Параметрическое представление плоских и пространственных кривых При параметрическом задании кривая представляется векторной функцией r 1, r 2, r 3 - радиус вектора точки на кривой, заданной параметрически – r(t). r(t)- непрерывная функция от параметра t.

Преимущества параметрического задания кривой Позволяет представлять замкнутые и многозначные кривые. Производная от такой функции также является вектором Для кривых, имеющих вертикальные или горизонтальные касательные, соответствующие производные равны 0. В случае параметрического задания достаточно приравнять нулю одну компоненту параметрического задания производной Осенезависимость параметрической кривой позволяет легко проводить над ней аффинные преобразования

Способы построения кривых Составные кривые Аналитические кривые Кривые на базе точек Кривые на базе кривых

Аналитические кривые Аналитическая кривая на плоскости и в пространстве определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению, заданному в явном, неявном или параметрическом виде. Простейшими аналитическими кривыми являются конические сечения

Конические сечения Каждая из таких кривых получена в результате пересечения конуса и плоскости а) эллипс (частный случай эллипса – окружность) б)парабола В)гипербола

Эллипс и окружность Эллипс и окружность могут быть получены в результате пересечения всех образующих конуса в точках одной его полости - линия пересечения – замкнутая овальная кривая –эллипс. Если секущая плоскость перпендикулярна оси конус, то в результате пересечения получается окружность Окружность – угол между плоскостью и осью конуса =90 о Эллипс- угол с плоскости с осью конуса >угла между осью и образующей конуса

Парабола Если секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса, то в результате пересечения конуса и плоскости получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая, которая целиком лежит в одной полости конуса - парабола. Парабола получается в том случае, если угол секущей плоскости с осью = углу между осью и образующей конуса.

Гипербола Гипербола может быть получена в результате пересечения секущей плоскостью обеих полостей конуса. Гипербола - состоит из двух одинаковых незамкнутых частей, лежащих в обеих плоскостях конуса Гипербола получается в том случае, если угол секущей плоскости с осью конуса < угла между осью и образующей конуса

Аналитическое задание конических сечений в общем виде Конические сечения описываются в общем виде с помощью уравнения второго порядка:

Инварианты относительно аффинных преобразований (остаются постоянными при изменении системы координат):

Вычисление коэффициентов канонической, т.е. простой аналитической формы, представления конических сечений Характеристическое уравнение: Корни этого уравнения используются для вычисления констант a, b, а p можно выразить через инварианты A и I Знак инварианта D определяет тип кривой: D>0 – эллипс, D=0 –парабола, D

Аналитическое задание окружности Канонический вид Параметрическое задание или Где P –центр, r – радиус окружности

Аналитическое задание эллипса Канонический вид Параметрическое задание или

Аналитическое задание гиперболы Канонический видПараметрическое задание где или

Аналитическое задание параболы Канонический видПараметрическое задание или

Кривые на базе точек ( задание кривой с помощью аппроксимации или интерполяции ) Ломаная Сплайн Лагранжа Сплайн Ньютона Кубический сплайн Сплайн Эрмита Кривая Безье В-сплайн NURBS β-сплайн Кривая Catmull Room

Кривые на базе кривых Усеченная Эквидистантная Продолженная Перепараметризованная

Восполнение данных в геометрическом моделировании Построение кривой по опорным точкам - замена точной аналитической функции полиномом заданной степени: Интерполяция – кривая проходит через каждую опорную точку кривой Аппроксимация – кривая проходит вблизи опорных точек и удовлетворяет заданным условиям точности Построение кривой в геометрическом моделировании – нахождение с помощью интерполяции или аппроксимации компонентов параметрического представления кривой

Требования к результирующей кривой Кривая должна быть гладкой Понятие точности в геометрическом моделировании имеет уже другой смысл – результирующая кривая должна удовлетворять эстетическим требованиям разработчика Локальность используемых операций преобразования кривой – возможность изменять отдельные участки кривой без изменения кривой в целом

Основные принципы построения кривых по точкам Выбор кривых меньшей степени (легче оценить геометрические дифференциальные свойства кривой) Построение кривой по частям – составные кривые Соблюдение гладкости в местах стыка кривых в случае построения составной кривой

Понятие полигона кривой Аппроксимирующая кривая задается набором опорных точек. Множество исходных точек, по которым строится кривая называется полигоном кривой Полигон кривой и набор опорных точек совпадает, если кривая не подвергалась редактированию кривая полигон кривой

Параметризация кривых Параметризация кривой – это не есть параметрическое задание кривой. Параметризация кривой – предполагает расчет параметров, влияющих на параметрическое задание некоторых кривых ( В- сплайны, NURBS). Параметризация – установка взаимосвязи между набором точек кривой и набором параметров. Типы параметризации: Однотипная – равномерная По длине хорды По длине дуги(естественная параметризация)

Геометрическая интерпретация параметризации Понятие пространства модели и параметрического пространства, их взаимосвязь

Сведения из дифференциальной геометрии кривых Касательная в точке Регулярная точка Особые точки Нормаль к плоской кривой Вектор касательной Вектор кривизны Вектор кручения

Касательная в точке Касательная в точке P 1 (x 1,y 1 ) – прямая, являющаяся предельным положением секущей, проходящей через точку P 1 и через точку P 2, отличную от нее (P 2 принадлежит кривой) при стремлении P 1 к P 2 Уравнение касательной в точке Угловой коэффициент касательной Значение вектора касательной по модулю для трехмерной кривой

Регулярные и особые точки Точка на кривой является регулярной, если при выборе некоторого параметра t i функции x(t) и y(t) имеют в точке достаточно близкой к точке, соответствующей параметру t i, непрерывные производные первого порядка, отличные от нуля Всякая точка кривой, не являющаяся регулярной называется особой.

Нормаль к плоской кривой в точке Нормаль – прямая, проходящая через точку P 1 и перпендикулярная к касательной в этой точке

Кривизна кривой в точке Кривизна (вектор кривизны) определяется второй производной. Для этого понятие вводится понятие соприкасающейся окружности в точке P 1 – предельное положение окружности, проходящей через три точки P 1, P 2 и P 3 при стремлении к P 2 и P 3 к P 1. Центр этой окружности лежит на нормали к касательной к кривой в точке P 1. Радиус этой окружности определяет кривизну в точке, а именно, радиус обратно пропорционален кривизне Кривизна может быть представлена следующим образом Если кривая плоская:

Кручение кривой в точке Вектор кручения определяется третьей производной Касательную в точке на кривой найти легко. Для нахождения вектора кривизны и кручения (k 1 и k 2 ) и их значения по модулю Используются вектора T(t), B(t), N(t) и трехгранник Френе

Трехгранник Френе – сопровождающий трехгранник нормальная N(t) плоскость соприкасающаяся плоскость T(t) B(t) спрямляющая плоскость Поиск k 1 и k 2 - решение матричного уравнения

Плоскости трехгранника Френе Нормальная плоскость – перпендикулярна к касательной в точке кривой Соприкасающаяся плоскость – в ней лежит первая и вторая производные, а, значит, в ней находится соприкасающаяся окружность Спрямляющая плоскость

Математическая непрерывность кривых

Геометрическая непрерывность кривых