Числовые ряды Лекции 10,11

Определение числового ряда Рассмотрим некоторую числовую последовательность. Составим из членов этой последовательности бесконечную сумму Определение. Выражение (1) называется числовым рядом, - общий член ряда.

Примеры Рассмотрим ряд …+ +… Очевидно, сумма четного числа его членов равна нулю, а нечетного – единице. Такой ряд не имеет суммы.

Примеры Известно, что геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим единицы, сходится, если

Понятие сходящегося ряда Опр. Конечные суммы, называются частичными суммами ряда (1). Опр. Если существует конечный, то числовой ряд называется сходящимся, а число - суммой ряда. Если равен бесконечности или вообще не существует, то ряд расходится.

Пример сходящегося ряда Показать, что ряд сходится и найти его сумму. Общий член ряда. Тогда,,,…

Свойства сходящихся рядов 1) Сходящиеся ряды можно почленно складывать, т.е.. 2) Постоянный множитель можно вынести за знак ряда, т. е.

Свойства сходящихся рядов От сходящегося ряда можно отбросить конечное число членов или наоборот прибавить конечное число слагаемых и при этом сходимость ряда не изменится.

Гармонический ряд Исследуем ряд, называемый гармоническим. Для решения задачи запишем гармонический ряд в развернутом виде: и наряду с ним рассмотрим ряд с меньшими членами

Продолжение Найдем частичные суммы второго ряда:. Итак,гармонический ряд расходится, т. к. его сумма больше суммы вспомогательного ряда.

Признаки сходимости ряда Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд сходится, то. Если же, то ряд расходится.

Пример расходящегося ряда Пример 1. Ряд расходится, так как.

Знакоположительные ряды

Признак сравнения. Пусть даны ряды и. Если ряд с большими членами сходится, то сходится и ряд с меньшими членами. Если же ряд с меньшими членами расходится, то расходится и ряд с большими членами.

Признак сравнения в предельной форме Если существует конечный и отличный от нуля, то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Примеры В качестве рядов для сравнения берут гармонический ряд, который расходится, и ряд или,о которых известно, что первый сходится, а второй при p 1сходится, а при p 1 расходится.

Примеры Исследовать на сходимость ряды а) и б). Найдем предел отношения членов данного ряда и ряда,с которым сравниваем данный ряд.. Ряд сходится.

Примеры Ряд сравниваем с гармоническим рядом. Так как, то данный ряд расходится вместе с гармоническим рядом.

Признак Даламбера Если существует конечный то 1)при ряд, где, сходится, 2)при ряд расходится, 3)при признак ответа не дает.

Примеры Исследовать на сходимость ряд Так как, то и. Так как, то данный ряд сходится.

Признак Коши Если существует конечный то 1)при ряд, где, сходится, 2)при ряд расходится, 3)при признак ответа не дает.

Примеры Ряд исследуем с помощью признака Коши. Вычислим. Тогда и ряд согласно признаку Коши расходится.

Интегральный признак Пусть члены ряда положительны и при. Пусть функция при имеет значения, положительна и монотонно убывает при.Тогда числовой ряд сходится или расходится вместе с несобственным интегралом

Обобщенный гармонический ряд Исследуем ряд. Функция монотонно убывает. Несобственный интеграл =.Ряд расходится при p1.

Пример Исследовать на сходимость ряд. Члены ряда положительны и монотонно убывают. Функция, очевидно, также положительна при x 2 и монотонно убывает.

Продолжение. Несобственный интеграл, а вместе с ним и числовой ряд расходятся.

Знакопеременные ряды

Признак Лейбница Пусть члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) и 2). Тогда знакочередующийся ряд сходится, причём его сумма S не превосходит его первого члена, т.е..

Примеры Исследовать на сходимость ряды: 1), 2). 1) члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и. Согласно признаку Лейбница ряд сходится.

Примеры 2) общий член ряда не стремится к нулю, так как Следовательно, ряд расходится согласно необходимому признаку.

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда Если сходится ряд, то знакопеременный ряд также сходится.

Абсолютно сходящийся ряд Определение. Если сходится ряд, то знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.

Условно сходящийся ряд Определение. Если сходится ряд, а ряд расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.

Пример Ряд абсолютно сходится, т.к. ряд из модулей его членов сходится. Ряд сходится условно, т.к. он согласно признаку Лейбница сходится, но ряд из модулей его членов, т.е. ряд расходится вместе с гармоническим рядом.

Остаток ряда и его оценка Определение. Если числовой ряд сходится, то разность называется n-м остатком ряда. Таким образом, представляет собой сходящийся ряд. При этом. Теорема. Если знакочередующийся ряд сходится, то.