 6х 3 4х 2 + 2х = 2х (4х 3 + 3х 2 2х + 1) 3х 3 + 6х 6 27х 4 = 3x 3 (1 + 2х 3 9x)

Способ группировки Применяя переместительный или сочетательный законы сложения, можно группировать члены многочлена любым способом: a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) = а + b + c Пример 5 3х 3 + 6х 2 27х 54 = 3(х 3 + 2х 2 9х 18) = = 3(х 2 (х + 2) 9(х + 2)) = 3(х + 2)(х 2 9) = = 3(х + 2)(х 3)(х + 3)

Использование формул сокращенного умножения (a + b)(а b) = a 2 b 2 – разность квадратов (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 – квадрат суммы (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 – квадрат разности (a + b)(a 2 ab + b 2 ) = а 3 + b 3 – сумма кубов (a b)(a 2 + ab + b 2 ) = а 3 b 3 – разность кубов (a b) 3 = a 3 3ab 2 + 3a 2 b b 3 – куб разности (a + b) 3 = a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3 – куб суммы Пример 6 х 6 1 = = (х + 1)(х 2 х + 1)(х 1)(х 2 + х + 1) (х 3 ) = (х 3 + 1)(х 3 1) =

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители Если х 1 и х 2 – корни квадратного трехчлена aх 2 + bх + с, то aх 2 + bх + с = а (х х 1 )(х х 2 ) Пример 7 2х 2 3х 5 = 2 (х + 1)(х 2,5) = (х + 1)(2х 5)

Теорема Пусть все коэффициенты многочлена р(х) – целые числа. Если целое число а является корнем многочлена р(х), то а – делитель свободного члена многочлена р(х). Д о к а з а т е л ь с т в о проведем для случая, когда р(х) – многочлен третьей степени: р(х) = bх 3 + сх 2 + dx + т, где все коэффициенты b, с, d, т – целые числа. По условию, целое число а является корнем многочлена р(х). Это значит, что р(а) = 0, т. е. bа з + ca 2 + da + m = 0. Преобразуем полученное равенство к виду т = а(– bа 2 – са – d) и обозначим целое число (– bа 2 – са – d) буквой k. Тогда последнее равенство можно переписать в виде т = ak, а это и означает, что число а – делитель числа т, т. е. делитель свободного члена многочлена р(х). Аналогично проводится доказательство теоремы для случая, когда р(х) – многочлен четвертой, пятой и вообще n -й степени.

Пример 8 х 3 3х 2 10х + 24 = (х – 2)(х 2 х 12) = = (х – 2)(х 4)(х + 3) Разложить многочлен: х 3 3х 2 10х + 24 Будем искать корни среди делителей свободного коэффициента 24 : ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24. р(1) = 12 0, р(1) = 30 0, р(2) = 0. Значит х = 2 – корень многочлена р(х). С помощью схемы Горнера найдем частное q(x) : (3)2 (1)102 (12)

х 2 – у 2 = (х – у)(х + у) х 3 – у 3 = (х – у)(х 2 + ху + у 2 ) x 4 – у 4 = (x – y)(x 3 + x 2 у + xy 2 + у З ) x 5 – у 5 = (x – y)(х 4 + х з y + х 2 y 2 + хy 3 + y 4 ) … x n – у n = (x – y)(х n1 + х n2 y + х n3 y 2 + … + + х 2 y n3 + xy n2 + y n1 ) Многочлены от нескольких переменных

х 3 + у 3 = (х + у)(х 2 – ху + у 2 ) x 5 + у 5 = (x + y)(х 4 – х 3 y + х 2 y 2 – хy 3 + y 4 ) … x 2n+1 + у 2n+1 = (x + y)(х 2n – х 2n1 y + х 2n2 y 2 – – х 2n3 y 3 + … + x 2 y 2n2 – xy 2n1 + y 2n ) Многочлен Р(х; у) называют однородным многочленом п -ой степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна п. Если Р(х; у) однородный многочлен, то уравнение Р(х; у) = 0 называют однородным уравнением.