§10. Ряды аналитических функций. п.1. Числовые ряды. числовой ряд.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Ряды в комплексной плоскости (числовые, функциональные)
Advertisements

Company Logo Достаточные признаки сходимости Теорема 7. (Признак сравнения) Пусть даны два ряда (ряд А) и (ряд В) с положительными.
§11. Степенные ряды.. степенной ряд коэффициенты центр При z= z 0 ряд сходится.
Лектор Кабанова Л. И г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Числовые ряды.
Company Logo Числовые и функциональные ряды Пусть дана последовательность вещественных чисел {a 1, a 2, a 3, …, a n, …}. Определение.
Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 7. Тема: Ряды. Определение и свойства. Цель: Рассмотреть.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Сходимость знакоположительных рядов.
Числовые ряды Лекции 10,11. Определение числового ряда Рассмотрим некоторую числовую последовательность. Составим из членов этой последовательности бесконечную.
ТЕОРИЯ РЯДОВ. 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 3.1. Функциональные ряды. Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Сходимость знакопеременных рядов.
Числовые ряды Основные понятия Основные теоремы о сходящихся рядах Необходимый признак сходимости ряда Достаточные признаки сходимости рядов с положительными.
Функциональные и степенные ряды Функциональные ряды Степенные ряды Сходимость степенных рядов Свойства степенных рядов 1/18.
Числовые ряды Выполнила: Герасимова Мария хим.факультет МПГУ 1 курс, 1 группа 2014 г.
§7. Интеграл Коши. g- односвязная. - Не зависит от выбора !
1.Числовые ряды. Определение. 2.Необходимый признак сходимости. 3.Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. 4.Знакопеременные ряды.
Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Несобственные интегралы.
Определение 1. Выражение называется числовым рядом. Числа называются первым, вторым,...,... членами ряда. называется общим членом ряда. Определение 2.
{функциональные ряды – степенные ряды – область сходимости – порядок нахождения интервала сходимости - пример – радиус интервала сходимости – примеры }
Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Ряды в комплексной плоскости (степенные ряды, ряды Лорана) Лектор Пахомова.
Числовая последовательность и её предел. Сходимость последовательности.
Транксрипт:

§10. Ряды аналитических функций. п.1. Числовые ряды. числовой ряд

Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если - сумма ряда.

Необходимый и достаточный признак сходимости: критерий Коши. > 0 N( ): S n+m -S n < n N и m>0. Необходимый признак : a n 0. Доказательство. Пусть ряд сходится, тогда > 0 N( ): S n+m -S n < n N и m>0.=> |a n+1 |= S n+1 -S n < n N => a n 0.

-n-й остаток ряда.

Необходимый и достаточный признак сходимости Доказательство. Необходимость. Если ряд сходится, то |r n |=|S-S n | 0. Достаточность. ряд сходится. Пусть |r n | => > 0 N( ): r n r n+m |S n+m -S n |=|r n+m -r n |

Определение. Если то ряд называется абсолютно сходящимся. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится. Обратное, вообще говоря, неверно. Достаточными критериями абсолютной сходимости рядов являются признаки Даламбера, Коши, сравнения.

Признак Даламбера. сходится. расходится.

Признак Даламбера в предельной форме. при L < 1 сходится. Еслито при L > 1 расходится. при L=1 ничего сказать нельзя.

Доказательство. Если L < 1, то L L + < 1 -. Т.к.то Аналогично доказывается расходимость ряда при L>1. => a k+1 |

Признак Коши. Если сходится. Если расходится.

Признак Коши в предельной форме. при L < 1 сходится. Еслито при L > 1 расходится. при L=1 ничего сказать нельзя.

Доказательство. Если L < 1, то L L + < 1 -. Аналогично доказывается расходимость ряда при L>1. => |a k |

п.2. Функциональные ряды. функциональная последовательность функциональный ряд

Определение. Если сумма функционального ряда сходится в g. > 0 N (, z ): r n ( z ) < n N(, z ). Если сходится в g, то

Необходимый и достаточный признак сходимости: критерий Коши. > 0 N(, z): S n+m ( z ) - S n ( z ) 0.

п.3. Равномерная сходимость. > 0 N( ): r n ( z ) < n N( ) z равномерно сходится в g. Понятие равномерной сходимости- глобальное.

> 0 N( ): S n+m (z)-S n (z ) < n N, m > 0, z Необходимый и достаточный признак равномерной сходимости: критерий Коши.

Доказательство. Необходимость. > 0 N( ): f( z ) - S n ( z ) f(z)-S n+m (z) 0 z g => S n+m (z) - S n (z) 0 z g.

Достаточность. n N, m > 0, z=> > 0 N( ): S n+m (z)-S n (z ) < (*) f( z ) - S n ( z ) (*) m r n ( z ) < n N( ) z g

Достаточный признак равномерной сходимости: мажорантный признак Вейерштрасса. Если | u k ( z ) | 0 k N z g и Доказательство.

п.4. Свойства равномерно сходящихся рядов. Доказательство.

кусочно- гладкий контур Доказательство.

I Теорема Вейерштрасса.

Доказательство. 1) Рассмотрим (свойство 1). Свойство 2 (т. Коши) Т. Морера замкнутый контур

Замечание. 2) Рассмотрим замкнутый контур

Замечание.

3) Рассмотрим замкнутый контур, g внутри него, z g и С | z- |>d 0. |r n ( )|

Замечание

II Теорема Вейерштрасса. Тогда Доказательство S n+m ( )-S n ( ) S n+m (z)-S n (z) < для z g – в силу принципа максимума.