§10. Ряды аналитических функций. п.1. Числовые ряды. числовой ряд
Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если - сумма ряда.
Необходимый и достаточный признак сходимости: критерий Коши. > 0 N( ): S n+m -S n < n N и m>0. Необходимый признак : a n 0. Доказательство. Пусть ряд сходится, тогда > 0 N( ): S n+m -S n < n N и m>0.=> |a n+1 |= S n+1 -S n < n N => a n 0.
-n-й остаток ряда.
Необходимый и достаточный признак сходимости Доказательство. Необходимость. Если ряд сходится, то |r n |=|S-S n | 0. Достаточность. ряд сходится. Пусть |r n | => > 0 N( ): r n r n+m |S n+m -S n |=|r n+m -r n |
Определение. Если то ряд называется абсолютно сходящимся. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится. Обратное, вообще говоря, неверно. Достаточными критериями абсолютной сходимости рядов являются признаки Даламбера, Коши, сравнения.
Признак Даламбера. сходится. расходится.
Признак Даламбера в предельной форме. при L < 1 сходится. Еслито при L > 1 расходится. при L=1 ничего сказать нельзя.
Доказательство. Если L < 1, то L L + < 1 -. Т.к.то Аналогично доказывается расходимость ряда при L>1. => a k+1 |
Признак Коши. Если сходится. Если расходится.
Признак Коши в предельной форме. при L < 1 сходится. Еслито при L > 1 расходится. при L=1 ничего сказать нельзя.
Доказательство. Если L < 1, то L L + < 1 -. Аналогично доказывается расходимость ряда при L>1. => |a k |
п.2. Функциональные ряды. функциональная последовательность функциональный ряд
Определение. Если сумма функционального ряда сходится в g. > 0 N (, z ): r n ( z ) < n N(, z ). Если сходится в g, то
Необходимый и достаточный признак сходимости: критерий Коши. > 0 N(, z): S n+m ( z ) - S n ( z ) 0.
п.3. Равномерная сходимость. > 0 N( ): r n ( z ) < n N( ) z равномерно сходится в g. Понятие равномерной сходимости- глобальное.
> 0 N( ): S n+m (z)-S n (z ) < n N, m > 0, z Необходимый и достаточный признак равномерной сходимости: критерий Коши.
Доказательство. Необходимость. > 0 N( ): f( z ) - S n ( z ) f(z)-S n+m (z) 0 z g => S n+m (z) - S n (z) 0 z g.
Достаточность. n N, m > 0, z=> > 0 N( ): S n+m (z)-S n (z ) < (*) f( z ) - S n ( z ) (*) m r n ( z ) < n N( ) z g
Достаточный признак равномерной сходимости: мажорантный признак Вейерштрасса. Если | u k ( z ) | 0 k N z g и Доказательство.
п.4. Свойства равномерно сходящихся рядов. Доказательство.
кусочно- гладкий контур Доказательство.
I Теорема Вейерштрасса.
Доказательство. 1) Рассмотрим (свойство 1). Свойство 2 (т. Коши) Т. Морера замкнутый контур
Замечание. 2) Рассмотрим замкнутый контур
Замечание.
3) Рассмотрим замкнутый контур, g внутри него, z g и С | z- |>d 0. |r n ( )|
Замечание
II Теорема Вейерштрасса. Тогда Доказательство S n+m ( )-S n ( ) S n+m (z)-S n (z) < для z g – в силу принципа максимума.